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突破1.4 空间向量的应用
一、考情分析
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
5.用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题
6.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题
二、经验分享
考点一：直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量：
点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.
知识点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．
2.平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
考点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
考点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
考点四、用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．
知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．
（3）求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，
即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
考点五、用向量方法求空间距离
1.求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．
2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
3. 点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 .
三、题型分析
重难点题型突破1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
例1．(1)、（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设出平面的法向量为，利用垂直关系，布列方程组，即可得到结果.
【详解】
，．
设平面的法向量为．
由题意知，，
所以，解得，
令，得平面的一个法向量是．
故选：A
(2)、（2022·全国·高二）已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得到，列出方程，求出实数的值.
【详解】
由题意得：，所以，解得：
故选：C
(3)、（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．
【答案】垂直或
【解析】
【分析】
由题意可得与共线，从而可得答案
【详解】
因为直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，且，
所以与共线，，
所以直线l与平面的位置关系为垂直，
故答案为：垂直或
(4)、（2022·浙江·高三专题练习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得两平面的法向量共线，即可得到，从而得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，即，解得；
故选：B．
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
设平面的法向量为，则有，然后赋值即可得出答案.
【详解】
解：，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以，
所以平面的法向量可以是.
故答案为：（答案不唯一）.
【变式训练1-2】、（（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，，所以，
因为平面的一个法向量为，所以，
则，解得，
故选：C.
【变式训练1-3】．（2021·河北高二开学考试）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B． C． D．与斜交
【答案】D
【分析】
根据直线的方向向量与平面法向量的关系，判断直线与平面的关系即可.
【详解】
所以与不平行也不垂直，所以与斜交.
故选：D
【变式训练1-4】、（2022·全国·高二）已知平面，写出平面的一个法向量______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.
【详解】
设法向量为，
则有，
令得：，所以
故答案为：
【变式训练1-5】．（2021·上海位育中学高二期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则________．
【答案】6
【分析】
根据线面平行的位置关系，转化为空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】
，且直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
，即，
解得：.
故答案为：
重难点题型突破2 用空间向量研究平行与垂直问题
例2．（1）、（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】
在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
(2)、（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期末（理））设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________．
【答案】4
【解析】
根据分别是平面的法向量，且，则有求解.
【详解】
因为分别是平面的法向量，且
所以
所以
解得
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查空间向量垂直，还考查了运算求解的能力，属于基础题
(3)、（2021·全国·高二专题练面的法向量，平面的法向量，已知，则__________.
【答案】0
【解析】
【分析】
由可得，可设，可得出关于、、的方程组，解出这几个未知数的值，进而可求得的值.
【详解】
，则，设，
则，解得，因此，.
故答案为：.
(4)、（2023·全国·高三专题练习（理））已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
设出的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，D；举例说明判断C作答.
【详解】
设平面的法向量分别为，
对于A，由得，，，而，则，有，即，于是得，A正确；
对于B，因，则，令直线的方向向量为，又，于是得，有，，B正确；
对于C，三棱柱的三个侧面分别视为平面，
显然平面平面，平面，有，
即满足C中命题的条件，但平面与平面相交，C不正确；
对于D，因，则，因此，向量共面于平面，令直线的方向向量为，显然，
而平面，即不共线，于是得，所以，D正确.
故选：C
【变式训练2-1】．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______．
【答案】平行
【解析】
【分析】
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得的方向向量和平面的法向量，由向量法即可判断.
【详解】
因为是正方体，且棱长为，
故以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下所示：
则，
由题可知，设点坐标为，
则，故可得，即；
，设点坐标为，
则，故可得，即；
故所在的方向向量为，
又平面的一个法向量，
故，故直线//面.
故答案为：平行.
【变式训练2-2】．（2022·湖南·高三阶段练习）若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
【答案】-1
【解析】
【分析】
利用法向量的定义和向量共线的定理即可.
【详解】
直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，
必有 ，即向量 与向量 共线，
，∴，解得；
故答案为：-1.
【变式训练2-3】．（2021·全国·高二课时练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，则实数______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意，结合面面平行的向量证法与向量的共线定理，即可求解.
【详解】
∵，∴，∴存在，使得，解得．
故答案为：3.
