中小学教育资源及组卷应用平台
突破1.1 空间向量及其运算
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则 的长度相等且方向相同
C．若向量 满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
【答案】D
【解析】
【分析】
由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.
【详解】
空间中任意两个向量必然共面，A错误；
若，则 的长度相等但方向不确定，B错误；
向量不能比较大小，C错误；
由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.
故选：D.
2．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】
-＝，
.
故选：A．
3．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））如图，设，，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量是线性运算法则，计算即可得答案.
【详解】
由题意得
=.
故选：A
4．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习），若三向量共面，则实数（ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量共面的坐标运算进行求解即可.
【详解】
∵，∴与不共线，
又∵三向量共面，则存在实数m，n使
即，解得．
故选：D．
5.（2022·全国·高二）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间四点共面的充要条件代入即可解决
【详解】
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线
可得，解之得
故选：D
6．（2022·全国·高二期末）已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.
【详解】
因为，，，
选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；
选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
故选：A.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.
【详解】
，即
整理得
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得 ，解之得
故选：B
8．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）若空间四点 共面且则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
化简可得，由四点共面可知系数和，计算即可得解.
【详解】
依题意，
由四点共面,则系数和，则.
故选：D
9．（2021·全国·高二专题练习）在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
解：与，，一定共面的充要条件是，
对于A选项，由于，故不共面，错误；
对于B选项，由得，由于，故不共面，错误；
对于C选项，由得，即，由于，满足，故共面，正确；
对于D选项，由于，故不共面，错误；
故选：C
10．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习（理））已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
结合向量夹角，先求解， 再求解.
【详解】
．
故选：C.
11．（2021·广东·佛山市顺德区华侨中学高二期中）在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图建系，求得各点坐标，可得，根据投影向量的求法，代入公式，即可得答案.
【详解】
过作，分别以为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
设正三棱柱的棱长为2，
则，
所以，
所以在上的投影向量为.
故选：B
12．（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）已知点，，为坐标原点，若向量，则实数（ ）
A．4 B． C． D．-4
【答案】C
【解析】
【分析】
求出的坐标，再根据数量积等于0，即可得到答案；
【详解】
，，
由，解得：，
故选：C
13．（2021·全国·高二专题练习）在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，，，设异面直线与所成角为，设，利用、、表示向量、，利用空间向量的数量积可求得的值.
【详解】
设，，，设异面直线与所成角为，设，
则
，，
由空间向量数量积的定义可得，
则，
，
，
故，
故选：C.
14．（2021·全国·高二课时练习）正四棱锥的侧棱长与底面边长相等， 为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明将异面直线与所成角转化为，再在中由余弦定理求出即可得到答案.
【详解】
解：设，连接，如图，则是的中位线，故，所以异面直线与所成角就是.
设，则，，,
在中，由余弦定理可得，异面直线与所成角的余弦值为，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查求两异面直线所成的角、利用余弦定理求角，还考查了转化的数学思想，是中档题.
15．（2022·全国·高二课时练习）在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解．
【详解】
解：由题意，建立如图的空间坐标系，
底面为正方形，，，底面，
点，， ， ，
则，，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
【点睛】
本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．
16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，若为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
以，，为基底，表示出，，利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】
设正方体的棱长为1，
记，，，则，．
因为，，
所以．
又因为，，
所以，
所以与所成角的余弦值为．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，数量积的运算，夹角公式，考查了运算能力，属于中档题.
17．（2022·全国·高二课时练习）四棱锥的底面是正方形，且各条棱长均相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
作出图形，设四棱锥的各条棱的棱长为，计算出各边边长，利用余弦定理求出，即为所求.
【详解】
如下图所示，设四棱锥的各条棱的棱长为，连接、交于点，则为的中点，且平面，连接，取的中点，连接，
四边形为正方形，，则，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
，，，
为的中点，，
、分别为、的中点，且，
平面，平面，平面，，
，由勾股定理得，
是边长为的等边三角形，为的中点，，
，由余弦定理得.
故选：D.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.
18．（2021·安徽·高二阶段练习）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则（ ）．
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量加减、数乘的几何意义可得，再由已知及向量数量积的运算律求.
【详解】
由题设，，
因为，
所以，
所以．
故选：C．
19．（2021·辽宁·辽河油田第一高级中学高二阶段练习）已知平行六面体中，，，，，．则的长为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由，可得，再利用数量积运算性质即可得出．
【详解】
，，，，
，．
，
，
，
即的长为.
