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陕西省渭南市富平县2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．已知函数在处的导数为，则（ ）
A． B． C． D．
2．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数R如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关系数 B．模型2的相关系数
C．模型3的相关系数 D．模型4的相关系数
3．等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广州模拟）若复数，则（ ）
A．2 B． C．4 D．5
5．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2 B．0.24 C．0.28 D．0.32
6．按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆期间继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作．该区设置有三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只能选择一种．那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
7．设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A． B． C． D．
8．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．周老师将秦九韶的《数书九章》、李治的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则分配方式一共有（ ）
A．15种 B．60种 C．80种 D．90种
9．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员.在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021高二下·安徽月考）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用（万元） 4 2 3 5
销售额（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为7万元时销售额为（ ）
A．73万元 B．81.4万元 C．77.1万元 D．74.9万元
12．（2020高三上·武平月考）已知函数 满足 ，且当 时， 成立，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设，且，则 ．
14．的二项展开式中第3项的系数为 ．
15．若f(x)＝ex－kx的极小值为0，则k＝ ．
16．已知偶函数若方程有且只有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
三、解答题
17．设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置分别满足下列要求，求实数m满足的条件：
（1）不在实轴上；
（2）在虚轴右侧（不包括虚轴）．
18．为预防某种疾病发生，某团队研发一种药物进行提前干预，现进入临床试验阶段．为了考察这种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
患病 未患病 总计
服用药
未服用药 28 50
总计 34 120
附：，其中．
0.025 0.010 0.005 0.001
k 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）通过计算判断是否有99.5%的把握认为这种药物对预防疾病有效．
19．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
20．将五个不同的元素a，b，c，d，e排成一排．
（1）a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？
（2）a不排在首位，e不排在末位，有多少种排法？
21．某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得300元优惠券；方案乙的中奖率为，中奖可以获得350元优惠券；未中奖则没有优惠券．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为元，求的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列，并判断他们选择何种方案抽奖，两人获得的优惠券总金额的数学期望较大．
22．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由导数的定义和极限的运算法则，可得：
.
故答案为：A.
【分析】根据题意由导数的定义和极限的运算法则，整理化简计算出结果即可。
2．【答案】D
【知识点】两个变量的线性相关
【解析】【解答】根据两个变量y与x的回归模型中， 相关系数R的绝对值越接近1，其拟合效果越好.
D中相关系数R的绝对值最接近1，其模拟效果最好.
故答案为：D
【分析】根据题意由线性回归的几何性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由组合数公式的性质可得：.
故答案为：B.
【分析】由组合数公式，代入数值计算出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为复数
，
所以
，
所以
，
故答案为：B
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线
由，可得
则，
故
故答案为：C
【分析】由已知条件结合正态分布的几何性质，由此得出对称轴然后由正态分布的数据结合概率公式，代入数值即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】第一步选择接种点位，有3种选择；第二步选择疫苗，有2种选择，由乘法原理知，共有3x2=6种选择的安排方法．
故答案为：B．
【分析】由已知条件结合排列组合以及计数原理，结合题意代入数值计算出结果即可。
7．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意，
故答案为：A
【分析】由概率公式结合题意，计算出结果即可。
8．【答案】D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：由题意得，六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组的方法数有
.
故答案为：D.
【分析】首先由排列组合以及计数原理，计算出各个事件的个数然后把结果代入到概率公式，计算出结果即可。
9．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件为：选到的是团员，事件为：选到的是男生.
根据题意，易得，，故.
故答案为：B.
【分析】首先由已知条件求出基本时间的概率，再把结果代入到条件概率个数，计算出结果即可。
10．【答案】C
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：C.
【分析】 可求出导函数 ，然后即可求出f′（0）=-1，从而得出 ，然后即可求出f′（1）的值．
11．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题知，，
因为回归方程过定点，
所以，即
所以回归方程为，
所以当广告费用为7万元时销售额为万元.
故答案为：D
【分析】首先由图表中的数据计算出样本中心点的再把，再代入到线性回归方程，由此得出线性回归方程，结合题意把数值代入线性回归方程，计算出结果即可。
12．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为函数 满足 ，且在 上是连续函数，
所以函数 是偶函数，
不妨令 ，则 是奇函数，且在 上是连续函数，
则 ，
因为当 时， 成立，
所以 在 上单调递减，
又因为 在 上是连续函数，且是奇函数，所以 在 上单调递减，
则 ， ， ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】构造函数 ，利用奇函数的定义得函数 是奇函数，再利用导数研究函数的单调性，结合 ，再利用单调性比较大小得结论.
