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突破1.2 空间向量的基本定理
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高一）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】
选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
2．（2021·云南师大附中高二期中）已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由不共面的向量可作为基底即可得出选项.
【详解】
由图形结合分析
三个向量共面，不构成基底，
故选：C
3．（2021·全国·高二专题练习）设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A．{ B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用空间向量共面定理求解.
【详解】
因为向量与共面，选项A，B不正确，
是共面向量，
不能作为基底，选项D不正确；
若是共面向量，
则，
得到为共面向量，与已知向量不共面矛盾，
所以是不共面向量，可以作为基底.
故选：C
【点睛】
本题主要考查空间向量的共面定理以及基底的理解和辨析，属于基础题.
4．（2021·浙江宁波·高二期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
可设向量，，，由此把向量，，分别用坐标表示，列方程组解出x，y，z，即可得到的坐标．
【详解】
不妨设向量，，；
则向量，，．
设，
即，
∴解得
即在，，下的坐标为．
故选：C．
【点睛】
向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．
5．（2016·全国·高二课时练习（理））已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
设在基底下的坐标为，
则，
所以解得
故在基底下的坐标为.
考点：空间向量的基底表示.
6．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.
【详解】
，故，，，即
故选：.
7．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可
【详解】
，
其中 为中点，有 ，故可知 ，
则知 为 的中点，故点 满足 ， ．
故选：A
8．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.
【详解】
解：，
，
，
，
所以，
故选：B
9．（2022·全国·高二课时练习）如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】
解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.
10．（2022·福建·柘荣县第一中学高二期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用空间向量的基本定理求解.
【详解】
解：，
，
，
，
故选；A
11．（2022·全国·高一）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.
【详解】
，
，
故选：B
12．（2022·浙江·安吉县上墅私立高级中学高二期末）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】
因，则，即，
而，则共面，点M在平面内，
又，即，于是得点N在直线上，
棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，
因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，
，而，，
所以.
故选：A
13．（2020·北京·高二期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量的基本定理和空间向量的基底，依次判断每个选项即可.
【详解】
由空间向量基本定理得：
对于A，因为，所以，，三个向量共面；
对于B，设，，三个向量共面，
则，
所以，此时x y不存在，所以，，三个向量不共面；
对于C，因为，所以 三个向量共面；
对于D，因为，所以 三个向量共面.
故选：B.
14．（2020·安徽淮北·高二期中（理））设，，是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间的基底的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理，判断四个选项中的每一组向量是否共面即可得出答案.
【详解】
解：对于A，设三个向量共面，
则存在唯一一对实数，使得，
即，
又，，是不共面的三个单位向量，
所以，方程组无解，
所以三个向量不共面，能作为一组基底；
对于B，因为，所以三个向量共面，故不能作为一组基底；
对于C，设三个向量共面，
则存在唯一一对实数，使得，
即，
又，，是不共面的三个单位向量，
所以，方程组无解，
所以三个向量不共面，能作为一组基底；
对于D，设三个向量共面，
则存在唯一一对实数，使得，
即，
又，，是不共面的三个单位向量，
所以，方程组无解，
所以三个向量不共面，能作为一组基底.
故选：B.
15．（2022·湖南师大附中高一期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，然后整理解方程组即可.
【详解】
设，
即有，
因为是空间的一个单位正交基底，
所以有，
所以.
故答案为：
15．（2021·云南省永善县第一中学高一阶段练习）已知空间的一个基底为，空间向量，，，若，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理计算．
【详解】
由题意可知，解得，所以.
故答案为：2.
16．（2021·广东·广州市培英中学高二阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据空间向量的基本定理：设坐标，分别以、为基底表示，即可得方程组求参数，进而确定坐标.
【详解】
由题意知：，若在基底的坐标为，
∴，
∴，可得，
∴在基底的坐标为.
故答案为：
17．（2021·河北·深州长江中学高二阶段练习）设{，，}是是空间向量的一个单位正交基底，， ，则的坐标是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量坐标运算性质即可得出．
【详解】
的坐标为，的坐标为．故，
故答案为．
【点睛】
本题考查了向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，由空间向量分解的唯一性，，列出方程组求解即可
【详解】
由题意，不妨设
由空间向量分解的唯一性：
故，解得
则
故答案为：
19．（2021·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
【答案】③
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理判断可得；
【详解】
解：由空间向量基本定理得：
对于①，，所以，，三个向量共面；
对于②，，所以，，三个向量共面；
对于③，因为为空间的一个基底，所以与不共线，所以，也不共线，
且与 、共面，与、共面，又、、三个向量不共面，
所以，，不共面，故，，可以作为一组基底；
对于④，，所以，，三个向量共面，
故答案为：③．
20．（2022·全国·高二）已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
通过平面向量基本定理推导出空间向量基本定理得推论.
【详解】
因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：
即，整理得：，
又，所以，，，从而.