故选：A．
20．（2021·四川省眉山第一中学高二阶段练习（理））在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ）
A．23 B． C．14 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量加法的几何意义可得，再由数量积的运算律将等式两边平方，结合已知条件求的模长即可.
【详解】
由题设，可得如下示意图：
由图知：，
∴，
又，，
∴，
∴.
故选：B
21．（2022·江苏南通·高二期末）试写出一个点的坐标：__________，使之与点，三点共线．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
设出点的坐标，利用空间向量共线得到，求出，写出一个符合要求的即可.
【详解】
根据题意可得，设 ，则设，
即
故 ，不妨令，则，故．
故答案为：
22．（2022·山东聊城·高二期末）若，，三点共线，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由转化为坐标运算可得答案.
【详解】
因为，，三点共线，
所以，即，
所以，解得，即.
故答案为：.
23．（2022·上海徐汇·三模）已知 是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.
【答案】3
【解析】
【分析】
利用空间向量的数量积计算公式得到，求出最小值，进而求出答案.
【详解】
因为互相垂直，所以，
，
当且仅当时，取得最小值，最小值为9，
则的最小值为3.
故答案为：3
24．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）已知空间向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），则在方向上的投影向量为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据投影向量的定义直接求解.
【详解】
空间向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），则, ,所以在上的投影向量为,其坐标为.
故答案为：.
25．（2021·浙江省武义第一中学高三阶段练习）已知空间向量，，满足，，，若，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，先由已知求得及，又，得到，又，当时，得到，此时等号都能取到．
【详解】
，，，，令，
则，又，
则，
所以，
又，
，
又 ，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号
故答案为：．
26．（2021·福建·福清西山学校高二阶段练习）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AD1B=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
设AB=a，根据条件求出·和||，||，由∠AD1B=求出a，进而求出·和||，||，最后求出结果.
【详解】
设AB=a，=+=++，
则·=·+·+·+·+·+·=0+1+0+0+0+1=2，
易得：||=，||=.
因为∠AD1B=，所以=，得a=(负值舍去)，
∵=+=+，∴=·+·++=1+0+0+0=1，又||=，||=，
∴cos<>===.
故答案为：.
27．（2021·山东师范大学附中高二期中）平行六面体，，，，则______
【答案】
【解析】
【分析】
根据空间向量的加法的几何意义可得，再应用空间向量数量积的运算律求，即可得的长度.
【详解】
由题设，可得如下示意图，
∴，
∴，则.
故答案为：
28．（2021·山东威海·高二期中）如图，在平行六面体中，，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用空间向量数量积的定义计算的值，再开方即可求解.
【详解】
，
所以，
故答案为：.
29．（2022·江苏·高三专题练习）在平形六面体，其中，，，，，则的长为____________
【答案】
【解析】
【分析】
首先设，，，然后利用，，表示，再结合数量积公式即可求解.
【详解】
设，，，
因为六面体是平行六面体如下图：
所以 ，
所以，
由已知条件可知，，，，
与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，
所以，
即，故.
故答案为：.
30．（2021·湖南·长沙一中高一阶段练习）在一直角坐标系中，已知，，现沿x轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
通过用向量的数量积转化求解距离即可
【详解】
解：在直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成的二面角后，在平面上的射影为，作轴，交轴于点，
所以,
所以
，
所以,
故答案为：
【点睛】
此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.
31．（2019·江苏苏州·高二期中（理））平行六面体中，，且，，，则等于______.
【答案】5
【解析】
【分析】
将已知条件转化为向量则有,利用向量的平方以及数量积化简求解,由此能求出线段的长度．
【详解】
平行六面体中, ,即向量两两的夹角均为,则
因此.
故答案为:5.
【点睛】
本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用,考查学生转化与划归的能力,难度一般.