13．【答案】0
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由题意知：，解得：，.
故答案为：0.
【分析】由复数相等的定义即可得出x、y的方程组，取值范围结果即可。
14．【答案】15
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】在二项式的展开式中，通项公式为，
令，则.
所以的二项展开式中第3项的系数为15.
故答案为：15.
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合题意由已知条件计算出r的取值，并代入到二项展开式的通项公式计算出结果即可。
15．【答案】e
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为f(x)＝ex－kx的定义域为R，
所以f′(x)＝ex－k，当k≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，
所以f(x)无极值．当k>0时，由f′(x)＝0，得x＝ln k；
令f′(x)>0，得x>ln k，此时函数单调递增；
令f′(x)<0，得x所以f(x)的极小值为：f(ln k)＝eln k－kln k＝k(1－ln k)＝0，
所以1－ln k＝0，即k＝e.
故答案为：e
【分析】根据题意对函数求导，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，结合函数的极值的定义即可得出答案。
16．【答案】
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】(1)当 时，
由 得 ；由 得 .
所以在 上单调递增，在 上单调递减.
， .
(2)当 时， ，
于是可画出右边的函数图象，又因为为偶函数，其图象关于y轴对称，从而可画出左边的图象.
由图象知： .
故答案为： .
【分析】由分段函数的解析式，结合二次函数和一次函数的图象即可得出函数f(x)的图象，由数形结合法即可得满足题意的m的取值范围。
17．【答案】（1）解：因为点Z不在实轴上，所以复数z为虚数，所以，解得：且
（2）解：因为点Z在虚轴右侧（不包括虚轴），所以，解得：
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】(1)根据题意由复数的定义以及复数代数形式的几何意义，即可得出m的取值。
(2)根据题意由复数代数形式的几何意义，即可得出m的取值。
18．【答案】（1）解：列联表补充如下
患病 未患病 总计
服用药 12 58 70
未服用药 22 28 50
总计 34 86 120
（2）解：∵，
，
故有99.5%的把握认为药物对预防疾病有效.
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】(1)由已知条件结合题意即可计算出结果，由此把图表补充完整。
(2)由已知条件把数值代入到观测值公式，由此计算出结果再与标准值进行比较由此即可得出结论。
19．【答案】（1）解：，，又，
在处的切线为：
（2）解：令，解得：，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
又，，，
在上的最大值为，最小值为-2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，结合点斜式即可大得出直线的方程。
(2)由已知条件对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可得出函数的最值。
20．【答案】（1）解：a，e必须排在首位或末位，则有种排法，
b，c，d进行全排列，所以有种排法，
由分步乘法运算可得种排法
（2）解：a不排在首位，e不排在末位，则有以下两种排法，
① a排在末位，则其余元素可进行全排列，有种排法，
② a排在中间，则a有种排法，e有种排法，
则其余元素可进行全排列，有种排法，所以种排法，
最后，根据加法原理，一共有种排法.
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】(1)由已知条件分情况讨论，结合排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
(2)由已知条件分情况讨论，结合排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
21．【答案】解：（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“”的事件为，则事件的对立事件为，即“”，
因为，
所以，
即的概率为．
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的优惠券总金额为元，都选择方案乙所获得的优惠券总金额为元，则的可能取值为0，300，600，的可能取值为0，350，700．
，
，
，
，
，
，
所以，的分布列如下：
0 300 600
0 350 700
所以，
．
因为，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，所获得的优惠券总金额的数学期望较大．
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 （Ⅰ）根据题意由相互独立事件的概率公式，即可得出各个事件的概率，然后由互斥事件的概率公式计算出结果即可。
( Ⅱ )根据题意即可得出X1与X2的取值，再由概率的公式求出对应的X1与X2的概率由此得到X1与X2的分布列，结合数学期望公式计算出答案进行比较尽快对称结论。
22．【答案】（1）解：因为定义域为，
且，
当，恒成立，所以该函数在上单调递增；
当，令，解得，令，解得，
所以该函数的单调增区间为，单调减区间为.
综上，当，的单调递增区间为；当，的单调增区间为，单调减区间为.
（2）解：若要，只需，
即需要恒成立.
设，，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以，
于是需要，恒成立，即，恒成立.