故答案为：1
21．（2022·广东珠海·高二期末）已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
连接，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.
【详解】
解：连接
∵四面体中，，分别在，上，且，
∴
∴
∴.
故答案为：
22．（2022·全国·高二课时练习）已知平行六面体中，，，，，，则的长为________
【答案】
【解析】
【分析】
可得，由数量积的运算可得，开方可得；
【详解】
如图所示：
，
故
故的长等于.
故答案为：
【点睛】
本题考查空间向量模的计算，选定为基底是解决问题的关键，属中档题．
23．（2016·全国·高二课时练习）已知四面体中，，，，的中点分别为，，则______.
【答案】
【解析】
【详解】
如图所示，取的中点，连接，，则.
考点：空间向量的基底表示.
24．（2016·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，用，，作为基向量，则__________.
【答案】
【解析】
【详解】
，所以.
考点：用向量的线性表达式表示向量.
25．（2015·甘肃天水·高二期末（理））对于以下命题：
①是共线的充要条件；
②对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面．
③如果,那么与的夹角为钝角
④若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底；
⑤若，则．
其中不正确结论的序号是___________________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
由成立条件可判断①；由四点共面的条件可判断②；注意向量夹角范围可判断③；根据空间基底定义可判断④；由共线定理可判断⑤.
【详解】
①：由成立条件可得与反向，即，共线，但，共线，若同向且，则不能推出，故错误；
②：∵，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故错误；
③：设两个向量的夹角为α，由 ，所以与的夹角为钝角或π，故错误；
④：设 ，∵ 为空间的一个基底，所以，无实数解，即，， 不共面，∴④正确；
⑤：因为 ，所以 ，所以⑤正确.
故答案为：①②③
26．（2011·四川雅安·高二阶段练习（理））给出下列命题：
①已知，则；
②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；
③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若共线，则所在直线或者平行或者重合．
正确的结论为_________________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则、共面向量定理和空间向量的基底的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于①中，由，可得，
又由，所以①正确；
对于②中，由不构成空间的一个基底，可得这3个向量共面，
所以四点共面，所以②正确．
对于③中，若向量与向量这3个向量不共面，则构成空间的一个基底，
所以③不正确．
对于④中，根据向量共线的定义，由共线，则所在直线或者平行或者重合，
所以④正确．
综上，①②④正确，③不正确．
故答案为：①②④．
27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：取的中点，因为正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，易证，因为是的中点，所以,又，所以，所以所以异面直线所成的角的大小是.
考点：本小题主要考查异面直线所成的角的求解，考查学生的空间想象能力和推理论证能力.
点评：求异面直线所成的角关键是先做出两条异面直线所成的角.
B组 能力提升
28．（2022·全国·高二）（多选题）若，，是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ABD
【解析】
根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可．
【详解】
解：对于中、、，
中、、，
中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；
对于，、、，
满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查了空间向量共面的判断与应用问题，属于基础题．
29．（2022·湖南·湘府中学高一期末）（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于A，根据共线向量的概念理解判断；对于B：根据且P，A，B，C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义是空间的一个基底不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的范围分析判断．
【详解】
对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，
则这三个向量一定共面，所以A正确；
对于B，若对空间中任意一点O，有因为，
根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；
对于C，由于是空间的一个基底，则向量不共面
∵，则共面
∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C正确；
对于D，若，即，又，所以，所以D不正确．
故选：ABC．
30．（2022·广东广州·高二期末）（多选题）如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用空间向量基本定理逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，由图可知、不共线，则，C错；
对于D选项，，D错.
故选：AB.
31．（2022·江苏·高二阶段练习）（多选题）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，（，），若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．任意向量，，，满足
【答案】ABC
【解析】
【分析】
A.利用空间向量数量积的定义判断；B.利用空间向量共线定理的推论判断；C.利用空间基底的定义判断；D.根据与 共线，与 共线判断.
【详解】
A.空间向量，（，），若，则，所以，故正确；
B. 若对空间中任意一点O，有，且，则P、A、B、C四点共面，故正确；
C.因为是空间的一组基底,所以不共面，则也不共面，又，所以不共面，则也是空间的一组基底，故正确；
D.因为与 共线，与 共线，又，，是任意向量，所以 与 不一定相等，故错误；
故选：ABC
32．（2022·全国·高一）（多选题）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
33．（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若，是两个不共线的向量，且，且，则，，构成空间的一个基底
D．若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误．
【详解】
解：对于选项A：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A正确，
对于选项B：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，
若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，
则已知的两个向量共线，所以选项B正确，
对于选项C：、且、，，，共面，不能构成基底，所以选项C错误，
对于选项D：、、共起点，若、、、四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D正确，
故选：ABD．
34．（2022·全国·高二专题练习）（多选题）在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若两个非零空间向量，满足，则
【答案】AB
【解析】
【分析】
AB选项考虑零向量则可证明出错误；C选项通过化简得到，可判断出P，A，B，C四点共面；D选项利用共线向量的定理可证明.
