中小学教育资源及组卷应用平台
突破1.1 空间向量及其运算
一、考情分析
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；
2.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；
3.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.
二、经验分享
（一）、回顾平面向量
1.平面向量的概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量。向量的大小叫做向量的长度或模 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 与非零向量共线的单位向量为
平行向量(或共线向量) 方向 的 向量 0与任一向量平行（或共线）
相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为
2.向量的线性运算
（1）加法：是指求两个向量和的运算；
法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。
（2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差；
法则（几何意义）：三角形法则。
（3）数乘：是指求实数与向量的积的运算；
法则（几何意义）：①； ②当时，与的方向 ；
③当时，与的方向 ；④四时，= .
3.共线向量定理
向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得。
4.平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量，
一对实数使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。
结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是；
（2）三终点A,B,C共线存在实数使得=，且
5.两个向量的夹角
（1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。
（2）范围：夹角的取值范围是 。
①当与同向时，= ；②反向时，= ；③当与垂直时，= ，并记作⊥。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
（1）与的夹角是锐角· 0且与不共线；
（2）与的夹角是钝角· 0且与不共线。
7.平面向量的数量积
（1）定义：·= ，规定·= ；
（2）坐标表示：·= ，其中；
（3）运算律
①交换律：·= ；②结合律·= ；
③数乘：·= .
（4）在方向上的投影是 ；
（5）·的几何意义：数量积·等于的模||与在的方向上的投影的乘积。
8.向量数量积的性质
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
（1）== ；（2）⊥ ；（3）·= ；（4）|· |≤||·||.
（二）、学习空间向量
知识点一：空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
2．几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0 0
单位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a的相反向量：
相等向量 相同 相等 a＝b
知识点二：空间向量的线性运算
(1)、向量的加法、减法
空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b
减法 ＝－＝a－b
加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)、空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)、常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
（1）规定:
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2.利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
1.定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
三、题型分析
重难点题型突破1 空间向量的有关概念及其线性运算
例1、（1）.（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【答案】D
【解析】
【分析】
根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.
【详解】
对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.
故选：D.
（2）.（2022·江苏·高二课时练习）(多选题)下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】AD
【解析】
【分析】
直接利用平面向量的定义，相等向量，相反向量的定义，空间向量的定义判定A、B、C、D的真假性．
【详解】
对于选项A：向量与是相反向量，长度相等，故A为真命题．
对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球，故B为假命题．
对于选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是不是有向线段，故C为假命题．
对于选项D：方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D为真命题．
故选：AD
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）（多选题）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．在正方体中，
D．若空间向量，，满足，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
依据向量相等的概念否定选项A；依据向量相等的概念判断选项BCD正确.
【详解】
依据向量相等的概念，选项A判断错误；
若向量是向量的相反向量，则.选项B判断正确；
依据向量相等的概念，在正方体中，.选项C判断正确；
依据向量相等的概念，若空间向量，，满足，，则.选项D判断正确.
故选：BCD.
【变式训练1-2】、（2021·全国·高二课时练习）(多选题)下列命题中为假命题的是（ ）
A．任意两个空间向量的模能比较大小
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据向量的有关概念逐一判断即可.
【详解】
对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；
对于选项B，其终点构成一个球面；
对于选项C，零向量不能用有向线段表示；
对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等．故选：BCD
例2．（1）、（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】
-＝，
.
故选：A．
（2）、（2022·河北沧州·高二期末）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.
【详解】
.
故选：B.
（3）、（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）（多选题）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
利用向量加法的三角形法则，平行四边形法则即可求答案.
【详解】
，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ABCD.
【变式训练2-1】、（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.
【详解】
由题意得，.
故选：D
【变式训练2-2】、（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量的加减法进行求解.
【详解】
解：在三棱锥中
，E为OA的中点
，，
所以
故选：A
【变式训练2-3】、（2022·浙江嘉兴·高一期末）(多选题)如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
求得判断选项A；求得判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D.
【详解】
选项A：.判断正确；
选项B：.判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：.判断错误.
