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突破1.3 空间向量及其坐标表示
A组 基础巩固
1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））已知空间向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2021·广东·潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习）若，则=（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·西藏·拉萨中学高二阶段练习（理））已知，，则等于（ ）
A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23
6．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习（理））设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·福建莆田·高二期末）已知向量，且与互相垂直，则k的值为（ ）
A．－2 B．－ C． D．2
8．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，则m的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
11．（2022·福建龙岩·高二期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二开学考试）已知，则下列向量中与平行的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·浙江·镇海中学高二阶段练习）已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
14．（2022·河北邢台·高二阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．5
15．（2022·山东枣庄·高二期末）已知向量，若，则（ ）
A． B．5 C．4 D．
16．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）已知且，则x的值为（ ）
A． B． C．3 D．-3
17．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知，，若，则m的值为（ ）．
A． B． C．3 D．4
19．（2022·全国·高二）已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021·重庆市天星桥中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
23．（2022·全国·高二期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则______．
24．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为______．
25．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为，，则点的坐标为____________.
26．（2022·福建宁德·高二期末）已知，，，则的坐标为______．
27．（2022·全国·高二单元测试）已知，，．若、、三向量共面，则实数______．
28．（2021·湖南·高二期中）已知空间向量，则___________.
29．（2021·湖北孝感·高二期中）已知空间向量，，且，则___________.
30．（2020·广东·佛山市顺德区乐从中学高二期中）已知向量，且与垂直，则_______．
31．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）已知向量，则在方向上的投影为___________.
32．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）已知，，，则在上的投影为___________.
33．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点P，使得与平面所成的角为
④存在点P，使得与垂直
34．（2021·北京市昌平区前锋学校高二期中）若，，则的值为_______
35．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））三棱锥中，、、两两垂直，且.给出下列四个命题：
①；
②；
③和的夹角为；
④三棱锥的体积为.
其中所有正确命题的序号为______________.
36．（2019·江苏·启东中学高一阶段练习）已知，，且与夹角为钝角，则取值范围是_____．
B组 能力提升
37．（2022·山东青岛·高一期末）（多选题）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与向量共线
C．向量关于轴对称的向量为
D．向量关于平面对称的向量为
38．（2022·湖北武汉·模拟预测）（多选题）已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体的截面始终为四边形
B．点M运动过程中，三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的最大值为
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为
39．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）已知正方体的棱长为1，分别在上，并满足，设，设的重心为G，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以构成一组基底
B．当时，
C．当时，在平面上的投影向量的模长为
D．对任意实数，总有
40．（2022·江苏·马坝高中高二期中）（多选题）若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B．17 C．1 D．
41．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末）（多选题）在空间直角坐标系中，，则（ ）
A． B．
C． D．
42．（2022·重庆·高二期末）（多选题）在四面体中，，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
43．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）（多选题）已知空间向量，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．，
44．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知向量，，则（ ）
A．
B．
C．向量，的夹角的余弦值为
D．若向量（，为实数），则
45．（2021·浙江杭州·高二期中）（多选题）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C．已知向量，，若，则为钝角
D．任意向量，满足
46．（2020·山东省青岛第五十八中学高三阶段练习）（多选题）在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点，则下列命题中正确的是（ ）．
A． B．当为线段的中点时，取最小值
C．三棱锥体积的最大值是最小值的倍 D．与所成角的范围是
47．（2022·江苏·高三专题练习）（多选题）如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则边长度的可能取值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
48．（2019·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，，分别是，的中点，棱长为，求点，的坐标．
49．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知点，，，设，．
(1)求，夹角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
(3)若向量，平行，求的值．
50．（2022·全国·高二课时练习）已知空间中三点、、，设，．
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量与互相垂直，求实数k的值；
(3)求以，为一组邻边的平行四边形的面积S．
51．（2021·重庆市南华中学校高二阶段练习）已知空间向量 ，, ．
(1)若，求；
(2)若 ，求 的值．
52．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）已知，，求：
(1)，，；
(2)＋与＋夹角的余弦值．
53．（2021·全国·高二课时练习）如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点．
(1)求的长；
(2)求的值；
(3)求证：．
54．（2021·全国·高二课时练习）如图，正方形与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，E，F分别是的中点，G是上的点，.
（1）试确定点G的位置；
（2）求夹角的余弦值.
