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突破2.2 直线方程
一、考情分析
考点梳理
知识点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
知识点诠释：
1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2.当直线的倾斜角为时，直线方程为；
3.当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：.
4.表示直线去掉一个点；表示一条直线.
知识点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
知识点诠释：
1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2.斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
知识点三：直线的两点式方程
经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.
知识点诠释：
1.这个方程由直线上两点确定；
2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.
3.直线方程的表示与选择的顺序无关.
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
知识点四：直线的截距式方程
若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.
知识点诠释：
1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.
2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距.
知识点五：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
知识点诠释：
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
知识点六：直线方程的不同形式间的关系
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴
斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴
两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴
截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点
一般式 、、为系数 任何位置的直线
知识点七：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
已知直线,,
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
（2）从一般式考虑：
且或，记忆式（）
与重合，，，
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为
三、题型突破
(一) 、直线的点斜式方程与斜截式方程
例1．（1）、（2022·全国·高二课时练习）经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·全国高二课时练习）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_________，倾斜角是_________．
（3）、（2021·全国·高二专题练习）若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】．（2021·玉林市第十一中学高一月考）经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】．（2022·浙江·海宁一中高二期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】、（2022·全国·高二课时练习）经过点，且斜率等于直线的斜率的2倍的直线的一般式方程为________．
(二)、 直线的两点式方程与截距式方程
例2．（1）（2022·江苏·高二）已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
（2）．（2022·全国·高二课时练习）过点与点（）的直线的方程为______．
【变式训练2-1】．（2019·全国高一专题练习）过点，的直线方程是
A． B． C． D．
【变式训练2-2】．（2021·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）（多选题）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1 B． C．3 D．
(三)、 直线的一般式方程
例3．（1）、（2020·全国高二课时练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示
B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点
C．当时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
（2）．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
【变式训练3-1】．（2021·全国·高二专题练习）光线沿直线入射到直线 后反射，则反射光线所在直线的方程为___________________.
【变式训练3-2】．（2021·山东·新泰市新汶中学高二阶段练习）（多选题）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在，轴截距相等的直线方程为
B．直线的纵截距是．
C．直线的倾斜角为60°
D．过点并且倾斜角为90°的直线方程为
(四)、动直线的定点问题
例4．（2022·四川达州·高一期末（理））直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】．（2021·全国·高二课时练习）（多选题）设直线l的方程为．下列说法正确的是（ ）
A．当时，l不经过第二象限
B．直线恒过定点
C．不论a为何值，直线恒过第四象限
D．直线的倾斜角不可能是90°
(五)、 由直线方程与坐标轴围成三角形的面积
例5．（2022·全国·高二课时练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________.
【变式训练5-1】．（2021·全国·高二专题练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点.若光线经过的重心，则长为___________
(六)、直线的平行与垂直
例6．（1）、（2020·江苏·苏州中学高二开学考试）已知直线：和直线：，若，且坐标原点到这两条直线距离相等，则的值为_______.
（2）．（2022·江苏·高二课时练习）（多选题）已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练6-1】．（2020·江西·南昌民德学校高二期中）过直线和的交点，且与直线平行的直线方程是
A． B． C． D．
【变式训练6-2】．（2022·全国·高二课时练习）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为______．
例7．（2022·全国·高二）已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程．
【变式训练7-1】．（2016·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））完成下面问题：
(1)求直线分别在轴，轴上的截距；
(2)求平行于直线，且与它的距离为的直线的方程；
(3)已知两点，，求线段的垂直平分线的方程.
(七)、直线的综合问题
例8．（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.
(1)求对角线所在直线方程；
(2)已知直线过点，与直线的夹角为，求直线的方程.
（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）
例9．（2022·陕西渭南·高一期末）在中，顶点，，BC边所在直线的方程为.
(1)求过点A且平行于BC的直线方程；
(2)求线段AB的垂直平分线方程.