故选：AC
重难点题型突破2 共线定理或共面定理的应用
例3、（1）.（2022·全国·高一单元测试）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量共面定理即可求解．
【详解】
解：对A：，故A选项中向量共面；
对B：，故B选项中向量共面；
对D：，故D选项中向量共面；
假设，，共面，则存在实数使得，则共面，与已知矛盾，故C选项中向量不共面；
故选：C.
(2)、（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）已知向量，若共面，则________．
【答案】±1
【解析】
【分析】
利用共面向量定理直接求解
【详解】
因为向量共面,
所以存在实数m、n，使得,m≠0,n≠0,即,
所以，解得,所以x=±1.
故答案为：±1.
(3)、（2021·福建省福州第十一中学高二阶段练习），，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为___________.
【答案】-3
【解析】
【分析】
由题知存在实数，，使得，代入条件，比较系数列方程求解.
【详解】
若，，，四点共面，则存在实数，，使得，
即，所以，解得，，.
故答案为：-3.
【变式训练3-1】、（2022·全国·高二）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.
【详解】
对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.
故选：D.
【变式训练3-2】、（2022·全国·高二课时练习）设、、是不共面的向量，下列命题中所有正确的序号是________．
①若，，则；②、、两两共面；③对空间任一向量，总存在有序实数组，使；④，，是不共面的向量．
【答案】②③④
【解析】
【分析】
对①，由向量的垂直没有传递性可得；对②，由空间任意两个向量都共面可得；对③，由空间向量基本定理可得；④由反证法可得.
【详解】
对①，若，，则与可能平行或者既不平行也不垂直，故①错误；
对②，空间任意两个向量都共面，故②正确；
对③，由空间向量基本定理可得对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故③正确；
对④，假设，，共面，设，化简得，所以共面，与已知矛盾，所以，，是不共面的向量，故④正确.
故答案为：②③④.
【变式训练3-3】、（2022·福建宁德·高二期中）若向量，，，且、、共面，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，可得出关于、、的方程组，即可解得的值.
【详解】
因为、、共面，设，其中、，
所以，，解得.
故答案为：.
重难点题型突破3 空间向量的数量积运算
例4．（1）、（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知空间向量 是两两互相垂直的单位向量，=___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量的数量积的运算律及模长公式即求.
【详解】
∵空间向量 是两两互相垂直的单位向量，
∴，
∴.
故答案为：.
（2）．（2021·广东肇庆·高二期末）已知向量，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量数量积的坐标运算计算可得.
【详解】
∵，
故选:B
（3）．（2022·全国·高一单元测试）已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可.
【详解】
两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐标为
.
故答案为：
【变式训练4-1】．（2022·四川·广安二中高二阶段练习（理））已知空间中单位向量、，且，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则计算，得到答案.
【详解】
，故.
故答案为：.
【变式训练4-2】．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；
【详解】
解：对于A：，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD
【变式训练4-3】．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间两个向量，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
将将两边平方，求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得结果.
【详解】
将化为，
得，即，解得，
所以.
故答案为：
重难点题型突破4 利用空间向量的数量积求两向量的夹角
例5．（1）、（2021·全国·高二课时练习）已知空间向量，，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据所给条件化为，平方后利用数量积的运算性质化简可得，再由向量夹角公式求解即可.
【详解】
由可得，，
所以，
化简得，
所以，
故选：D
（2）、（2022·全国·高二课时练习）已知，且，则向量的夹角是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的数量积的定义，即可求解.
【详解】
由题意可得，，则向量的夹角是.
故答案为：
【变式训练5-1】、（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】
设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
【变式训练5-2】、（2021·福建福州·高二期中）已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值______．
【答案】
【解析】
【分析】
取线段的中点，可得出，分析可知当、、三点共线时，取最小值，求出的最小值，即可得解.
【详解】
取线段的中点，则，，
所以，，
当、、三点共线时，取最小值，此时，
此时.
故答案为：.
重难点题型突破5 利用空间向量的数量积求线段的长度
例6．（1）、（2013·安徽池州·高二期中（理））已知平行六面体中，，，，，，则____．
【答案】
【解析】
【分析】
由即可求解.
【详解】
解：因为在平行六面体中，，
所以，
所以．
故答案为：.