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突破1.3 空间向量及其坐标表示
A组 基础巩固
1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.
【详解】
解：因为点，则其关于平面对称的点为.
故选：A.
2．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量的坐标运算直接计算.
【详解】
由题意得，，所以，
所以，所以的坐标为．
故选：B．
3．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））已知空间向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量平行的坐标公式求出即可.
【详解】
由，解得，则.
故选：A.
4．（2021·广东·潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习）若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量线性关系的坐标运算求即可.
【详解】
.
故选：D
5．（2022·西藏·拉萨中学高二阶段练习（理））已知，，则等于（ ）
A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得，再利用数量积的坐标表示即得.
【详解】
∵，，
∴，
∴.
故选：C.
6．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习（理））设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】
因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
7．（2022·福建莆田·高二期末）已知向量，且与互相垂直，则k的值为（ ）
A．－2 B．－ C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，由空间向量的数量积运算可得答案.
【详解】
由与互相垂直，则，解得
故选：A
8．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.
【详解】
，，
则，
由，可得，解之得
故选：B
9．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：B
10．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，则m的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量共线的性质即可求解.
【详解】
因为，所以，解得，
故选：C.
11．（2022·福建龙岩·高二期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
若，则，从而即可求解
【详解】
若，则，从而
即,解之得：
故选：D
12．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二开学考试）已知，则下列向量中与平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量平行的坐标公式可判断出结果.
【详解】
对于A，因为，所以A不正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C不正确；
对于D，因为，所以D不正确.
故选：B
13．（2022·浙江·镇海中学高二阶段练习）已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意可得，即可得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为且，所以，则，解得；
故选：C
14．（2022·河北邢台·高二阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可.
【详解】
由题设，且，则，可得.
故选：A
15．（2022·山东枣庄·高二期末）已知向量，若，则（ ）
A． B．5 C．4 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量垂直列方程，化简求得.
【详解】
由于，所以.
故选：B
16．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）已知且，则x的值为（ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】B
【解析】
【分析】
转化，由空间向量数量积的坐标表示即得解
【详解】
由题意，
又
故
解得：
故选：B
17．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得解.
【详解】
因为，则，所以，，，因此，.
故选：D.
18．（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知，，若，则m的值为（ ）．
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量垂直的坐标表示求解
【详解】
因为，所以，即，解得．
故选：C
19．（2022·全国·高二）已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算求出，再由夹角公式求解即可.
【详解】
由，解得，
所以，，所以，
因为，所以.
故选：C
20．（2022·全国·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量在向量上的投影向量的定义结合向量数量积运算即可计算作答.
【详解】
因空间向量，，，，
所以向量在向量上的投影向量是.
故选：C
21．（2021·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
以D为原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．取的中点为H，连接，.证明出点P只能在线段上运动．设（）表示出，求出模长，利用二次函数求出PC长度的取值范围.
【详解】
以D为原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，，.
取的中点为H，连接，.
在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以.
又面，面，
所以面.
同理可证：面.
又，所以平面平面．
因为平面，所以点P只能在线段上运动．易知，设（），，则，，
，
．
当时，取得最小值；当时，取得最大值36．
故PC长度的取值范围为．
故选：C
【点睛】
立体几何求最值的方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求最值；
（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.
22．（2021·重庆市天星桥中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，3，，根据空间向量垂直的坐标表示求得，继而得的最小值，连接BP，由线面角的定义得 就是与平面所成的角，故而得的最大值.
【详解】
解：以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，
设，3，，则，3，，，，，
，，
，，
，
连接BP，在正四棱柱中，面，所以 就是与平面所成的角，即 ，
，的最大值为．
故选：B．
23．（2022·全国·高二期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由坐标运算求解即可.
【详解】
故答案为：
24．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
空间直角坐标系中任一点 关于坐标平面 的对称点 ，写出结果即可
【详解】
由题意可得：点关于 平面的对称点的坐标是 ，
故答案为：
25．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为，，则点的坐标为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，过作于，过作于、，根据正方体的性质知：，，即可确定的坐标.
【详解】
过作于，过作于、，
∵正方体的棱长为，，
∴，，
∴.
故答案为：.
26．（2022·福建宁德·高二期末）已知，，，则的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量的坐标表示可得，再根据向量坐标的线性运算求的坐标.
