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突破1.3 空间向量及其坐标表示
一、考情分析
1.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示
2.掌握空间向量运算的坐标表示
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用
4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题
二、经验分享
（一）、回顾平面向量坐标表示及其运算
已知=(,)，=(,)，写出下列向量的坐标表示
+=(+，+) ；-=(-，-)；=(，)；=
//=0；⊥=0
设，则或
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么； cos =（）
（二）、学习空间向量
知识点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
知识点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
知识点三、 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②，
或.
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。
（2）空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
（3）向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
①;
②;
③;
（4）向量数量积的坐标运算
若，则
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
(1).
(2).
知识点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中的范围是
②.
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
（6）空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
用坐标表示空间向量的步骤如下:
三、题型分析
重难点题型突破1 空间向量的坐标表示
例1．（1）、（2022·四川成都·高二期中（理））已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答.
【详解】
依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.
故选：D
（2）、（2022·江苏·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题设确定的空间坐标，再利用向量的坐标表示求、、的坐标.
【详解】
如题图示，，
∴，
，
.
故答案为：，，.
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量运算求得，从而确定正确选项.
【详解】
由题可知，为的中点，
∴，
∴坐标为.
故选：D
【变式训练1-2】、（2022·全国·高二课时练习）若△顶点，且，，则点C坐标是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的坐标表示有、，即可求C坐标.
【详解】
由，，可得：，
又，同理可得：.
故答案为：
重难点题型突破2空间向量的坐标计算
例2．（1）、（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知，，则_______.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】
由，，得
，，
.
.
故答案为：.
（2）、（2022·全国·高二）若点，，在同一条直线上，则（ ）
A．21 B．4 C．4 D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
若∥，则．
【详解】
，
∵点，，在同一条直线上
∴∥则
解得
∴
故选：C．
【变式训练2-1】、（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果
【详解】
故选：B.
【变式训练2-2】、（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算直接求解即可
【详解】
，，∴．
故选：B．
重难点题型突破3 空间向量的模的计算
例3．（1）、（2022·湖南益阳·高二期末）已知向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长.
【详解】
由，则，即，
有，
所以，
所以，则
故选：D
（2）、（2022·江苏徐州·高二期中）已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
首先求出，的坐标，再根据向量数量积、向量模的坐标表示求出，，最后根据求出投影向量的坐标，最后求模即可；
【详解】
解：因为，，，，
所以，，
所以，，
所以向量在向量上的投影为；
所以向量在向量上的投影向量为
即向量在向量上的投影向量的模为；
故答案为：
【变式训练3-1】、（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长.
【详解】
由题设，则.
故选：C
【变式训练3-2】、（2022·全国·高二）设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.
【详解】
以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，
设 则，
当时的最小值是，
取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.
取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.
故答案为：.
例4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据投影向量概念求解即可.
【详解】
因为空间向量，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故答案为：.
【变式训练4-1】、（2022·全国·高二）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可
【详解】
由题，，故在上的投影向量的模
故答案为：
重难点题型突破4 空间向量平行与垂直
例5．（1）、（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）向量，，，且，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量平行、垂直的坐标表示求出x，y，再利用坐标求出向量的模作答.
【详解】
因，，而，则有，解得，即
又，且，则有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案为：
（2）、（2021·全国·高二单元测试）已知，，，．若，则实数k的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
算出、的坐标，然后可得答案.
【详解】
因为，，
所以，
因为，所以，解得
故答案为：
【变式训练5-1】、（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量，若，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间向量平行的坐标公式即可求出结果.
【详解】
由题意可得知，则，因此，所以，
故选：C.
【变式训练5-2】、（2021·湖南省邵东市第一中学高二期中）已知空间直角坐标系中，点，，若，，则向量的坐标为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
求出，由题可设，根据即可求出.
【详解】
因为，，所以，
因为，则可设，
则，解得，
所以向量的坐标为或.
故答案为：或.
例6．(1)、（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）已知向量，，若与垂直，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据与垂直，可知，根据空间向量的数量积运算可求出的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.
【详解】
解：与垂直，，
则，解得：，
，
则，
.