【变式训练2-4】．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知不重合的两条直线m，n和两个不重合的平面，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A，当，且，则n可能在 内，判断A; 对于B，根据平面的法向量可进行判断；对于C，考虑 可能相交，也可能平行，即可判断；对于D，考虑到可能平行或异面或相交，即可判断，
【详解】
对于A，当，且，则n可能在 内，故A错误；
对于B，因为，故在m上可取 作为 的法向量，同理在n上可取 作为 的法向量，因为，故，即得，故B正确；
对于C，当，且时，可能相交，也可能平行，故C错误；
对于D，当，且时，可能平行或异面或相交，故D错误，
故选：B
重难点题型突破3 用空间向量研究距离问题
例3．(1)、（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用点到直线距离的向量公式即可求解．
【详解】
依题意得，
则到直线的距离为
故答案为：
(2)、（2022·全国·高二课时练习）正方体中棱长为a，若，N是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，分别求出个点的坐标，然后根据模值的坐标计算公式求出.
【详解】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的直角坐标系，，，
设，，
，即，，
则
于是，
故选：A
【变式训练3-1】．（2022·全国·高二期末）如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，表示出，求出同时垂直于的，再通过公式求距离即可.
【详解】
以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，
，设同时垂直于，由，令，得，
又，则异面直线，EN间的距离为.
故答案为：.
【变式训练3-2】．（2021·浙江高二单元测试）如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．
【答案】．
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法线段长．
【详解】
解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：
则设，
则，设直线与所成角为
所以
解得，所以，
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：本题考查求空间线段长．解题方法是建立空间直角坐标系，求出线段两端点的坐标，求出空间向量的模得结合，这种方法把问题通过计算求解，减少了推理过程．
【变式训练3-3】．（2022·江苏泰州·高二期末）长方体中，，，则点B到平面的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.
【详解】
解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，所以，， ，，，，
设平面的法向量为：
，
，令得：
又
点B到平面的距离为：.
故答案为：.
重难点题型突破4 用空间向量研究线线角、线面角与二面角问题
例4．（1）、（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】
取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，
以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，.
所以，.
故选：C.
（2）．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，分析可知，可求得点的坐标，再利用空间向量法可求得结果.
【详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，
设点，，，
因为，所以，，即点，
，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
（3）、（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为，
故选：B
【变式训练4-1】．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为，
故选：B
【变式训练4-2】．（2022·重庆长寿·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，分别计算平面APC与平面PBC的法向量，然后利用公式计算即可.
【详解】
依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，
所以，，，.
设平面APC的法向量为
，∴
不妨设，则，
设平面PBC的法向量为
，∴
不妨设，则，，
设为，则.
故答案为：
【变式训练4-3】．（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】
解：，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故选：D
例5．（2022·江苏·高二阶段练习）如图，四棱雉的底面为直角梯形，∥，，，，平面．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求出点A在平面上的投影M的坐标．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）以D点为原点，， ，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用向量的夹角公式求解即可，
（2）设，则，表示出，然后由，，列方程组可求出结果
(1)
因为平面，平面，
所以，
因为，
所以，，两两垂直，
所以以D点为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
，，
，
所以异面直线与所成的角的余弦值为．
(2)
设，
则．
又，
由，，得，
解得．
所以．
例6．（2022·江苏常州·高二期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.
【答案】(1)证明见解析
(2)点应在线段的中点处
【解析】
【分析】
（1）设，连接，通过证明即可得出；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系可求出.
(1)
设，连接，因为是正方形，所以是中点，
又因为是矩形，是线段的中点，所以,,
所以四边形为平行四边形，所以,
因为平面，平面，所以平面；
(2)
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
依题意设，
则，，
因为，，，
与所成角是，
所以，即，
化简得，解得或（不合题意舍去），
从而，因此点应在线段的中点处．
例7．．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，，，为侧棱上靠近点的四等分点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取上取一点，使，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的平面角的余弦值.
(1)
证明：取上取一点，使，连接、，
由题知，所以，．
又因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以直线平面．
(2)
解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
所以、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
例8．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【解析】
【分析】
（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用，即可证明线面垂直；
（2）分别求平面和的法向量和，利用公式，即可求解；
（3）首先利用向量共线，设点，利用线面角的向量公式，即可求得的值.