【详解】
由题设，，
所以.
故答案为：
27．（2022·全国·高二单元测试）已知，，．若、、三向量共面，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案.
【详解】
因为不平行，且、、三向量共面，
所以存在实数x，y，使，
所以，解得，
故答案为：
28．（2021·湖南·高二期中）已知空间向量，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．
【详解】
因为，所以.
故答案为：．
29．（2021·湖北孝感·高二期中）已知空间向量，，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由得，利用向量数量积的坐标表示列方程求出的值，可得的坐标，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示即可求模长.
【详解】
因为空间向量，，且，
所以，解得：，，
所以，则.
故答案为：.
30．（2020·广东·佛山市顺德区乐从中学高二期中）已知向量，且与垂直，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据与垂直列方程，化简求得的值.
【详解】
，
由于与垂直，
所以.
故答案为：
31．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）已知向量，则在方向上的投影为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据投影的计算方法计算出正确答案.
【详解】
在方向上的投影为.
故答案为：
32．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）已知，，，则在上的投影为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出向量的坐标，然后根据向量投影公式即可求出答案,
【详解】
因为，，，
所以，所以
所以在上的投影为.
故答案为：.
33．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点P，使得与平面所成的角为
④存在点P，使得与垂直
【答案】②③
【解析】
【分析】
①通过与不垂直来进行判断.②通过计算三棱锥的体积来进行判断. ③通过线面角的知识进行判断. ④通过建立空间直角坐标系，利用向量法来进行判断.
【详解】
由题意得．则，易得，
所以与不垂直．故①错误；
，点B到平面的距离为，
由，得，得，
又，则，故②正确；
与平面所成的角即为与平面所成的角，设为，
易知当点P与M重合时，最小，
此时，当点Р与重合时，最大，
此时，此时，
故存在点P，使得与平面所成的角为，③正确；
如图建立空间直角坐标系，，设．
则有，
故不存在点P，使得与垂直，④错误．
故答案为：②③
34．（2021·北京市昌平区前锋学校高二期中）若，，则的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
先由空间向量线性运算的坐标运算计算的坐标，再由坐标计算模长即可求解.
【详解】
因为，，所以，
所以，
故答案为：.
35．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））三棱锥中，、、两两垂直，且.给出下列四个命题：
①；
②；
③和的夹角为；
④三棱锥的体积为.
其中所有正确命题的序号为______________.
【答案】①②③
【解析】
设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误.
【详解】
设，由于、、两两垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则、、、.
对于①，，所以，，①正确；
对于②，，，则，②正确；
对于③，，，
，
，所以，和的夹角为，③正确；
对于④，，，，则，
所以，，
而三棱锥的体积为，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】
关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可.
36．（2019·江苏·启东中学高一阶段练习）已知，，且与夹角为钝角，则取值范围是_____．
【答案】且
【解析】
【分析】
求出，由与夹角为钝角可得：且与不反向共线，问题得解．
【详解】
因为， ，
所以
因为与夹角为钝角，所以且与不反向共线，
又因为与共线时，有，即：
所以，解得：.
【点睛】
本题主要考查了向量夹角的数量积表示及空间向量数量积的坐标运算，还考查空间向量共线知识及计算能力，属于中档题．
B组 能力提升
37．（2022·山东青岛·高一期末）（多选题）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与向量共线
C．向量关于轴对称的向量为
D．向量关于平面对称的向量为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据空间向量模的公式，结合共线向量、线对称、面对称的性质逐一判断即可.
【详解】
A：因为，所以本选项说法正确；
B：因为，所以向量与向量共线，因此本选项说法正确；
C：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，
因为点关于轴对称的点的坐标为，
所以向量关于轴对称的向量为，因此本选项说法正确；
D：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，
因为点关于平面对称点的坐标为，
所以向量关于平面对称的向量为，
故选：ABC
38．（2022·湖北武汉·模拟预测）（多选题）已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体的截面始终为四边形
B．点M运动过程中，三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的最大值为
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
举例说明判断A；利用等体积法推理判断B；建立函数关系，借助函数性质计算判断C，D作答.