（2）、（2021·广东·广州市培英中学高二阶段练行六面体中，，则该平行六面体的体对角线的长为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量加法的几何意义，结合平行六面体中相关线段的位置关系可得，再由空间向量数量积的运算律求，进而可得的长.
【详解】
由题设，可得如下示意图，
由图知：，，
∴，
又，
∵，
∴，即.
故选：A
（3）、（2021·黑龙江齐齐哈尔·高二阶段练习）如图，在三棱柱中，与交于点，，，，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，即知的长度.
【详解】
由题设，易知：四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，，，，
，
，即．
故选：．
【变式训练6-1】、（2021·重庆市永川景圣中学校高二阶段练习）已知平行六面体中，，，，，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分析可得，计算得出，即可求得的值.
【详解】
由空间向量数量积的定义可得，，
，
由空间向量的加法法则可得，
所以，
，
因此，.
故答案为：.
【变式训练6-2】、（2021·安徽省宣城中学高二阶段练习）三棱锥的所有棱长均为3，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用线面垂直判定定理证明平面，进而证明，然后利用空间向量表示出，然后结合已知条件利用数量积公式求解即可.
【详解】
由题意三棱锥，连接PF、AF，如下图：
由题意可知，三棱锥的所有面均为边长为3的等边三角形，为中点，
故，，又由，
从而平面，故，
又由，，可知，，
因为，
所以
，即.
故选：C.
【变式训练6-3】、（2022·湖北·荆州中学高二期末）平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，则对角线的长度为___.
【答案】2
【解析】
【分析】
利用，两边平方后，利用向量数量积计算公式，计算得.
【详解】
对两边平方并化简得,故.
【点睛】
本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查空间向量数量积的表示，属于中档题.
四、过关检测
1．（2022·全国·高三专题练习）已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则（ ）
A． B．2 C．3 D．2或3
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出，转化，列方程即可求出.
【详解】
由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.
因为，所以，
即，
所以
即，解得：或3.
所以||=2或3
故选：D
2．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）（多选题）下列说法错误的是（ ）
A．在平面内共线的向量在空间不一定共线
B．在空间共线的向量在平面内不一定共线
C．在平面内共线的向量在空间一定不共线
D．在空间共线的向量在平面内一定共线
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由在平面内共线的向量在空间一定共线判断AC，由在空间共线的向量在平面内一定共线判断BD.
【详解】
A. 在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；
B.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误；
C.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；
D.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故正确.
故选：ABC
3．（2021·天津河东·高二期中）若向量，，则的值是_______.
【答案】0
【解析】
【分析】
由空间向量的数量积的坐标运算即可得解.
【详解】
因为，所以，
故答案为：0.
4．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线与AM所成角的余弦值，转化为求向量的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得.
【详解】
分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则，可得，则，即异面直线与AM所成角的余弦值为.
故答案为：
【点睛】
本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.
5．（2022·重庆八中高一阶段练习）如图在平行六面体中，，，则的长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量加法及向量模的计算公式即可求解.
【详解】
解：因为在平行六面体中，，，
，
所以，
所以的长是，
故答案为：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破1.1 空间向量及其运算
一、考情分析
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；
2.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；
3.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.
二、经验分享
（一）、回顾平面向量
1.平面向量的概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量。向量的大小叫做向量的长度或模 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 与非零向量共线的单位向量为
平行向量(或共线向量) 方向 的 向量 0与任一向量平行（或共线）
相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为
2.向量的线性运算
（1）加法：是指求两个向量和的运算；
法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。
（2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差；
法则（几何意义）：三角形法则。
（3）数乘：是指求实数与向量的积的运算；
法则（几何意义）：①； ②当时，与的方向 ；
③当时，与的方向 ；④四时，= .
3.共线向量定理
向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得。
4.平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量，
一对实数使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。
结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是；
（2）三终点A,B,C共线存在实数使得=，且
5.两个向量的夹角
（1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。
（2）范围：夹角的取值范围是 。
①当与同向时，= ；②反向时，= ；③当与垂直时，= ，并记作⊥。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
（1）与的夹角是锐角· 0且与不共线；
（2）与的夹角是钝角· 0且与不共线。
7.平面向量的数量积
（1）定义：·= ，规定·= ；
（2）坐标表示：·= ，其中；
（3）运算律
①交换律：·= ；②结合律·= ；
③数乘：·= .
