华东师大版八年级数学上册 第14章 勾股定理 折叠问题中的勾股定理 课件 (共18张PPT)

(共18张PPT)
折叠问题中的勾股定理
勾股定理反映的是直角三角形三边
的关系。应用勾股定理由已知边求出
未知边。
这节课应用勾股定理来解决折叠中
的诸多问题
引入：
请按下列要求折叠矩形纸片ABCD
并画出折叠后的几何图形
1：把矩形边AB折在边AD上。
2：把矩形ABCD边AB 折在对角线AC上。
3：把矩形ABCD沿对角线AC对折。
4: 使矩形的顶点B恰好与点D重合。
看一看，比一比，你画对了吗
图一
A
B
C
D
A1
F
A
B
C
D
E
B1
图二
（1）如图一，AB折在AD上。
（2），如图二，AB折在AC上
看一看，比一比，你画对了吗
A
B
C
D
E
B1
图三
A
B
C
D
E
F
A1
图四
（3）沿AC折叠。
（4）B、D重合。
问题1：如图一，若AB=6,AD=8,你能求出图中哪些线段的长度？
A
D
C
E
B
B1
AB=AB1=CD=BE=6,
B1D=EC=2,
AE2=AB2+BE2
=62+62=72
AE=
探究新知
问题2：边AB落在AC上，你能提出哪些问题？你能求出哪些线段长？
A
D
C
B
E
B1
提示：ΔABE折叠到哪？AB折在何处？
∠B折在何处？图中又产生哪些直角三角形？
思考：在哪个直角三角形中，有已知边，且未知边之间有数量关系，可利用勾股定理求出未知边呢？
问题2：
A
D
C
B
E
B1
1:AB=AB1=CD=6,AD=BC=8,∠B=∠AB1E=∠EB1C=
900.求： AC= B1C=
3：△EB1C中B1C=4, B1E+CE=10
设B1E=x,则EC=6-x。根据勾股
定理，可得方程
x2+42=（8-x)2 解得 x=3
则BE=B1E=3,CE=5 下一步可求得AE.
2:思考：怎么求出BE,CE呢
问题3：把矩形ABCD沿对角线AC折叠，如下图
所示。你能提出哪些问题？
2.思考： △ABC折在何处？图中哪些直
角三角形有已知边，且知道未知两边之和。
3. △EDC的面积是多少？
A
B
C
D
E
B1
1
2
3
1. △AEC是什么三角形？
⑴∵ AD∥BC
∴ ∠ 1=∠2
∵ ∠2=∠3
∴ ∠ 1=∠3
∴AE=EC
⑵设ED=x,则EC=AE=8-x.
根据勾股定理，得
ED2+DC2=EC2
即x2+62=(8-x)2
解得x=
∴S△EDC= ED·DC= × ×6
=
A
B
C
D
E
B1
1
2
3
△AB1E同ΔEDC.
问题4.折叠矩形ABCD,使点B与点D重合。如下图。你能提出哪些问题？
A
B
C
D
E
F
A1
参照问题3，可以得出DE等于哪一
条线段 （DE=DF)
知道了DE的值，你能求出折痕
EF的值吗
A
B
D
E
B1
1
2
3
C
同前面，找找哪个直角三角形可由勾股定理由
已知边求出未知边？（ΔA1FB与ΔBEC)
过点F作FG⊥BC于G。同问题3，得
CE= ,BE=DE=DF= 。
解：在ΔDEC中，设CE=x,则
DE=BE=8-x,
由勾股定理
得：x2+62=(8-x)2
x=
A
B
C
D
E
F
A1
G
ΔA1FD同ΔCED.可得A1F=AF=
在Rt△EFG中，
GE= - =
A
B
C
D
E
F
A1
G
概括：找出图中的直角三角形，用勾股定理求出
未知边。
怎么求EF？做垂线，构造直角三角形。
EF2=FG2+GE2
=62 +（ ）2 =
∴EF=
总结：怎么应用勾股定理解决折叠问题？
1.抓住折叠前后的图形是全等形，找出图
中的直角三角形（可做垂线段构造直角三角
形）。
2.设未知数，找等量关系，根据直角三角形
的三边关系列方程（组）。
课堂练习：
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,
现将ΔABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，
求BD的长。
解：AC=6,BC=8,∠C=900.
则AB=10
∵AE=AC=6
∴BE=10-6=4
B
A
C
E
D
在RtΔDEB中：设CD=DE=ｘ，设ＤＢ=８－ｘ．
由勾股定理得：
ｘ２＋４２=（８－ｘ）２
　　　　得ｘ=３．
　　　∴ＤＢ=５
课后作业：
１，如图，在长方形纸片ＡＢＣＤ中，ＡＢ=１２，ＢＣ=５，点Ｅ在ＡＢ上将ΔＡＤＥ沿ＤＥ折叠，使点Ａ落在对角线ＢＤ上的点Ａ１处，则ＡＥ的长为多少？
Ｄ
Ａ
Ｅ
Ａ１
Ｃ
Ｂ
２，如图是长方形纸片ＡＢＣＤ折叠的情况，纸片的宽ＡＢ=８厘米，长ＡＤ=１０厘米，ＡＤ沿点Ａ对折，点Ｄ正好落在ＢＣ的点Ｄ１，ＡＥ是折痕。
（１）求ＢＤ１的长。
（２）若设ＣＥ为ｘ，请用含ｘ的代数式表示线段Ｄ１Ｅ的长。
（３）求四边形ＡＢＣＥ的面积。
Ａ
Ｂ
Ｄ１
Ｄ
Ｅ
Ｃ