天津市南开区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·南开期末）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}， UB={4，5，6}，则集合A∩B=（ ）
A．{1，2} B．{5}
C．{1，2，3} D．{3，4，6}
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵全集U={1，2，3，4，5，6}，
又∵ UB={4，5，6}，
∴B={1，2，3}，
∵A={1，2，5}，
∴A∩B={1，2}，
故选：A．
【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，CUB={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
2．（2022高二下·南开期末）已知命题：，总有，则命题的否定为（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，总有 D．，总有
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题的否定为，使得。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而得出命题p的否定。
3．（2022高二下·南开期末）若为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若“0＜ab＜1”，当a，b均小于0时，b＞即“0＜ab＜1” “b＜”为假命题；
若“b＜当a＜0时，ab＞1，即“b＜” “0＜ab＜1”为假命题，综上所述，“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而判断出“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件。
4．（2022高二下·南开期末）已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】如图，因为函数定义域是，排除A选项，
当，，排除B，
因为，所以函数为偶函数，
根据函数图象不关于轴对称可知函数不是偶函数，故可排除D.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合函数的大致图象，再利用函数的定义域、函数极限的方法、偶函数图象的对称性，进而找出满足要求的函数的解析式。
5．（2022高二下·南开期末）已知 ， ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 所以
故答案为：C．
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，再结合特殊值0和1对应的对数和指数与a,b,c的大小比较，从而比较出a,b,c三者的大小。
6．（2022高二下·南开期末）在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．74 B．121 C．-74 D．-121
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为在，
所以含的项为：，
所以含的项的系数是，
。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式结合求和法求出含的项的系数。
7．（2022高二下·南开期末）某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（ ）.
A．10种 B．12种 C．15种 D．16种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】分为以下三类分别计算：
选甲，则有 种；
选乙，则有 种；
甲乙都不选，则有 种；
共有3+6+6=15种方案。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理，进而求出不同的投放方案种数。
8．（2022高二下·南开期末）已知变量和的统计数据如下表：
3 4 5 6 7
2.5 3 4 4.5 6
根据上表可得回归直线方程为，据此可以预测当时，的估计值为（ ）
A．6.4 B．6.25 C．6.55 D．6.45
【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】由题意知，
得将点代入，解得，
所以当时，。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合平均数公式和线性回归方程恒过样本中心点，进而结合代入法得出的值，从而求出线性回归方程，再利用代入法估计出 的估计值。
9．（2022高二下·南开期末）某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是：认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握有（ ）
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．99.9% B．99% C．1% D．0.1%
【答案】C
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】∵，
∴认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握有1%。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合 列联表中的数据，再结合独立性检验的方法认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握有1%。
10．（2022高二下·南开期末）已知函数是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点的纵坐标的最大值是（ ）.
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】偶函数；直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】因为是偶函数，
所以，所以，即，，
所以是圆位于x轴上和上方的半圆上的点，
又因为，
即求的最大值，
令，则，它表示斜率为2的直线，
如图：
当直线过点时，
在直线在轴上的截距最小，从而最大，即。
故答案为：B．
【分析】利用是偶函数结合偶函数的定义，进而得出，所以是圆位于x轴上和上方的半圆上的点，再利用代入法得出，即求的最大值，令，则，它表示斜率为2的直线，再结合半圆和直线的图象得出当直线过点时，在直线在轴上的截距最小，从而最大，从而得出t的最大值，进而得出 f（x）的图象与y轴交点的纵坐标的最大值。
二、填空题
11．（2022高二下·南开期末）的展开式的中间一项为 .
【答案】924
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】的展开式通项公式为：
，
令，得，
即展开式的中间一项为924。
故答案为：924。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求出展开式的中间的一项。
12．（2022高二下·南开期末）从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第一次抽到A牌，则第二次抽到A牌的概率为 .