(1)
证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，，，，
则，平面的一个法向量，
，，
由，取，得，
，
，
平面；
(2)
设平面的一个法向量，，，由，取，解得
设平面的一个法向量，
由图可知二面角为锐二面角，
二面角的大小为；
(3)
设存在点满足条件，
由，，
设，
整理得，
，
直线与平面所成角的大小为，
，
则，由，得，即点和点重合，
故在线段上存在一点，且．
四、过关训练
1．（2022·全国·高二）已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得到，列出方程，求出实数的值.
【详解】
由题意得：，所以，解得：
故选：C
2．（2022·福建·高二学业考试）如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对A：由平面平面，然后根据面面平行的性质定理即可判断；
对B：若平面，则，这与和不垂直相矛盾，从而即可判断；
对C、D：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由与不是共线向量，且，从而即可判断.
【详解】
解：对A：由长方体的性质有平面平面，又平面，所以平面，故选项A正确；
对B：因为为棱的中点，且，所以与不垂直，
所以若平面，则，这与和不垂直相矛盾，故选项B错误；
对C、D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
因为与不是共线向量，且，
所以与不平行，且与不垂直，故选项C、D错误.
故选：A.
3．（2022·福建泉州·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】A
【解析】
【分析】
取、、的中点分别记为、、，画出图形根据线面平行的判定定理及空间向量法证明即可；
【详解】
解：取、、的中点分别记为、、，连接、、、，
根据正方体的性质可得面即为平面，
对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；
对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；
其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面；
故选：A
4．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（ ）
A．存在使得平面
B．存在使得
C．当平面时，三棱锥与体积之和最大值为
D．记与平面所成的角分别为，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A，当时，易证得，则要使平面EFG，只需即可，利用向量法即可得出结论；对于B，只需要即可，判断和是否相等，即可；对于C，因为，故求的最大值即可；对于D，利用等体积法求出到平面的距离，分别求出，进而可得.
【详解】
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，
对于A，因为平面，平面，
所以，又因，
所以平面，又平面，
所以，
当时，，此时，
要使平面EFG，只需即可，
，
则，
则，即，
当时，，
故存在点E，F，G，使得平面EFG，故A正确；
对于B，，
则，
要使，
只需要即可，
，
，
，
则，
故，
因为，所以，
所以，
所以不存在点E，F，G，使得，故B错误；
对于C，因为平面EFG，
所以，
，
则，
则，所以，
要使最大，则，此时，
所以三棱锥与体积之和最大值为，故C正确；
对于D，由上可知，，
则，
因为，
所以到平面的距离满足，
所以，
所以，
，
，
所以，
所以，故D错误.
故选：AC.
5．（2022·吉林·抚松县第一中学高一阶段练习）（多选题）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得
B．翻折过程中，的长是定值
C．若，则
D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于选项A，取中点，取中点，连结，，通过假设，推出平面，得到，则，即可判断；
对于选项B，在判断A的图基础上，连结交于点，连结，易得，由余弦定理，求得为定值即可；
对于选项C，取中点，，，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断；
对于选项D，易知当平面与平面垂直时，三棱锥的体积最大，说明此时中点为外接球球心即可.
【详解】
如图1，取中点，取中点，连结交于点，连结，，，
则易知，，，，，
由翻折可知，，，
对于选项A，易得，则、、、四点共面，由题可知，若，可得平面，故，则，不可能，故A错误；
对于选项B，易得，
在中，由余弦定理得，
整理得，
故为定值，故B正确；
如图2，取中点，取中点，连结，，，，，
对于选项C，由得，若，易得平面，故有，从而，显然不可能，故C错误；
对于选项D，由题易知当平面与平面垂直时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，此时平面，则，由，易求得，，故，因此，为三棱锥的外接球球心，此外接球半径为，表面积为，故D正确.
故选：BD.
6．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线与平面所成角为
D．异面直线与所成角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
连接，，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面，故A正确；由线面垂直的性质可以得到，故B正确；直线与平面所成角即直线与平面所成角为，故C正确；异面直线与所成角即为直线与所成角，故D错误.
【详解】
\
如图，连接，.
在正方形中，为的中点,，即也为的中点，
在中，分别为的中点，，
又平面，平面，平面，故A正确；
平面，，，故B正确；
，直线与平面所成角即直线与平面所成角为，故C正确；
由题可知，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，为，故D错误.
故答案为：ABC.
