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陕西省渭南市白水县2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2019高二下·吉林期中）设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则 =( )
A．2 B．1 C． D．6
【答案】C
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：∵函数f（x）在x＝1处存在导数，
∴ f′（1）= ．
故答案为：C．
【分析】利用导数概念直接求解．
2．（2021高二下·白城期末）为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数 如下表所示：
同学甲 同学乙 同学丙 同学丁 同学戊
相关系数 0.45 -0.69 0.74 -0.98 0.82
则由表可知（ ）
A．乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高
B．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
C．乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
D．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高
【答案】B
【知识点】相关系数
【解析】【解答】由题意知： ，又因为 越接近于1，数据的线性相关程度越高， 越接近于0，数据的线性相关程度越低．所以甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件得出，又因为 越接近于1，数据的线性相关程度越高， 越接近于0，数据的线性相关程度越低，则利用相关系数判断线性相关程度高低的方法，所以甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高，从而选出正确的答案。
3．（2020高二下·菏泽期末）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意分两步完成任务：
第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数： 种，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，依次分析从A到C和从C到B的走法数目，由分步计数原理计算可得答案．
4．（2022·吕梁模拟）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】由题意，。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合虚数单位i的运算法则和复数的加减法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数。
5．已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（ ）
A．f'（xA）＞f'（xB）
B．f'（xA）＝f'（xB）
C．f'（xA）＜f'（xB）
D．f'（xA）与f'（xB）大小不能确定
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】根据题意，由图象可得f（x）在x＝xA处切线的斜率大于在x＝xB处切线的斜率，
则有f'（xA）＞f'（xB）；
故答案为：A
【分析】首先由已知的图表即可得出切线的斜率值，然后由斜率与导函数的性质即可得出答案。
6．复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】，所以.
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
7．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】二项式展开式的通式为，
由，得r＝2，此时
即的展开式中的系数为40
故答案为：C
【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式， 然后由已知条件代入数值计算出r的取值，并代入到通项公式由此计算出结果。
8．已知函数（是自然对数的底数），则等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】函数的值；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为，则，
所以，，所以，，故，
因此，.
故答案为：C.
【分析】首先整理化简已知条件，由此得出导函数的取值，从而得出函数的解析式。
9．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，
∵，∴.
故答案为：D.
【分析】首先由正态分布的性质，计算出对称轴然后由概率公式计算出结果即可。
10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（ ）
①，②，③，④.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数解析式的求解及常用方法；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性
【解析】【解答】①，则，当时，，则，选项①满足；
②，则，当时，，即，②不符题意；
③，则，选项③满足；
④，当时，，选项④满足.
综上有个函数符合题意.
故答案为：B
【分析】根据题意由已知条件结合正余弦函数的性质即可得出导函数的正负，由此即可得出二阶函数的性质，由凸函数的定义对选项逐一判断即可得出答案。
11．第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（ ）．
A．42种 B．63种 C．96种 D．126种
【答案】D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先将3人分成两组，共种，再在7个大项种选择2个项目安排这两组，共种，所以有且只有两人被分到同一大项的情况共有种.
故答案为：D．
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，计算出结果即可。
12．设函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx在(0，+∞)上有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．(-1，0) B．(-，0) C．(0，1) D．(0，)
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由，则，
①时，在上递减，在上递增，
时，，时，，
所以，要使函数有2个零点，则，所以有，
②时，在上只有1个零点，不符合题意，
③时，在上递增，在上递减，在上递增，
因为，所以在上不可能有2个零点，不符合题意，
④时，在上递增，不可能有2个零点，不符合题意，
⑤时，在上递增，在上递减，在上递增，因为，所以在不可能有2个零点，
综上，时，方程有两个零点.
故答案为：B．
【分析】首先对函数求导，然后由对a分情况讨论，由此即可得出导函数的正负，从而得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值再结合函数零点的定义，即可得出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
二、填空题
13．直线的直角坐标方程为 .