【详解】
正方体的棱长为2，点M为线段（含端点）上的动点，
对于A，当点M与点C重合时，平面只与正方体的共点D的三个面有公共点，所得截面为三角形，A不正确；
对于B，点M到平面的距离为2，而，B正确；
对于C，当点M与点C重合时，截面为正三角形，其边长为，截面面积为，
当点M与点C不重合时，平面平面，如图，，
当点M与点重合时，截面是正方体的对角面，其面积为，
令，截面是等腰梯形，则，，
等腰梯形的高，
截面面积，
令，显然在上递增，，则，
所以截面面积，最大值为，C正确；
对于D，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，设点，，
三棱锥的外接球截平面所得截面小圆是的外接圆，其圆心为中点，
三棱锥的外接球球心O在过点E垂直于平面的直线l上，设点，
由得：，即，有，
所以三棱锥的外接球表面积，D正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.
39．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）已知正方体的棱长为1，分别在上，并满足，设，设的重心为G，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以构成一组基底
B．当时，
C．当时，在平面上的投影向量的模长为
D．对任意实数，总有
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据基底向量的要求不共体可以判断A正确，B、C、D通过建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算进行运算判断正误．
【详解】
，显然不共面，∴向量可以构成一组基底，A正确；
如图建立空间直角坐标系，则，
当时，，则,
∴，Ｂ不正确；,
当时，,在平面上的投影向量为， ，Ｃ不正确；
对任意实数，，则，
，,，D正确．
故选：AD．
40．（2022·江苏·马坝高中高二期中）（多选题）若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B．17 C．1 D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由空间向量夹角的坐标表示求解
【详解】
由题意得
解得或
故选：BD
41．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末）（多选题）在空间直角坐标系中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据空间向量的垂直的坐标运算可判断A；计算空间向量的模长可判断BC；根据空间向量的数量积的坐标运算可判断D.
【详解】
，故A错误；
，故B正确；
因为，，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：BD.
42．（2022·重庆·高二期末）（多选题）在四面体中，，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据空间向量坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式、空间向量垂直的性质和数量积坐标公式逐一判断即可.
【详解】
A：因为，所以本选项正确；
B：因为，，
所以有，，
因此本选项正确；
C：因为，，
所以有，因此本选项不正确；
D：因为，，
所以，因此本选项不正确，
故选：AB
43．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）（多选题）已知空间向量，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．，
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用空间向量坐标的加法公式、向量模的坐标公式、向量的数量积公式依次计算各选项即可得出结果.
【详解】
向量，，
，则A正确，
，则B正确，
，则C错误，
，则D错误.
故选：AB
44．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知向量，，则（ ）
A．
B．
C．向量，的夹角的余弦值为
D．若向量（，为实数），则
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于选项A，由空间向量平行的条件可判断；对于选项B，根据空间向量的模的计算公式可判断；对于选项C，由空间向量的夹角计算公式计算可判断；对于D选项，根据空间向量相等和线性运算可判断..
【详解】
解：对于选项A，由，故A选项不正确；
对于选项B，由，，故B选项正确；
对于选项C，由，得，故C选项正确；
对于D选项，由，得，解得，，有，故D选项错误.
故选：BC.
45．（2021·浙江杭州·高二期中）（多选题）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C．已知向量，，若，则为钝角
D．任意向量，满足
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可．
【详解】
对于A，因，，则，A正确；
对于B，因，则＝，即，即A、B、C三点共线，B正确；
对于C，，若为钝角，则，且与不共线，由得，当时，，即，
由与不共线得，于是得当且时，为钝角，C错误；
对于D，是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，
故选：AB
46．（2020·山东省青岛第五十八中学高三阶段练习）（多选题）在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点，则下列命题中正确的是（ ）．
A． B．当为线段的中点时，取最小值
C．三棱锥体积的最大值是最小值的倍 D．与所成角的范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出的坐标后可通过向量的方法判断AB正误，可证明平面，从而可判断C的正误，连接，设，连接，则，则或其补角即为与所成角，计算的范围后可判断D的正误.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，.
设，其中，故，
故，所以，
所以，故A正确.
又，
当时，有最小值，故B错误.
对于D，如图，连接，设，连接，则，
故或其补角即为与所成角，
在中，，，
，
在中，，故，
在中，，故，
而为三角形内角，故，故.故D正确.
由正方体可得，而平面，
平面，故平面，故到平面的距离为定值，
故三棱锥体积为定值，故C错误.
故选：AD.