（4）在方向上的投影是 ；
（5）·的几何意义：数量积·等于的模||与在的方向上的投影的乘积。
8.向量数量积的性质
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
（1）== ；（2）⊥ ；（3）·= ；（4）|· |≤||·||.
（二）、学习空间向量
知识点一：空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
2．几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0 0
单位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a的相反向量：
相等向量 相同 相等 a＝b
知识点二：空间向量的线性运算
(1)、向量的加法、减法
空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b
减法 ＝－＝a－b
加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)、空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)、常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
（1）规定:
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2.利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
1.定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
三、题型分析
重难点题型突破1 空间向量的有关概念及其线性运算
例1、（1）.（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
（2）.（2022·江苏·高二课时练习）(多选题)下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）（多选题）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．在正方体中，
D．若空间向量，，满足，，则
【变式训练1-2】、（2021·全国·高二课时练习）(多选题)下列命题中为假命题的是（ ）
A．任意两个空间向量的模能比较大小
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
例2．（1）、（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2022·河北沧州·高二期末）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
（3）、（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）（多选题）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】、（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】、（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】、（2022·浙江嘉兴·高一期末）(多选题)如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
重难点题型突破2 共线定理或共面定理的应用
例3、（1）.（2022·全国·高一单元测试）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)、（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）已知向量，若共面，则________．
(3)、（2021·福建省福州第十一中学高二阶段练习），，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为___________.
【变式训练3-1】、（2022·全国·高二）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】、（2022·全国·高二课时练习）设、、是不共面的向量，下列命题中所有正确的序号是________．
①若，，则；②、、两两共面；③对空间任一向量，总存在有序实数组，使；④，，是不共面的向量．
【变式训练3-3】、（2022·福建宁德·高二期中）若向量，，，且、、共面，则______．
重难点题型突破3 空间向量的数量积运算
例4．（1）、（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知空间向量 是两两互相垂直的单位向量，=___________.
（2）．（2021·广东肇庆·高二期末）已知向量，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
（3）．（2022·全国·高一单元测试）已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.
【变式训练4-1】．（2022·四川·广安二中高二阶段练习（理））已知空间中单位向量、，且，则的值为________.
【变式训练4-2】．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-3】．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间两个向量，若，则________．
重难点题型突破4 利用空间向量的数量积求两向量的夹角
例5．（1）、（2021·全国·高二课时练习）已知空间向量，，，，则（ ）．
A． B． C． D．
（2）、（2022·全国·高二课时练习）已知，且，则向量的夹角是___________.
【变式训练5-1】、（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】、（2021·福建福州·高二期中）已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值______．
重难点题型突破5 利用空间向量的数量积求线段的长度
例6．（1）、（2013·安徽池州·高二期中（理））已知平行六面体中，，，，，，则____．
（2）、（2021·广东·广州市培英中学高二阶段练行六面体中，，则该平行六面体的体对角线的长为（ ）
A． B．5 C． D．
（3）、（2021·黑龙江齐齐哈尔·高二阶段练习）如图，在三棱柱中，与交于点，，，，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】、（2021·重庆市永川景圣中学校高二阶段练习）已知平行六面体中，，，，，，则___________.
【变式训练6-2】、（2021·安徽省宣城中学高二阶段练习）三棱锥的所有棱长均为3，，，则( )
A． B． C． D．
【变式训练6-3】、（2022·湖北·荆州中学高二期末）平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，则对角线的长度为___.
四、过关检测
1．（2022·全国·高三专题练习）已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则（ ）
A． B．2 C．3 D．2或3
2．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）（多选题）下列说法错误的是（ ）
A．在平面内共线的向量在空间不一定共线
B．在空间共线的向量在平面内不一定共线
C．在平面内共线的向量在空间一定不共线
D．在空间共线的向量在平面内一定共线
3．（2021·天津河东·高二期中）若向量，，则的值是_______.
4．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为________.
5．（2022·重庆八中高一阶段练习）如图在平行六面体中，，，则的长是_________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