故答案为：.
(2)、（2022·福建宁德·高二期末）（多选题）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.
【详解】
因为，所以，不垂直，A错，
因为，所以，B对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，
因为在方向上的投影向量，D对，
故选：BD.
【变式训练6-1】、（2022·山西·高二期末）已知空间向量，，若，则______．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】
根据题意，易知，因为，所以，
即，解得．
故答案为：7．
【变式训练6-2】、（2022·全国·高一）设是空间向量的单位正交基底，，，则向量与的位置关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量的数量积运算易得，然后可得.
【详解】
由题知
因为
所以
故答案为：
例7．（2021·全国·高二专题练习）已知，．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）求确定、的值使得与轴垂直，且．
【答案】（1）；（2）；（3），．
【解析】
【分析】
（1）利用向量的数量积运算求解；
（2）利用向量的夹角公式求解；
（3）取轴上的单位向量，由与轴垂直，且，利用数量积运算求解.
【详解】
（1）因为，，
所以.
（2）∵，，
∴，
∴与夹角的余弦值为，
（3）取轴上的单位向量，，
依题意，
即，
故，
解得，．
【变式训练7-1】、（2021·广东·中山市华侨中学高二阶段练习）已知空间中三点，，，设，．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求出，再代入向量的夹角公式求解；
（2）求出，解方程即得解.
【详解】
解：（1）因为，，
所以．
，
．
所以，
所以与的夹角余弦值为．
（2），
因为与互相垂直，
所以．
所以．
所以当与互相垂直时，实数的值为．
【点睛】
结论点睛：，如果，则；如果，则.
重难点题型突破5 空间向量夹角的计算
例8．（1）、（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，分别是轴、轴、轴正方向上的单位向量，若为非零向量，且，，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】
设，由向量数量积运算可求得，，由模长运算可知，由向量夹角公式可求得结果.
【详解】
设，又，，，
，，
即，，，
解得：，或，
或，
又，或.
故答案为：或.
（2）、（2022·河南·高二阶段练习（理））已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．0° B．45° C．90° D．180°
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量数量积公式的坐标运算即可求解.
【详解】
，
，
.
故选：B
【变式训练8-1】、（2019·海南·三亚华侨学校高二期中）已知空间向量，则向量与的夹角为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两向量的夹角余弦公式，即可求出两向量的夹角．
【详解】
解：，1，，，0，，
，
，，
，，
向量与的夹角为．
故答案为：.
【点睛】
本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题，是基础题目．
【变式训练8-2】、（2022·全国·高二课时练习）边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.
【详解】
由题意可得平面，，则两两垂直
以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则，，，，
又，则
故选：B
例9．（2022·全国·高二课时练习）如图，将正三棱柱放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上，若，，写出，的坐标，并求它们夹角的余弦值．
【答案】，
【解析】
【分析】
写出四个点的坐标，再利用空间向量的坐标运算可得向量坐标，利用夹角公式可得向量夹角的余弦值.
【详解】
由已知得，
则，
.
【变式训练9-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知三棱锥中，.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)若点M在线段上，满足，点N在线段上，且，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接，证明两两垂直，从而得线面垂直、面面垂直；
（2）过作于，连接，证明是二面角的平面角，然后在直角三角形中计算出余弦值．
（3）建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，由它们的数量积为0求出的关系，从而可得范围．
(1)
取中点，连接，
因为，所以，所以，，
又，所以，即，
即，又，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
(2)
由（1）得，又，，平面，
所以平面，平面，所以，同理，
过作于，连接，
，平面，所以平面，又平面，
所以，所以是二面角的平面角．
由.得，，
，所以．
(3)
以为轴建立空间直角坐标系，由，，
，，
设，则．
，
，
因为，
所以，，
，则，所以，即．
四、课堂训练
1．（2022·全国·高二）平行六面体中，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的坐标表示，即得.
【详解】
设，
∵，又，
∴，
解得，即.
故选：B.