设，，则恒成立，
所以，
则，即.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，结合m的取值范围即可得出导函数的性质即可得出函数的单调性。
(2)根据题意整理化简化简不等式，再由分离参数法得出不等式，然后构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，从而得出a的取值范围。
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陕西省渭南市富平县2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．已知函数在处的导数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由导数的定义和极限的运算法则，可得：
.
故答案为：A.
【分析】根据题意由导数的定义和极限的运算法则，整理化简计算出结果即可。
2．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数R如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关系数 B．模型2的相关系数
C．模型3的相关系数 D．模型4的相关系数
【答案】D
【知识点】两个变量的线性相关
【解析】【解答】根据两个变量y与x的回归模型中， 相关系数R的绝对值越接近1，其拟合效果越好.
D中相关系数R的绝对值最接近1，其模拟效果最好.
故答案为：D
【分析】根据题意由线性回归的几何性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
3．等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由组合数公式的性质可得：.
故答案为：B.
【分析】由组合数公式，代入数值计算出结果即可。
4．（2022·广州模拟）若复数，则（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为复数
，
所以
，
所以
，
故答案为：B
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
5．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2 B．0.24 C．0.28 D．0.32
【答案】C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线
由，可得
则，
故
故答案为：C
【分析】由已知条件结合正态分布的几何性质，由此得出对称轴然后由正态分布的数据结合概率公式，代入数值即可得出答案。
6．按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆期间继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作．该区设置有三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只能选择一种．那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】第一步选择接种点位，有3种选择；第二步选择疫苗，有2种选择，由乘法原理知，共有3x2=6种选择的安排方法．
故答案为：B．
【分析】由已知条件结合排列组合以及计数原理，结合题意代入数值计算出结果即可。
7．设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意，
故答案为：A
【分析】由概率公式结合题意，计算出结果即可。
8．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．周老师将秦九韶的《数书九章》、李治的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则分配方式一共有（ ）
A．15种 B．60种 C．80种 D．90种
【答案】D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：由题意得，六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组的方法数有
.
故答案为：D.
【分析】首先由排列组合以及计数原理，计算出各个事件的个数然后把结果代入到概率公式，计算出结果即可。
9．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员.在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件为：选到的是团员，事件为：选到的是男生.
根据题意，易得，，故.
故答案为：B.
【分析】首先由已知条件求出基本时间的概率，再把结果代入到条件概率个数，计算出结果即可。
10．（2021高二下·安徽月考）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：C.
【分析】 可求出导函数 ，然后即可求出f′（0）=-1，从而得出 ，然后即可求出f′（1）的值．
11．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用（万元） 4 2 3 5
销售额（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为7万元时销售额为（ ）
A．73万元 B．81.4万元 C．77.1万元 D．74.9万元
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题知，，
因为回归方程过定点，
所以，即
所以回归方程为，
所以当广告费用为7万元时销售额为万元.
故答案为：D
【分析】首先由图表中的数据计算出样本中心点的再把，再代入到线性回归方程，由此得出线性回归方程，结合题意把数值代入线性回归方程，计算出结果即可。
12．（2020高三上·武平月考）已知函数 满足 ，且当 时， 成立，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为函数 满足 ，且在 上是连续函数，
所以函数 是偶函数，
不妨令 ，则 是奇函数，且在 上是连续函数，
则 ，
因为当 时， 成立，
所以 在 上单调递减，
又因为 在 上是连续函数，且是奇函数，所以 在 上单调递减，
则 ， ， ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】构造函数 ，利用奇函数的定义得函数 是奇函数，再利用导数研究函数的单调性，结合 ，再利用单调性比较大小得结论.
二、填空题
13．设，且，则 ．
【答案】0
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由题意知：，解得：，.
故答案为：0.
【分析】由复数相等的定义即可得出x、y的方程组，取值范围结果即可。
14．的二项展开式中第3项的系数为 ．
【答案】15
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】在二项式的展开式中，通项公式为，
令，则.
所以的二项展开式中第3项的系数为15.
故答案为：15.
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合题意由已知条件计算出r的取值，并代入到二项展开式的通项公式计算出结果即可。
15．若f(x)＝ex－kx的极小值为0，则k＝ ．
【答案】e
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为f(x)＝ex－kx的定义域为R，
所以f′(x)＝ex－k，当k≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，
所以f(x)无极值．当k>0时，由f′(x)＝0，得x＝ln k；
令f′(x)>0，得x>ln k，此时函数单调递增；
令f′(x)<0，得x所以f(x)的极小值为：f(ln k)＝eln k－kln k＝k(1－ln k)＝0，
所以1－ln k＝0，即k＝e.