【答案】3x+4y-4=0
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】因为直线，
所以直角坐标方程为3x+4y-4=0.
故答案为：3x+4y-4=0.
【分析】根据题意把极坐标方程整理为普通方程，由此即可得出答案。
14．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为 .
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件A：猫的寿命超过10岁，事件B：猫的寿命超过12岁.
依题意有，，
则一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率.
故答案为：
【分析】由已知条件结合概率公式计算出各个事件的概率，并代入到条件概率公式由此计算出结果。
15．已知复数z与(z+2)2+8i都是纯虚数，则z= .
【答案】2i
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为复数为纯虚数，所以设且，
则=，
又由于是纯虚数，且，得，所以 .
故答案为：2i.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
16．已知函数，则函数在上的最大值为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为，则，令，即时，函数单调递增. 令，即时，函数单调递减.
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值也是函数的最小值.
，两端点为，，即最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出函数的最值，由此得出答案。
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+4cosθ+2sinθ=0.
（1）求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，直线l与x轴的交点为M，求|MA|·|MB|.
【答案】（1）解：由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程．
由得，
将代入得，即，
所以曲线C的直角坐标方程为
（2）解：将直线l的参数方程（t为参数），代入
整理得．
设点A，B对应的参数分别为，，则，，
所以
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)根据题意由参数方程余普通方程的互化关系，整理化简即可得出直线的方差，然后把点的再把代入即可得出曲线的普通方程。
(2)首先联立直线余圆的方程整理化简，即可得出关于t的一元二次方程，然后由韦达定理计算出两根之和余两根之积，并代入到数量积公式由此计算出结果即可。
18．（2020高三上·陕西月考）某学校组织知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为 ， ， ；在第二轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为 ， ， .甲、乙、丙三人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙、丙三人中选取一人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙、丙三人均参加比赛，求恰有两人赢得比赛的概率.
【答案】（1）解：设“甲赢得比赛”为事件A，
“乙赢得比赛”为事件B，
“丙赢得比赛”为事件C，
则 ，
，
.
因为 ，所以派丙参赛赢得比赛的可能性最大.
（2）解：设“三人比赛后恰有两人赢得比赛”为事件D，则 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1)根据题意设“甲赢得比赛”为事件A，“乙赢得比赛”为事件B，“丙赢得比赛”为事件C，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，能求出派丙参赛赢得比赛的可能性最大.
(2)由已知条件设“三人比赛后恰有两人赢得比赛”为事件D，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出恰有两人赢得比赛的概率.
19．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，求：
（1）物理和化学至少选一门的选法种数；
（2）物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选的选法种数.
【答案】（1）解：有两种情况：
①物理、化学中选一门，其余两门从剩余的5门中选，则有种选法；
②物理、化学选两门，剩下一门从剩余的5门中选，则有种选法，
由分类加法计数原理得选法总数为 (种).
（2）解：有三种情况：
①选物理，不选化学和历史，有种选法；
②选化学，不选物理，有种选法；
③物理与化学都选，不选历史，有种选法，
故答案为：法总数为6+10+4=20(种).
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】(1)由已知条件分情况讨论，然后由排列组合计数原理，结合题意计算出结果即可。
(2)由已知条件分情况讨论，然后由排列组合计数原理，结合题意计算出结果即可。
20．（2021高三上·泾阳期中）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的极值.
【答案】（1）解：∵，
∴.
又∵，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：由（1）知，
又，由，解得；
由，解得.
∴当时，单调递增；
当时，单调递减.
∴在区间上的极大值为，没有极小值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，由点斜式求解可得出曲线在点处的切线方程；
(2)利用导数的正负判断函数的单调性， 结合极值的定义求解可得函数在区间上的极值.