四、定时训练（30分钟）
1．（2019·江苏扬州中学高一月考）下列说法的错误的是（ ）
A．经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为
B．经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为
C．不经过原点的直线的方程都可以表示为
D．经过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为
2．（2020·怀仁市大地学校高中部高二月考（理））无论 取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为
A． B． C． D．
3．（2022·全国高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020·四川省叙永县第一中学校高二期中（文））是直线和直线垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．
6．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l:＋＝1.
(1)如果直线l的斜率为2，求实数m的值；
(2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程．
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突破2.2 直线方程
一、考情分析
考点梳理
知识点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
知识点诠释：
1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2.当直线的倾斜角为时，直线方程为；
3.当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：.
4.表示直线去掉一个点；表示一条直线.
知识点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
知识点诠释：
1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2.斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
知识点三：直线的两点式方程
经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.
知识点诠释：
1.这个方程由直线上两点确定；
2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.
3.直线方程的表示与选择的顺序无关.
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
知识点四：直线的截距式方程
若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.
知识点诠释：
1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.
2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距.
知识点五：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
知识点诠释：
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
知识点六：直线方程的不同形式间的关系
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴
斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴
两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴
截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点
一般式 、、为系数 任何位置的直线
知识点七：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
已知直线,,
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
（2）从一般式考虑：
且或，记忆式（）
与重合，，，
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为
三、题型突破
(一) 、直线的点斜式方程与斜截式方程
例1．（1）、（2022·全国·高二课时练习）经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线的点斜式方程进行求解.
【详解】因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率，所以直线方程为．故A，C，D错误.
故选：B.
（2）．（2021·全国高二课时练习）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_________，倾斜角是_________．
【答案】
【分析】
利用直线的斜率以及倾斜角之间的关系即可求解.
【详解】
由直线的点斜式方程，可得，
设直线的倾斜角为，且，
则，
即，
故答案为：；
（3）、（2021·全国·高二专题练习）若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将截距范围转化为直线与线段有交点，利用斜率计算公式及其意义即可得出．
【详解】取直线与轴的交点，．
，．
直线与线段相交，
或．
故选：．
【点睛】本题考查了直线在坐标轴上截距的定义、斜率计算公式及其意义，考查了转化思想与计算能力，属于基础题．
【变式训练1-1】．（2021·玉林市第十一中学高一月考）经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可
【详解】
由直线的倾斜角为，得到直线的斜率
又直线过点
则直线的方程为
故选
【点睛】
本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，运用点斜式根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是基础题．
【变式训练1-2】．（2022·浙江·海宁一中高二期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线的一般式方程，求得斜率，即可求得直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率
设其倾斜角为，故可得，又，故.
故选：C.
【变式训练1-3】、（2022·全国·高二课时练习）经过点，且斜率等于直线的斜率的2倍的直线的一般式方程为________．
【答案】
【分析】由已知求得所求直线的斜率，运用直线的点斜式方程，从而求出直线的一般式方程．
【详解】因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率．
又所求直线经过点，所以所求直线的方程为，即．
故答案为：.
(二)、 直线的两点式方程与截距式方程
例2．（1）（2022·江苏·高二）已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据直线与两坐标轴截得等腰三角形可得直线得斜率为1或-1，利用直线方程得点斜式即可求解.
【详解】解：由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或-1，
故直线方程为或，
即或.
故选：C.
（2）．（2022·全国·高二课时练习）过点与点（）的直线的方程为______．
【答案】
【分析】方法一：采用的形式求直线方程．
方法二：分和两种情况讨论，当时求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，再检验时的情况，即可得解.
【详解】解：方法一 因为直线过点，，所以直线方程为，整理得．
方法二 当时，过点与点的直线的斜率不存在，此时直线方程为．
当时，过点与点的直线的斜率，
此时直线方程为，即．
当时，符合上式．综上所述，所求直线的方程为．
故答案为：
【变式训练2-1】．（2019·全国高一专题练习）过点，的直线方程是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由直线方程的两点式列方程．
【详解】
由直线方程的两点式得：，整理得：，故选B．
【点睛】
本题考查了直线方程的两点式：（且），利用两点式列方程，整理．
【变式训练2-2】．（2021·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）（多选题）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】BC
【分析】显然，再分与两种情况讨论，若，求得直线在轴上的截距，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：依题意可知，
所以当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；
当，即时，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，故，解得；
综上所述，实数或.