【详解】
当，满足与共线，与共线，而与不一定共线，A错误；若与均为零向量时，能够保证，则存在无数多的实数，使，B错误；因为，即，故，由平面向量基本定理可得：P，A，B，C四点共面，C正确；因为非零空间向量满足，故，所以，D正确.
故选：AB
35．（2021·湖北宜昌·高二期中）（多选题）若是空间的一个基底，则下列向量组也可以作为空间一个基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
结合空间向量基底的概念逐项分析判断即可得出结论.
【详解】
A选项：设，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作为一个基底；
B选项：设，即，令，此时等式成立，即，，共面，故不可以作为一个基底；
C选项：设，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作为一个基底；
D选项：设，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作为一个基底.
故选：ACD.
36．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．AC1=6
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可.
【详解】
因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以·=·=·=6×6×cos 60°=18，
(++)2=+++2·+2·+2·
=36+36+36+3×2×18=216，
则||=|++|=6， 所以A正确；
·=(++)·(-)
=·-·+-·+·- =0，所以B正确；
显然△AA1D 为等边三角形，则∠AA1D=60°.
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为=+-=+ ，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cos<>===，所以D不正确.
故选:AB.
37．（2022·福建莆田·高二期末）如图，在空间四边形ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝3，DB＝DC＝2，点E在边DA上，且DE＝2EA，F为BC的中点．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，根据的位置可得出答案.
（2）由（1）将平方的，由向量的数量积的运算可得出答案.
(1)
依题意，得，
因为点E满足，F为BC的中点，
所以．
所以
(2)
因为DA，DB，DC两两垂直．，
所以，
由（1）可得
即所以
38．（2022·全国·高一）在长方体中，是的中点．
(1)设，，，用向量、、表示；
(2)设，，，用向量、、表示．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量加法运算求解即可；
（2）由题知，进而得，，，再根据求解即可.
(1)
解：如图，根据向量加法法则得：
.
(2)
解：由（1）得，
因为，
所以，，,
所以，
39．（2022·全国·高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；
（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.
(1)
，
因为，同理可得，
所以
(2)
因为，所以，
因为，
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
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突破1.2 空间向量的基本定理
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高一）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·云南师大附中高二期中）已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高二专题练习）设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A．{ B． C． D．
4．（2021·浙江宁波·高二期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2016·全国·高二课时练习（理））已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高二课时练习）如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2022·福建·柘荣县第一中学高二期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·全国·高一）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·浙江·安吉县上墅私立高级中学高二期末）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2020·北京·高二期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
14．（2020·安徽淮北·高二期中（理））设，，是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间的基底的一组是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·湖南师大附中高一期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.
16．（2021·广东·广州市培英中学高二阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为__________．
17．（2021·河北·深州长江中学高二阶段练习）设{，，}是是空间向量的一个单位正交基底，， ，则的坐标是_________________．
18．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.
19．（2021·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
20．（2022·全国·高二）已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.
21．（2022·广东珠海·高二期末）已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.
22．（2022·全国·高二课时练习）已知平行六面体中，，，，，，则的长为________
23．（2016·全国·高二课时练习）已知四面体中，，，，的中点分别为，，则______.
24．（2016·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，用，，作为基向量，则__________.
25．（2015·甘肃天水·高二期末（理））对于以下命题：
①是共线的充要条件；
②对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面．
③如果,那么与的夹角为钝角
④若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底；
⑤若，则．
其中不正确结论的序号是___________________．
26．（2011·四川雅安·高二阶段练习（理））给出下列命题：
①已知，则；
②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；
③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若共线，则所在直线或者平行或者重合．
正确的结论为_________________．
27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是
B组 能力提升
28．（2022·全国·高二）（多选题）若，，是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
29．（2022·湖南·湘府中学高一期末）（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
30．（2022·广东广州·高二期末）（多选题）如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（ ）
A． B．
C． D．
31．（2022·江苏·高二阶段练习）（多选题）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，（，），若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．任意向量，，，满足
32．（2022·全国·高一）（多选题）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
33．（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若，是两个不共线的向量，且，且，则，，构成空间的一个基底
D．若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面
34．（2022·全国·高二专题练习）（多选题）在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若两个非零空间向量，满足，则
35．（2021·湖北宜昌·高二期中）（多选题）若是空间的一个基底，则下列向量组也可以作为空间一个基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
36．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．AC1=6
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
37．（2022·福建莆田·高二期末）如图，在空间四边形ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝3，DB＝DC＝2，点E在边DA上，且DE＝2EA，F为BC的中点．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求．
38．（2022·全国·高一）在长方体中，是的中点．
(1)设，，，用向量、、表示；
(2)设，，，用向量、、表示．
39．（2022·全国·高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
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