32．（2021·辽宁实验中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先，画出图形，然后，结合=，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．
【详解】
平行六面体，如图所示：
∵∠BAA1=∠DAA1=60°
∴A1在平面ABCD上的射影必落在直线AC上，
∴平面ACC1A1⊥平面ABCD，
∵AB=1，AD=2，AA1=3，
∵
=
∴||2=（）2
=||2+||2+||2+2+2+2
=1+9+4+0+2×1×3×+2×2×3×=23，
∴||=，
∴AC1等于．
故答案为：．
【点睛】
本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．
33．（2020·浙江杭州·高一期末）在平行六面体中，已知，，=__．
【答案】
【解析】
【分析】
先由空间向量的基本定理，将向量用一组基底表示，再利用向量数量积的性质，计算即可
【详解】
∵六面体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体，
∵=++
∴=（++）2=+++2+2+2
又∵∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°，AD=4，AB=3，AA1=5，
∴=16+9+25+2×5×4×cos60°+2×5×3×cos60°+2×3×4×cos60°=97
∴
故答案为
【点睛】
本题考察了空间向量的基本定理，向量数量积运算的意义即运算性质，解题时要特别注意空间向量与平面向量的异同
34．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高二期中）已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,,若,与所成的角分别为,,则线段长度的取值范围为______.
【答案】
【解析】
由题意画出图形，分别过作底面的垂线，垂足分别为，，
根据可知，线段长度的最大值或最小值取决于的长度，而，即可分别求出的最小值与最大值．
【详解】
如图所示：
分别过作底面的垂线，垂足分别为，．
由已知可得，，，，．
∵， 而，
∴当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点同侧时，长度最小，此时，最小为；
当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点异侧时，长度最大，此时，最大为．
∴线段长度的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
B组 能力提升
35．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.
【详解】
若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；
将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；
若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；
若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.
故选：AC.
36．（2022·江苏·高二课时练习）（多选题）下列命题中，真命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据向量的概念逐一判断即可.
【详解】
共线的单位向量方向相同或相反，只有D错误．
故选：ABC
37．（2021·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）(多选题)在正方体中，有下列说法，其中正确的有（ ）
A． B．
C．的夹角为60° D．正方体的体积为
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用空间向量的加减运算法则及向量夹角的定义判断即可.
【详解】
如图所示，
，故A正确；
，故B正确；
与的夹角是夹角的补角，
而的夹角为，故的夹角为，所以C错误；
正方体的体积为.
故选：AB.
【点睛】
本题考查空间向量的线性运算及空间向量的夹角问题，较简单，解答时类比平面向量的解法进行即可.
38．（2021·全国·高二课时练习）（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由向量的线性运算依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，四边形是平行四边形，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．
故选：ACD．
39．（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）（多选题）下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有
B．“”是“、共线”的充要条件
C．若、共线，则与所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据空间向量的相关观念逐一判断即可.
【详解】
A项中四点恰好围成一封闭图形，正确；
B项中、同向时，应有，所以“”是“、共线”的充分不必要条件；
C项中、所在直线可能重合；
D项中需满足，才有P、A、B、C四点共面．
故选：BCD
40．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A．＝2－－ B．
C． D．＋＋＋
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项．
【详解】
与，，一定共面的充要条件是，
对于A选项，由于，所以不能得出共面，
对于B选项，由于，所以不能得出共面，
对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面，
对于D选项，由得，而，所以不能得出共面．
故选：ABD
41．（2022·全国·高二）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．设是两个空间向量，则一定共面
B．设是三个空间向量，则一定不共面
C．设是两个空间向量，则
D．设是三个空间向量，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A、B、C、D的结论即可．
【详解】
对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，故A正确；
对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B错误；
对于C：因为是两个空间向量，则，故C正确；
对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D错误．
故选：AC．
42．（2021·安徽·屯溪一中高二期中）（多选题）空间四边形中，，分别是，的重心，设，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．若，，则
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于ACD，由，分别是，的重心，结合空间向量的线性运算可判断；利用 ，，知，，利用空间向量的线性运算可知进而判断B.
【详解】
对于AC，由是的重心，
，故A正确，C错误；
对于B，若，，则，，
，所以，故B正确；
对于D，由是的重心，，
，故D正确；
故选：ABD
43．（2022·福建·福州黎明中学高一期末）（多选题）已知正方体的棱长为，点是 的中点，点是侧面 内的动点，且满足，下列选项正确的是（ ）
A．动点轨迹的长度是
B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是
C．直线与所成的角为，则的最小值是
D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
建立坐标系，由可得出动点动点轨迹为线段，然后结合勾股定理，异面直线所成角，线面角，体积公式等逐一判断即可
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
，
，即，
取得中点，则动点轨迹为线段，
对于A：动点轨迹为线段，且，故A正确；
对于B：三角形在正方体内运动形成几何体为三棱锥，
且，故B正确；
对于C：，
直线与所成的角为，
又，则的最小值是，故C正确；
对于D：易知与重合时，直线与平面所成的角最大，
且为，，
，
所以不存在某个位置，使得直线与平面所成的角为，
故D错误；
故选：ABC
44．（2021·辽宁·兴城市高级中学高二阶段练习）（多选题）如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体的体积是定值
B．的取值范围是
C．若与平面所成的角为，则
D．若三棱锥的外接球表面积为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；利用空间向量数量积的定义可判断B选项的正误；利用线面角的定义可判断C选项的正误；利用建系的方法计算出的外接球的半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断D选项的正误.