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】第一次是A时，还剩下3张A，所以第二次也是A的概率为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出第一次抽到A牌，则第二次抽到A牌的概率。
13．（2022高二下·南开期末）计算：
【答案】
【知识点】换底公式及其推论
【解析】【解答】
。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合换底公式，进而化简求值。
14．（2022高二下·南开期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【解答】由题设和正态分布的性质可得 ，即 ，所以 。
故应填 。
【分析】利用随机变量 服从正态分布 结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再结合 ， 得出实数c的值。
15．（2022高二下·南开期末）已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为
【答案】6
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由于x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，
则9﹣（x+3y）=xy= ，
当且仅当x=3y时，取“=”
则此时 ，
由于x＞0，y＞0，解得 ，
故x+3y=6
故答案为6．
【分析】由于要求x+3y的最小值，故在解题时注意把x+3y看为一个整体，需将已知方程中的xy利用基本不等式转化为x+3y的形式．
三、解答题
16．（2022高二下·南开期末）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球共10个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
（1）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望E
【答案】（1）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为x，则，得到
故白球有5个
（2）解：随机变量的取值为0，1，2，3，
则；；；；
所以分布列是
0 1 2 3
P
的数学期望.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，再利用对立事件求概率公式，进而得出白球的个数。
（2）利用已知条件求出随机变量的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量的数学期望。
17．（2022高二下·南开期末）已知函数
（1）求曲线在点（2，—6）处的切线的方程；
（2）已知函数在点处有极小值—1，试确定a，b的值，并求出g（x）的单调区间.
【答案】（1）解：因为，
所以曲线在点（2，—6）处的切线的斜率为.
所以切线的方程为
即.
（2）解：由已知，可得①
又
所以②
由①、②，可解得
故函数的解析式为.
由此得
根据二次函数的性质，当或时，
当时，
因此，在区间和（1，+）上，函数g（x）为增函数；
在区间内，函数g（x）为减函数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式方程求出曲线在切点处的切线方程，再转化为切线的一般式方程。
（2）利用已知条件结合函数f(x)的解析式求出关于a，b的函数g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点和极值，从而得出a，b的值，进而得出函数g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数g(x)的单调区间。
18．（2022高二下·南开期末）已知函数 ．
（1）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（2）对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：由 ，解得 或 ，
∴函数 的定义域为 ，
当 时，
，
∴ 是奇函数
（2）解：由于 时， 恒成立，
∴ >0，
∵ ，∴ 在 上恒成立．
令 ，
由二次函数的性质可知， 时函数 单调递增， 时函数 单调递减，
即 时， ，所以 .
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．（2）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．
19．（2022高二下·南开期末）如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．
【答案】解：（Ⅰ）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．
用频率估计相应的概率，则有：
，；
∵，∴甲应选择路径；
，；
∵，∴乙应选择路径．
（Ⅱ）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，又事件A，B相互独立，的取值是0，1，2，
∴，
，
∴X的分布列为
0 1 2
P 0.04 0.42 0.54
∴．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率与概率的关系，再结合互斥事件加法求概率公式，从而利用比较法得出甲和乙应选择的各自的路径。
（2）利用已知条件求出随机变量X的取值，再利用独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
20．（2022高二下·南开期末）已知函数定义域为，设.
（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
（2）求证：；
（3）求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数.
【答案】（1）解：∵，
由或，由，
∴在，上递增，在上递减，
又∵在上为单调函数，
所以
（2）证明：∵在，上递增，在上递减，
∴在处取得极小值，
又∵，而在上的最小值为，
从而当时，，即m＜n
（3）证明：∵，
∴，即为，
令，从而问题转化为证明方程在上有解，并讨论解的个数，
∵，，
∴①当或时，∴在上有解，且只有一解，
②当时，且，
又∵，
∴在上有解，且有两解，
③当时，或，
∴在上有且只有一解，
当时，或，
∴在上也只有一解，
综上所述，对任意的，总存在，满足，
且当或时，有唯一的符合题意.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出实数t的取值范围。
（2） 利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极小值，从而求出函数在上的最小值，所以当时，再利用函数的单调性，则，从而证出不等式m＜n成立。
（3） 利用，得出，令，从而问题转化为证明方程在上有解，并讨论解的个数，再利用，得出，再利用分类讨论的方法结合异号为正的性质，再结合已知条件结合方程的解的个数，进而证出对任意的，总存在，满足，并求出当或时，有唯一的符合题意。
1 / 1天津市南开区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·南开期末）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}， UB={4，5，6}，则集合A∩B=（ ）
A．{1，2} B．{5}
C．{1，2，3} D．{3，4，6}
2．（2022高二下·南开期末）已知命题：，总有，则命题的否定为（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，总有 D．，总有
3．（2022高二下·南开期末）若为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022高二下·南开期末）已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高二下·南开期末）已知 ， ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022高二下·南开期末）在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．74 B．121 C．-74 D．-121
7．（2022高二下·南开期末）某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（ ）.