故选：BC
(三)、 直线的一般式方程
例3．（1）、（2020·全国高二课时练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示
B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点
C．当时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
【答案】ABC
【分析】
对于选项A，分和两种情况，将直线方程化为关于的二元一次方程（不同时为0），可知正确；
对于选项B，将原点代入方程，可知正确；
对于选项C，将方程化为，可知正确；
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，可知错误.
【详解】
对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，
当时，直线的斜率存在，其方程可写成，
它可变形为，与比较，
可得，显然不同时为0，
当时，直线方程为，与比较，
可得，显然不同时为0，所以此说法是正确的.
对于选项B，当时，方程（不同时为0），
即，显然有，即直线过原点.故此说法正确.
对于选项C，当时，方程可化为，
它表示的直线与轴平行，故此说法正确.
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，故此说法错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了直线方程一般式的概念，考查了直线方程的一般式与其它四种形式的互化，属于基础题.
（2）．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
【答案】
【分析】通过解方程组求出直线l与两直线交点的坐标，再利用中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设直线l的斜率为，因为直线l过，
所以直线方程为，
由，
由，由题意可知：是截得的线段的中点，
所以，即，
故答案为：
【变式训练3-1】．（2021·全国·高二专题练习）光线沿直线入射到直线 后反射，则反射光线所在直线的方程为___________________.
【答案】
【解析】求得直线与直线的交点的坐标，然后求出直线上的点关于直线的对称点的坐标，进而可求得直线的方程，即为反射光线所在直线的方程.
【详解】联立，解得，则直线与直线的交点为.
设直线上的点关于直线的对称点为，
线段的中点在直线上，则，整理得.
直线的斜率为，直线与直线垂直，则，整理得.
所以，，解得，即点.
所以，反射光线所在直线的斜率为，
因此，反射光线所在直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】运用点关于直线的对称点的坐标的求解是解题关键.
【变式训练3-2】．（2021·山东·新泰市新汶中学高二阶段练习）（多选题）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在，轴截距相等的直线方程为
B．直线的纵截距是．
C．直线的倾斜角为60°
D．过点并且倾斜角为90°的直线方程为
【答案】BD
【分析】根据直线的截距的定义，倾斜角和斜率的关系，结合直线的方程，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】A：因为直线也过点且在，轴截距相等，故错误；
：对直线方程，令，可得，则其纵截距为，故B正确；
C：直线的斜率，设其倾斜角为，
则，又，故该直线的倾斜角为，故C错误；
D：过点并且倾斜角为90°的直线为，故正确.
故选：.
(四)、动直线的定点问题
例4．（2022·四川达州·高一期末（理））直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将直线变形为，则且，即可求出定点
【详解】将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点
故选：A
【变式训练4-1】．（2021·全国·高二课时练习）（多选题）设直线l的方程为．下列说法正确的是（ ）
A．当时，l不经过第二象限
B．直线恒过定点
C．不论a为何值，直线恒过第四象限
D．直线的倾斜角不可能是90°
【答案】ACD
【分析】将直线l变形为斜截式，由l不经过第二象限，列出关于a的不等关系，求解即可判断选项A，将点代入方程即可判断选项B，由直线恒过定点，即可判断选项C，由斜率与倾斜角的关系，即可判断选项D.
【详解】对于A，将l的方程化为，欲使l不经过第二象限，
当且仅当或成立，所以，故A正确；
对于B，点代入直线方程不成立，B不正确；
对于C，因为直线恒过第四象限内的点，所以不论a为何值，直线恒过第四象限，C正确；
对于D，直线的斜率始终存在，为，所以倾斜角不可能等于90°，D正确．
故选：ACD
(五)、 由直线方程与坐标轴围成三角形的面积
例5．（2022·全国·高二课时练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________.
【答案】或
【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解.