21．在某次社会机构的招聘考试中，参加考试的文科大学生与理科大学生的人数比例为1：3，且成绩(单位：分)分布在[30，90]，为调研此次考试的整体状况，按文理科用分层抽样的方法抽取160人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，且规定70及其以上为优秀.
参考公式：K2=，其中n=a +b +c+d.
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
（1）填写2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为成绩优秀与大学生的文理科有关；
文科生 理科生 合计
优秀 4
不优秀
合计 160
（2）将上述调查所得频率视为概率，现从考生中任意抽取3名，记成绩优秀学生人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：由题意可知，文理科人数的比例为1：3且按分层抽样抽取160人，则文科生有人，理科生有人.
70及其以上为优秀，则优秀的共有人，
所以2x2列联表为：
文科生 理科生 合计
优秀 4 28 42
不优秀 36 92 128
合计 40 120 160
则K 2==.
故有90%的把握认为成绩优秀与大学生的文理科有关
（2）解：由频率分布直方图可知，任意抽一名同学为优秀的概率为（0.015+0.005）10=0.2，
则X的可能取值为0，1，2，3且，
所以，，，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
所以或
【知识点】频率分布直方图；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由已知条件的图表中的数据结合观测值的公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出结果。
(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
22．已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）解：的定义域为，
由可得：，
当时，令，解得；令，解得或；
此时在上单调递增，在和上单调递减：
当时，，此时在和上单调递减；
当时，令，解得，令，解得或，
此时在上单调递增，在和上单调递减：
综上所述：当时，在上单调递增，在和上单调递减；
当时，在和上单调递减；
当时，在上单调递增，在和上单调递减.
（2）证明：因为，的定义域为，
所以即，
即证：，
令，只需证，
令，则，
令，解得：；，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以，
所以，即成立.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，结合a的取值范围分情况讨论即可得出导函数的性质，然后由导函数的性质即可得出函数的单调性。
(2)利用分析法首先整理化简不等式，然后由分离参数法构造函数，并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，从而得出由此得证出结论。
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陕西省渭南市白水县2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2019高二下·吉林期中）设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则 =( )
A．2 B．1 C． D．6
2．（2021高二下·白城期末）为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数 如下表所示：
同学甲 同学乙 同学丙 同学丁 同学戊
相关系数 0.45 -0.69 0.74 -0.98 0.82
则由表可知（ ）
A．乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高
B．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
C．乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
D．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高
3．（2020高二下·菏泽期末）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．16
4．（2022·吕梁模拟）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（ ）
A．f'（xA）＞f'（xB）
B．f'（xA）＝f'（xB）
C．f'（xA）＜f'（xB）
D．f'（xA）与f'（xB）大小不能确定
6．复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（ ）
A． B． C． D．
7．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
8．已知函数（是自然对数的底数），则等于（ ）
A． B． C．1 D．
9．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（ ）
①，②，③，④.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（ ）．
A．42种 B．63种 C．96种 D．126种
12．设函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx在(0，+∞)上有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．(-1，0) B．(-，0) C．(0，1) D．(0，)
二、填空题
13．直线的直角坐标方程为 .
14．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为 .
15．已知复数z与(z+2)2+8i都是纯虚数，则z= .
16．已知函数，则函数在上的最大值为 ．
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+4cosθ+2sinθ=0.
（1）求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，直线l与x轴的交点为M，求|MA|·|MB|.
18．（2020高三上·陕西月考）某学校组织知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为 ， ， ；在第二轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为 ， ， .甲、乙、丙三人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙、丙三人中选取一人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙、丙三人均参加比赛，求恰有两人赢得比赛的概率.
19．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，求：
（1）物理和化学至少选一门的选法种数；
（2）物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选的选法种数.
20．（2021高三上·泾阳期中）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的极值.
21．在某次社会机构的招聘考试中，参加考试的文科大学生与理科大学生的人数比例为1：3，且成绩(单位：分)分布在[30，90]，为调研此次考试的整体状况，按文理科用分层抽样的方法抽取160人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，且规定70及其以上为优秀.