7．（2018·湖南株洲·高二期末（理））已知向量5，，1，，若平面ABC，则x的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由平面，可得存在事实，使得，利用向量相等的性质列方程即可得结果．
【详解】
平面，
存在事实，使得，
，解得．
故答案为．
【点睛】
本题考查了线面平行的坐标表示，以及向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，意在考查利用所学知识解答问题的能力，属于基础题．
8．（2022·山东德州·高一期末）已知E F G H分别是正方体，边AB，CD，，的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
，
，
设该正方体的棱长为，显然，
于是有，
所以，
，
所以，
因此异面直线EH与GF所成角的余弦值为，
故答案为：
9．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用已知条件求出的值，然后利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
(1)
证明：因为，，则，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，因此，平面平面.
(2)
解：因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以，为的中点，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为.
10．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．
(1)求侧棱AA1的长；
(2)M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．
【答案】(1)4
(2)0；90°.
【解析】
【分析】
（1）由平方，再利用数量积的运算性质展开即可得出．
（2）由，（），再利用数量积的运算性质展开即可得出．
(1)
设侧棱AA1＝x，
∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，
∴1，x2， 0， ， ，
又∵，
∴2＝（）22 2 2 26，
∴x2+2x﹣24＝0，∵x＞0，∴x＝4，
即侧棱AA1＝4．
(2)
∵，（），
∴（） （）（ ）（1﹣1+2﹣2）＝0，
∴两异面直线AC1和MN的夹角为90°．
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突破1.4 空间向量的应用
一、考情分析
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
5.用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题
6.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题
二、经验分享
考点一：直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量：
点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.
知识点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．
2.平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
考点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
考点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
考点四、用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．
知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．
（3）求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，
即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
考点五、用向量方法求空间距离
1.求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．
2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
3. 点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 .
三、题型分析
重难点题型突破1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
例1．(1)、（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
(2)、（2022·全国·高二）已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
(3)、（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．
(4)、（2022·浙江·高三专题练习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）
【变式训练1-2】、（（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练1-3】．（2021·河北高二开学考试）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B． C． D．与斜交
【变式训练1-4】、（2022·全国·高二）已知平面，写出平面的一个法向量______．
【变式训练1-5】．（2021·上海位育中学高二期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则________．
重难点题型突破2 用空间向量研究平行与垂直问题
例2．（1）、（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
(2)、（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期末（理））设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________．
(3)、（2021·全国·高二专题练面的法向量，平面的法向量，已知，则__________.
(4)、（2023·全国·高三专题练习（理））已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式训练2-1】．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______．
【变式训练2-2】．（2022·湖南·高三阶段练习）若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
【变式训练2-3】．（2021·全国·高二课时练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，则实数______．
【变式训练2-4】．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知不重合的两条直线m，n和两个不重合的平面，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
重难点题型突破3 用空间向量研究距离问题
例3．(1)、（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________．
(2)、（2022·全国·高二课时练习）正方体中棱长为a，若，N是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】．（2022·全国·高二期末）如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.
【变式训练3-2】．（2021·浙江高二单元测试）如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．
【变式训练3-3】．（2022·江苏泰州·高二期末）长方体中，，，则点B到平面的距离为________．
重难点题型突破4 用空间向量研究线线角、线面角与二面角问题
例4．（1）、（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
（3）、（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】．（2022·重庆长寿·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．
【变式训练4-3】．（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022·江苏·高二阶段练习）如图，四棱雉的底面为直角梯形，∥，，，，平面．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求出点A在平面上的投影M的坐标．
例6．（2022·江苏常州·高二期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.
例7．．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，，，为侧棱上靠近点的四等分点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值.
例8．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
四、过关训练
1．（2022·全国·高二）已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2022·福建·高二学业考试）如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．
D．
3．（2022·福建泉州·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
4．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（ ）
A．存在使得平面
B．存在使得
C．当平面时，三棱锥与体积之和最大值为
D．记与平面所成的角分别为，则
5．（2022·吉林·抚松县第一中学高一阶段练习）（多选题）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得
B．翻折过程中，的长是定值
C．若，则
D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
6．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线与平面所成角为
D．异面直线与所成角为
7．（2018·湖南株洲·高二期末（理））已知向量5，，1，，若平面ABC，则x的值是______．
8．（2022·山东德州·高一期末）已知E F G H分别是正方体，边AB，CD，，的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为___________.
9．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
10．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．
(1)求侧棱AA1的长；
(2)M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．
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