47．（2022·江苏·高三专题练习）（多选题）如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则边长度的可能取值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据题意，以为坐标轴建立空间坐标系，设，，并求得，由得出，可求出，再由，所以，从而可得出的最小值，结合选项，即可得出长度的可能取值.
【详解】
解：以为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：
设，，则，即，
又，
所以，
，
显然且，
所以，
因为，所以，
则当，取得最小值12，
所以的最小值为，即边长度的最小值为.
故选：ABD．
48．（2019·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，，分别是，的中点，棱长为，求点，的坐标．
【答案】，
【解析】
【分析】
可通过投影的方式求解点的坐标，也可以通过中点坐标公式计算坐标.
【详解】
解法：点在面上的射影为，，竖坐标为，．
点在面上的射影为的中点，，竖坐标为，．
解法：，，，为的中点，为的中点．故点的坐标为，
点的坐标为．
【点睛】
本题考查空间中的点的坐标的计算，难度容易.中点坐标公式：已知，则中点坐标为：.
49．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知点，，，设，．
(1)求，夹角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
(3)若向量，平行，求的值．
【答案】(1)
(2)或.
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.
（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.
（3）利用共线向量定理可求参数的值.
(1)
，，
故.
(2)
由（1）可得
，，
因为向量，垂直，故，
整理得到：，故或.
(3)
由（1）可得不共线，故，均不为零向量，
若向量，平行，则存在非零常数，使得，
整理得到：，
因为不共线，故，故或，
故.
50．（2022·全国·高二课时练习）已知空间中三点、、，设，．
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量与互相垂直，求实数k的值；
(3)求以，为一组邻边的平行四边形的面积S．
【答案】(1)或
(2)
(3)3
【解析】
【分析】
（1）设，表示出其坐标，根据模的计算，求得答案;
（2）表示出的坐标，根据向量垂直的坐标运算，求得答案；
（3）求得向量，夹角的余弦，进而求得其正弦，根据三角形面积公式求得答案.
(1)
∵空间中三点，，，，，
∴．
∵，且，∴设，则，
∴，∴，
∴或．
(2)
由题意得，
∴，
∵向量与互相垂直，∴，解得．
(3)
，，，
，，
故，
∴．
51．（2021·重庆市南华中学校高二阶段练习）已知空间向量 ，, ．
(1)若，求；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)-15
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量的共线，列出方程，解得答案；
（2）利用向量垂直，数量积等于0，求得，再根据向量的坐标运算即可得答案.
(1)
，,解得：，
故，故 ．
(2)
由，可得 ，解得：，
，
，，
．
52．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）已知，，求：
(1)，，；
(2)＋与＋夹角的余弦值．
【答案】(1)＝(－2，3，1)，＝(2，－3，－1)，＝(3，2，0)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量的平行和共线，分别列出方程，解得答案;
（2）求出向量＋与＋的坐标，利用向量的夹角公式求得答案.
(1)
由题意知： ，
∵∥，∴ ， 解得x＝－2，y＝－3 ，
∴＝(－2，3，1)，＝(2，－3，－1)，
又⊥，∴·＝0，即6－6－z＝0，解得z＝0 ∴＝(3，2，0)．
(2)
由（1）得＝(1，5，1)，＝(5，－1，－1)，
设与夹角为θ，则
.
53．（2021·全国·高二课时练习）如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点．
(1)求的长；
(2)求的值；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)详见解析
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，求得的坐标，再求模即可；
（2）分别求得的坐标，再利用向量的夹角公式求解；
（3）分别求得的坐标，再判断是否为零即可.
(1)
解：建立如图所示空间直角坐标系：
，
则，
所以，
则；
(2)
由（1）知，
所以，
则，
所以；
(3)
由（1）知，
所以，
则，
所以．
54．（2021·全国·高二课时练习）如图，正方形与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，E，F分别是的中点，G是上的点，.
（1）试确定点G的位置；
（2）求夹角的余弦值.
【答案】（1）G是的中点 （2）
【解析】
【分析】
（1）由题设条件可证明平面，建立空间直角坐标系，不妨设，标出对应点坐标，由可得，可得解；
（2）标出对应点坐标，计算向量坐标，由，计算即得解.
【详解】
（1）由题意，平面平面，
平面平面，平面
平面，又平面
以C为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，不妨设
故G是的中点.
（2）
，又
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