参考公式：K2=，其中n=a +b +c+d.
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
（1）填写2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为成绩优秀与大学生的文理科有关；
文科生 理科生 合计
优秀 4
不优秀
合计 160
（2）将上述调查所得频率视为概率，现从考生中任意抽取3名，记成绩优秀学生人数为X，求X的分布列与数学期望.
22．已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：∵函数f（x）在x＝1处存在导数，
∴ f′（1）= ．
故答案为：C．
【分析】利用导数概念直接求解．
2．【答案】B
【知识点】相关系数
【解析】【解答】由题意知： ，又因为 越接近于1，数据的线性相关程度越高， 越接近于0，数据的线性相关程度越低．所以甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件得出，又因为 越接近于1，数据的线性相关程度越高， 越接近于0，数据的线性相关程度越低，则利用相关系数判断线性相关程度高低的方法，所以甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高，从而选出正确的答案。
3．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意分两步完成任务：
第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数： 种，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，依次分析从A到C和从C到B的走法数目，由分步计数原理计算可得答案．
4．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】由题意，。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合虚数单位i的运算法则和复数的加减法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数。
5．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】根据题意，由图象可得f（x）在x＝xA处切线的斜率大于在x＝xB处切线的斜率，
则有f'（xA）＞f'（xB）；
故答案为：A
【分析】首先由已知的图表即可得出切线的斜率值，然后由斜率与导函数的性质即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】，所以.
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】二项式展开式的通式为，
由，得r＝2，此时
即的展开式中的系数为40
故答案为：C
【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式， 然后由已知条件代入数值计算出r的取值，并代入到通项公式由此计算出结果。
8．【答案】C
【知识点】函数的值；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为，则，
所以，，所以，，故，
因此，.
故答案为：C.
【分析】首先整理化简已知条件，由此得出导函数的取值，从而得出函数的解析式。
9．【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，
∵，∴.
故答案为：D.
【分析】首先由正态分布的性质，计算出对称轴然后由概率公式计算出结果即可。
10．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数解析式的求解及常用方法；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性
【解析】【解答】①，则，当时，，则，选项①满足；
②，则，当时，，即，②不符题意；
③，则，选项③满足；
④，当时，，选项④满足.
综上有个函数符合题意.
故答案为：B
【分析】根据题意由已知条件结合正余弦函数的性质即可得出导函数的正负，由此即可得出二阶函数的性质，由凸函数的定义对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先将3人分成两组，共种，再在7个大项种选择2个项目安排这两组，共种，所以有且只有两人被分到同一大项的情况共有种.
故答案为：D．
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，计算出结果即可。
12．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由，则，
①时，在上递减，在上递增，
时，，时，，
所以，要使函数有2个零点，则，所以有，
②时，在上只有1个零点，不符合题意，
③时，在上递增，在上递减，在上递增，
因为，所以在上不可能有2个零点，不符合题意，
④时，在上递增，不可能有2个零点，不符合题意，
⑤时，在上递增，在上递减，在上递增，因为，所以在不可能有2个零点，
综上，时，方程有两个零点.
故答案为：B．
【分析】首先对函数求导，然后由对a分情况讨论，由此即可得出导函数的正负，从而得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值再结合函数零点的定义，即可得出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】3x+4y-4=0
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】因为直线，
所以直角坐标方程为3x+4y-4=0.
故答案为：3x+4y-4=0.
【分析】根据题意把极坐标方程整理为普通方程，由此即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件A：猫的寿命超过10岁，事件B：猫的寿命超过12岁.
依题意有，，
则一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率.
故答案为：
【分析】由已知条件结合概率公式计算出各个事件的概率，并代入到条件概率公式由此计算出结果。
15．【答案】2i
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为复数为纯虚数，所以设且，
则=，
又由于是纯虚数，且，得，所以 .