A．10种 B．12种 C．15种 D．16种
8．（2022高二下·南开期末）已知变量和的统计数据如下表：
3 4 5 6 7
2.5 3 4 4.5 6
根据上表可得回归直线方程为，据此可以预测当时，的估计值为（ ）
A．6.4 B．6.25 C．6.55 D．6.45
9．（2022高二下·南开期末）某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是：认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握有（ ）
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．99.9% B．99% C．1% D．0.1%
10．（2022高二下·南开期末）已知函数是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点的纵坐标的最大值是（ ）.
A．6 B．4 C．2 D．0
二、填空题
11．（2022高二下·南开期末）的展开式的中间一项为 .
12．（2022高二下·南开期末）从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第一次抽到A牌，则第二次抽到A牌的概率为 .
13．（2022高二下·南开期末）计算：
14．（2022高二下·南开期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
15．（2022高二下·南开期末）已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为
三、解答题
16．（2022高二下·南开期末）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球共10个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
（1）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望E
17．（2022高二下·南开期末）已知函数
（1）求曲线在点（2，—6）处的切线的方程；
（2）已知函数在点处有极小值—1，试确定a，b的值，并求出g（x）的单调区间.
18．（2022高二下·南开期末）已知函数 ．
（1）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（2）对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
19．（2022高二下·南开期末）如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．
20．（2022高二下·南开期末）已知函数定义域为，设.
（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
（2）求证：；
（3）求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵全集U={1，2，3，4，5，6}，
又∵ UB={4，5，6}，
∴B={1，2，3}，
∵A={1，2，5}，
∴A∩B={1，2}，
故选：A．
【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，CUB={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题的否定为，使得。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而得出命题p的否定。
3．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若“0＜ab＜1”，当a，b均小于0时，b＞即“0＜ab＜1” “b＜”为假命题；
若“b＜当a＜0时，ab＞1，即“b＜” “0＜ab＜1”为假命题，综上所述，“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而判断出“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件。
4．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】如图，因为函数定义域是，排除A选项，
当，，排除B，
因为，所以函数为偶函数，
根据函数图象不关于轴对称可知函数不是偶函数，故可排除D.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合函数的大致图象，再利用函数的定义域、函数极限的方法、偶函数图象的对称性，进而找出满足要求的函数的解析式。
5．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 所以
故答案为：C．
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，再结合特殊值0和1对应的对数和指数与a,b,c的大小比较，从而比较出a,b,c三者的大小。
6．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为在，
所以含的项为：，
所以含的项的系数是，
。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式结合求和法求出含的项的系数。
7．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】分为以下三类分别计算：
选甲，则有 种；
选乙，则有 种；
甲乙都不选，则有 种；
共有3+6+6=15种方案。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理，进而求出不同的投放方案种数。
8．【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】由题意知，
得将点代入，解得，
所以当时，。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合平均数公式和线性回归方程恒过样本中心点，进而结合代入法得出的值，从而求出线性回归方程，再利用代入法估计出 的估计值。
9．【答案】C
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】∵，
∴认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握有1%。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合 列联表中的数据，再结合独立性检验的方法认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握有1%。
10．【答案】B