故答案为：e
【分析】根据题意对函数求导，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，结合函数的极值的定义即可得出答案。
16．已知偶函数若方程有且只有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】(1)当 时，
由 得 ；由 得 .
所以在 上单调递增，在 上单调递减.
， .
(2)当 时， ，
于是可画出右边的函数图象，又因为为偶函数，其图象关于y轴对称，从而可画出左边的图象.
由图象知： .
故答案为： .
【分析】由分段函数的解析式，结合二次函数和一次函数的图象即可得出函数f(x)的图象，由数形结合法即可得满足题意的m的取值范围。
三、解答题
17．设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置分别满足下列要求，求实数m满足的条件：
（1）不在实轴上；
（2）在虚轴右侧（不包括虚轴）．
【答案】（1）解：因为点Z不在实轴上，所以复数z为虚数，所以，解得：且
（2）解：因为点Z在虚轴右侧（不包括虚轴），所以，解得：
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】(1)根据题意由复数的定义以及复数代数形式的几何意义，即可得出m的取值。
(2)根据题意由复数代数形式的几何意义，即可得出m的取值。
18．为预防某种疾病发生，某团队研发一种药物进行提前干预，现进入临床试验阶段．为了考察这种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
患病 未患病 总计
服用药
未服用药 28 50
总计 34 120
附：，其中．
0.025 0.010 0.005 0.001
k 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）通过计算判断是否有99.5%的把握认为这种药物对预防疾病有效．
【答案】（1）解：列联表补充如下
患病 未患病 总计
服用药 12 58 70
未服用药 22 28 50
总计 34 86 120
（2）解：∵，
，
故有99.5%的把握认为药物对预防疾病有效.
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】(1)由已知条件结合题意即可计算出结果，由此把图表补充完整。
(2)由已知条件把数值代入到观测值公式，由此计算出结果再与标准值进行比较由此即可得出结论。
19．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）解：，，又，
在处的切线为：
（2）解：令，解得：，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
又，，，
在上的最大值为，最小值为-2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，结合点斜式即可大得出直线的方程。
(2)由已知条件对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可得出函数的最值。
20．将五个不同的元素a，b，c，d，e排成一排．
（1）a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？
（2）a不排在首位，e不排在末位，有多少种排法？
【答案】（1）解：a，e必须排在首位或末位，则有种排法，
b，c，d进行全排列，所以有种排法，
由分步乘法运算可得种排法
（2）解：a不排在首位，e不排在末位，则有以下两种排法，
① a排在末位，则其余元素可进行全排列，有种排法，
② a排在中间，则a有种排法，e有种排法，
则其余元素可进行全排列，有种排法，所以种排法，
最后，根据加法原理，一共有种排法.
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】(1)由已知条件分情况讨论，结合排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
(2)由已知条件分情况讨论，结合排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
21．某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得300元优惠券；方案乙的中奖率为，中奖可以获得350元优惠券；未中奖则没有优惠券．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为元，求的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列，并判断他们选择何种方案抽奖，两人获得的优惠券总金额的数学期望较大．
【答案】解：（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“”的事件为，则事件的对立事件为，即“”，
因为，
所以，
即的概率为．
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的优惠券总金额为元，都选择方案乙所获得的优惠券总金额为元，则的可能取值为0，300，600，的可能取值为0，350，700．
，
，
，
，
，
，
所以，的分布列如下：
0 300 600
0 350 700
所以，
．
因为，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，所获得的优惠券总金额的数学期望较大．
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 （Ⅰ）根据题意由相互独立事件的概率公式，即可得出各个事件的概率，然后由互斥事件的概率公式计算出结果即可。
( Ⅱ )根据题意即可得出X1与X2的取值，再由概率的公式求出对应的X1与X2的概率由此得到X1与X2的分布列，结合数学期望公式计算出答案进行比较尽快对称结论。
22．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：因为定义域为，
且，
当，恒成立，所以该函数在上单调递增；
当，令，解得，令，解得，
所以该函数的单调增区间为，单调减区间为.
综上，当，的单调递增区间为；当，的单调增区间为，单调减区间为.
（2）解：若要，只需，
即需要恒成立.
设，，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以，
于是需要，恒成立，即，恒成立.
设，，则恒成立，
所以，
则，即.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，结合m的取值范围即可得出导函数的性质即可得出函数的单调性。
(2)根据题意整理化简化简不等式，再由分离参数法得出不等式，然后构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，从而得出a的取值范围。
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