2．（2021·北京·北大附中高二期中）若向量，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
空间向量垂直，则空间向量的数量积为0，进而列出方程，求得结果
【详解】
因为，所以，即，解得：
故答案为：
3．（2021·全国·高二课时练习）已知空间向量，，共面，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量共面的条件，设实数，满足，列出方程组求出的值.
【详解】
，，共面，
存在实数，满足，
则， ，，．
故答案为：
4．（2022·江苏泰州·高二期末）已知，．
(1)求的值；
(2)当时，求实数k的值．
【答案】(1)25
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式求解即可；
（2）根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式求解即可
(1)
因为，，故，，故
(2)
，，，因为，故，即，故，即，故或
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突破1.3 空间向量及其坐标表示
一、考情分析
1.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示
2.掌握空间向量运算的坐标表示
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用
4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题
二、经验分享
（一）、回顾平面向量坐标表示及其运算
已知=(,)，=(,)，写出下列向量的坐标表示
+=(+，+) ；-=(-，-)；=(，)；=
//=0；⊥=0
设，则或
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么； cos =（）
（二）、学习空间向量
知识点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
知识点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
知识点三、 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②，
或.
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。
（2）空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
（3）向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
①;
②;
③;
（4）向量数量积的坐标运算
若，则
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
(1).
(2).
知识点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中的范围是
②.
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
（6）空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
用坐标表示空间向量的步骤如下:
三、题型分析
重难点题型突破1 空间向量的坐标表示
例1．（1）、（2022·四川成都·高二期中（理））已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2022·江苏·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2022·全国·高二课时练习）若△顶点，且，，则点C坐标是___________.
重难点题型突破2空间向量的坐标计算
例2．（1）、（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知，，则_______.
（2）、（2022·全国·高二）若点，，在同一条直线上，则（ ）
A．21 B．4 C．4 D．10
【变式训练2-1】、（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】、（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
．
重难点题型突破3 空间向量的模的计算
例3．（1）、（2022·湖南益阳·高二期末）已知向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
（2）、（2022·江苏徐州·高二期中）已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为______．
【变式训练3-1】、（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
【变式训练3-2】、（2022·全国·高二）设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
例4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．
【变式训练4-1】、（2022·全国·高二）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
重难点题型突破4 空间向量平行与垂直
例5．（1）、（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）向量，，，且，，则______.
（2）、（2021·全国·高二单元测试）已知，，，．若，则实数k的值为______．
【变式训练5-1】、（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量，若，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式训练5-2】、（2021·湖南省邵东市第一中学高二期中）已知空间直角坐标系中，点，，若，，则向量的坐标为__________．
例6．(1)、（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）已知向量，，若与垂直，则___________.
(2)、（2022·福建宁德·高二期末）（多选题）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
【变式训练6-1】、（2022·山西·高二期末）已知空间向量，，若，则______．
【变式训练6-2】、（2022·全国·高一）设是空间向量的单位正交基底，，，则向量与的位置关系是________．
例7．（2021·全国·高二专题练习）已知，．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）求确定、的值使得与轴垂直，且．
【变式训练7-1】、（2021·广东·中山市华侨中学高二阶段练习）已知空间中三点，，，设，．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值．
重难点题型突破5 空间向量夹角的计算
例8．（1）、（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，分别是轴、轴、轴正方向上的单位向量，若为非零向量，且，，则______．
（2）、（2022·河南·高二阶段练习（理））已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．0° B．45° C．90° D．180°
【变式训练8-1】、（2019·海南·三亚华侨学校高二期中）已知空间向量，则向量与的夹角为_____________.
【变式训练8-2】、（2022·全国·高二课时练习）边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2022·全国·高二课时练习）如图，将正三棱柱放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上，若，，写出，的坐标，并求它们夹角的余弦值．
【变式训练9-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知三棱锥中，.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)若点M在线段上，满足，点N在线段上，且，求的取值范围.
四、课堂训练
1．（2022·全国·高二）平行六面体中，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京·北大附中高二期中）若向量，且，则___________.
3．（2021·全国·高二课时练习）已知空间向量，，共面，则实数的值为______．
4．（2022·江苏泰州·高二期末）已知，．
(1)求的值；
(2)当时，求实数k的值．
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