【知识点】偶函数；直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】因为是偶函数，
所以，所以，即，，
所以是圆位于x轴上和上方的半圆上的点，
又因为，
即求的最大值，
令，则，它表示斜率为2的直线，
如图：
当直线过点时，
在直线在轴上的截距最小，从而最大，即。
故答案为：B．
【分析】利用是偶函数结合偶函数的定义，进而得出，所以是圆位于x轴上和上方的半圆上的点，再利用代入法得出，即求的最大值，令，则，它表示斜率为2的直线，再结合半圆和直线的图象得出当直线过点时，在直线在轴上的截距最小，从而最大，从而得出t的最大值，进而得出 f（x）的图象与y轴交点的纵坐标的最大值。
11．【答案】924
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】的展开式通项公式为：
，
令，得，
即展开式的中间一项为924。
故答案为：924。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求出展开式的中间的一项。
12．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】第一次是A时，还剩下3张A，所以第二次也是A的概率为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出第一次抽到A牌，则第二次抽到A牌的概率。
13．【答案】
【知识点】换底公式及其推论
【解析】【解答】
。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合换底公式，进而化简求值。
14．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【解答】由题设和正态分布的性质可得 ，即 ，所以 。
故应填 。
【分析】利用随机变量 服从正态分布 结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再结合 ， 得出实数c的值。
15．【答案】6
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由于x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，
则9﹣（x+3y）=xy= ，
当且仅当x=3y时，取“=”
则此时 ，
由于x＞0，y＞0，解得 ，
故x+3y=6
故答案为6．
【分析】由于要求x+3y的最小值，故在解题时注意把x+3y看为一个整体，需将已知方程中的xy利用基本不等式转化为x+3y的形式．
16．【答案】（1）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为x，则，得到
故白球有5个
（2）解：随机变量的取值为0，1，2，3，
则；；；；
所以分布列是
0 1 2 3
P
的数学期望.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，再利用对立事件求概率公式，进而得出白球的个数。
（2）利用已知条件求出随机变量的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量的数学期望。
17．【答案】（1）解：因为，
所以曲线在点（2，—6）处的切线的斜率为.
所以切线的方程为
即.
（2）解：由已知，可得①
又
所以②
由①、②，可解得
故函数的解析式为.
由此得
根据二次函数的性质，当或时，
当时，
因此，在区间和（1，+）上，函数g（x）为增函数；
在区间内，函数g（x）为减函数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式方程求出曲线在切点处的切线方程，再转化为切线的一般式方程。
（2）利用已知条件结合函数f(x)的解析式求出关于a，b的函数g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点和极值，从而得出a，b的值，进而得出函数g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数g(x)的单调区间。
18．【答案】（1）解：由 ，解得 或 ，
∴函数 的定义域为 ，
当 时，
，
∴ 是奇函数
（2）解：由于 时， 恒成立，
∴ >0，
∵ ，∴ 在 上恒成立．
令 ，
由二次函数的性质可知， 时函数 单调递增， 时函数 单调递减，
即 时， ，所以 .
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．（2）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．
19．【答案】解：（Ⅰ）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．
用频率估计相应的概率，则有：
，；
∵，∴甲应选择路径；
，；
∵，∴乙应选择路径．
（Ⅱ）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，又事件A，B相互独立，的取值是0，1，2，
∴，
，
∴X的分布列为
0 1 2
P 0.04 0.42 0.54
∴．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率与概率的关系，再结合互斥事件加法求概率公式，从而利用比较法得出甲和乙应选择的各自的路径。
（2）利用已知条件求出随机变量X的取值，再利用独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
20．【答案】（1）解：∵，
由或，由，
∴在，上递增，在上递减，
又∵在上为单调函数，
所以
（2）证明：∵在，上递增，在上递减，
∴在处取得极小值，
又∵，而在上的最小值为，
从而当时，，即m＜n
（3）证明：∵，
∴，即为，
令，从而问题转化为证明方程在上有解，并讨论解的个数，
∵，，
∴①当或时，∴在上有解，且只有一解，
②当时，且，
又∵，
∴在上有解，且有两解，
③当时，或，
∴在上有且只有一解，
当时，或，
∴在上也只有一解，
综上所述，对任意的，总存在，满足，
且当或时，有唯一的符合题意.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出实数t的取值范围。
（2） 利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极小值，从而求出函数在上的最小值，所以当时，再利用函数的单调性，则，从而证出不等式m＜n成立。
（3） 利用，得出，令，从而问题转化为证明方程在上有解，并讨论解的个数，再利用，得出，再利用分类讨论的方法结合异号为正的性质，再结合已知条件结合方程的解的个数，进而证出对任意的，总存在，满足，并求出当或时，有唯一的符合题意。
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