【详解】
因为直四棱柱，所以点到面的距离为1，
所以，
由于不为定值，得不为定值，故A错误；
在中，，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是，故B正确；
由于面，所以与面所成的角为，
所以，因为，所以，故C正确；
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
线段的中点为，线段的中点为，
设球心为，点，则，
由可得，
化简可得，则，
易知，则，
，因此，，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破1.1 空间向量及其运算
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则 的长度相等且方向相同
C．若向量 满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
2．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））如图，设，，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习），若三向量共面，则实数（ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
5.（2022·全国·高二）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高二期末）已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
7．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）若空间四点 共面且则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
9．（2021·全国·高二专题练习）在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习（理））已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
11．（2021·广东·佛山市顺德区华侨中学高二期中）在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）已知点，，为坐标原点，若向量，则实数（ ）
A．4 B． C． D．-4
13．（2021·全国·高二专题练习）在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国·高二课时练习）正四棱锥的侧棱长与底面边长相等， 为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高二课时练习）在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，若为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高二课时练习）四棱锥的底面是正方形，且各条棱长均相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·安徽·高二阶段练习）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则（ ）．
A． B．1 C． D．2
19．（2021·辽宁·辽河油田第一高级中学高二阶段练习）已知平行六面体中，，，，，．则的长为（ ）
A． B． C．12 D．
20．（2021·四川省眉山第一中学高二阶段练习（理））在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ）
A．23 B． C．14 D．
21．（2022·江苏南通·高二期末）试写出一个点的坐标：__________，使之与点，三点共线．
22．（2022·山东聊城·高二期末）若，，三点共线，则___________.
23．（2022·上海徐汇·三模）已知 是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.
24．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）已知空间向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），则在方向上的投影向量为__________________．
25．（2021·浙江省武义第一中学高三阶段练习）已知空间向量，，满足，，，若，则的取值范围是___________.
26．（2021·福建·福清西山学校高二阶段练习）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AD1B=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为____.
27．（2021·山东师范大学附中高二期中）平行六面体，，，，则______
28．（2021·山东威海·高二期中）如图，在平行六面体中，，，，，则______．
29．（2022·江苏·高三专题练习）在平形六面体，其中，，，，，则的长为____________
30．（2021·湖南·长沙一中高一阶段练习）在一直角坐标系中，已知，，现沿x轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________．
31．（2019·江苏苏州·高二期中（理））平行六面体中，，且，，，则等于______.
32．（2021·辽宁实验中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，则___________．
33．（2020·浙江杭州·高一期末）在平行六面体中，已知，，=__．
34．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高二期中）已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,,若,与所成的角分别为,,则线段长度的取值范围为______.
B组 能力提升
35．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
36．（2022·江苏·高二课时练习）（多选题）下列命题中，真命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
37．（2021·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）(多选题)在正方体中，有下列说法，其中正确的有（ ）
A． B．
C．的夹角为60° D．正方体的体积为
38．（2021·全国·高二课时练习）（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
39．（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）（多选题）下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有
B．“”是“、共线”的充要条件
C．若、共线，则与所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．
40．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A．＝2－－ B．
C． D．＋＋＋
41．（2022·全国·高二）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．设是两个空间向量，则一定共面
B．设是三个空间向量，则一定不共面
C．设是两个空间向量，则
D．设是三个空间向量，则
42．（2021·安徽·屯溪一中高二期中）（多选题）空间四边形中，，分别是，的重心，设，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．若，，则
C． D．
43．（2022·福建·福州黎明中学高一期末）（多选题）已知正方体的棱长为，点是 的中点，点是侧面 内的动点，且满足，下列选项正确的是（ ）
A．动点轨迹的长度是
B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是
C．直线与所成的角为，则的最小值是
D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为
44．（2021·辽宁·兴城市高级中学高二阶段练习）（多选题）如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体的体积是定值
B．的取值范围是
C．若与平面所成的角为，则
D．若三棱锥的外接球表面积为，则
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