故答案为：2i.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为，则，令，即时，函数单调递增. 令，即时，函数单调递减.
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值也是函数的最小值.
，两端点为，，即最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出函数的最值，由此得出答案。
17．【答案】（1）解：由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程．
由得，
将代入得，即，
所以曲线C的直角坐标方程为
（2）解：将直线l的参数方程（t为参数），代入
整理得．
设点A，B对应的参数分别为，，则，，
所以
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)根据题意由参数方程余普通方程的互化关系，整理化简即可得出直线的方差，然后把点的再把代入即可得出曲线的普通方程。
(2)首先联立直线余圆的方程整理化简，即可得出关于t的一元二次方程，然后由韦达定理计算出两根之和余两根之积，并代入到数量积公式由此计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：设“甲赢得比赛”为事件A，
“乙赢得比赛”为事件B，
“丙赢得比赛”为事件C，
则 ，
，
.
因为 ，所以派丙参赛赢得比赛的可能性最大.
（2）解：设“三人比赛后恰有两人赢得比赛”为事件D，则 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1)根据题意设“甲赢得比赛”为事件A，“乙赢得比赛”为事件B，“丙赢得比赛”为事件C，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，能求出派丙参赛赢得比赛的可能性最大.
(2)由已知条件设“三人比赛后恰有两人赢得比赛”为事件D，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出恰有两人赢得比赛的概率.
19．【答案】（1）解：有两种情况：
①物理、化学中选一门，其余两门从剩余的5门中选，则有种选法；
②物理、化学选两门，剩下一门从剩余的5门中选，则有种选法，
由分类加法计数原理得选法总数为 (种).
（2）解：有三种情况：
①选物理，不选化学和历史，有种选法；
②选化学，不选物理，有种选法；
③物理与化学都选，不选历史，有种选法，
故答案为：法总数为6+10+4=20(种).
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】(1)由已知条件分情况讨论，然后由排列组合计数原理，结合题意计算出结果即可。
(2)由已知条件分情况讨论，然后由排列组合计数原理，结合题意计算出结果即可。
20．【答案】（1）解：∵，
∴.
又∵，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：由（1）知，
又，由，解得；
由，解得.
∴当时，单调递增；
当时，单调递减.
∴在区间上的极大值为，没有极小值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，由点斜式求解可得出曲线在点处的切线方程；
(2)利用导数的正负判断函数的单调性， 结合极值的定义求解可得函数在区间上的极值.
21．【答案】（1）解：由题意可知，文理科人数的比例为1：3且按分层抽样抽取160人，则文科生有人，理科生有人.
70及其以上为优秀，则优秀的共有人，
所以2x2列联表为：
文科生 理科生 合计
优秀 4 28 42
不优秀 36 92 128
合计 40 120 160
则K 2==.
故有90%的把握认为成绩优秀与大学生的文理科有关
（2）解：由频率分布直方图可知，任意抽一名同学为优秀的概率为（0.015+0.005）10=0.2，
则X的可能取值为0，1，2，3且，
所以，，，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
所以或
【知识点】频率分布直方图；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由已知条件的图表中的数据结合观测值的公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出结果。
(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
22．【答案】（1）解：的定义域为，
由可得：，
当时，令，解得；令，解得或；
此时在上单调递增，在和上单调递减：
当时，，此时在和上单调递减；
当时，令，解得，令，解得或，
此时在上单调递增，在和上单调递减：
综上所述：当时，在上单调递增，在和上单调递减；
当时，在和上单调递减；
当时，在上单调递增，在和上单调递减.
（2）证明：因为，的定义域为，
所以即，
即证：，
令，只需证，
令，则，
令，解得：；，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以，
所以，即成立.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，结合a的取值范围分情况讨论即可得出导函数的性质，然后由导函数的性质即可得出函数的单调性。
(2)利用分析法首先整理化简不等式，然后由分离参数法构造函数，并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，从而得出由此得证出结论。
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