【详解】解：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.
设直线方程为，则.
因为，即，所以，
所以时，，当时，，
所以直线方程为或.
故答案为: 或.
【变式训练5-1】．（2021·全国·高二专题练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点.若光线经过的重心，则长为___________
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设点P的坐标，可得P1, P2的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，得直线的方程，由于直线过的重心，解得P的坐标，进而可得AP的值．
【详解】建立如图所示的直角坐标系：
可得，故直线BC的方程为，
的重心为，即
设，其中，
则点P关于直线BC的对称点，满足，
解得，即，P关于y轴的对称点，
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为，
由于直线QR过的重心，代入化简可得，
解得，或（舍去），故，故
故答案为：
(六)、直线的平行与垂直
例6．（1）、（2020·江苏·苏州中学高二开学考试）已知直线：和直线：，若，且坐标原点到这两条直线距离相等，则的值为_______.
【答案】
【分析】解方程组，再检验即得解.
【详解】由题意知，，
或．
当时，两直线重合，与已知不符，所以舍去.
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查两直线平行求参数，考查点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（2）．（2022·江苏·高二课时练习）（多选题）已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AD
【分析】由题意利用两条直线平行垂直的性质，求得的值．
【详解】已知直线，，
若，则 ，且，求得或，故A正确，B不正确．
若，则 ，求得，故C不正确，D正确，
故选：AD．
【变式训练6-1】．（2020·江西·南昌民德学校高二期中）过直线和的交点，且与直线平行的直线方程是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解方程组，求出交点坐标.设所求直线的方程为，把交点坐标代入，求出，即得所求直线的方程.
【详解】解方程组得，即交点坐标为.
所求直线与直线平行，
设所求直线的方程为，把点代入得，
所以所求直线的方程为.
故选：.
【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.
【变式训练6-2】．（2022·全国·高二课时练习）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为______．
【答案】
【分析】由已知得直线恒过的定点，由两直线垂直其方程间的关系设过点A的直线方程为，代入可求得答案.
【详解】解：因为，所以，
所以直线恒过定点，即，
因为过点A且与直线垂直，
所以设过点A的直线方程为，
所以，即，
所以所求直线方程为，
故答案为：.
例7．（2022·全国·高二）已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；
(2)当直线过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可.
(1)
解：因为直线与直线垂直
所以，设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线的方程为．
(2)
解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，
所以直线的方程是．
综上，所求直线的方程为或．
【变式训练7-1】．（2016·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））完成下面问题：
(1)求直线分别在轴，轴上的截距；
(2)求平行于直线，且与它的距离为的直线的方程；
(3)已知两点，，求线段的垂直平分线的方程.
【答案】(1)x轴、y轴上的截距分别为10与4
(2)或
(3)
【分析】（1）将直线方程化为截距式，从而得出轴，轴上的截距；
（2）设所求方程为，再由距离公式得出直线方程；
（3）由垂直关系得出斜率，再由中点坐标结合点斜式写出方程.
(1)
将化为截距式，由此可知此直线在x轴、y轴上的截距分别为10与4.
(2)
因为所求直线平行于直线，所以可设所求直线方程为，
这两条直线间的距离，解得c=0或c=4，直线方程为或；
(3)
直线MN的斜率，MN的垂直平分线的斜率
MN的中点坐标为，
所以线段MN的垂直平分线的方程为，整理得.
(七)、直线的综合问题
例8．（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.
(1)求对角线所在直线方程；
(2)已知直线过点，与直线的夹角为，求直线的方程.
（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由的中点在直线上，结合垂直关系得出对角线所在直线方程；
（2）由点在直线上，得出直线的倾斜角为或，再由点斜式写出方程.
(1)
由题意可知，的中点在直线上，
对角线所在直线方程为，即
(2)
点在直线上，设直线的倾斜角为，直线与直线的夹角为
则直线的倾斜角为或
，
当直线的倾斜角为时，，即
故直线的方程为：
当直线的倾斜角为时，，则直线的方程为，即
例9．（2022·陕西渭南·高一期末）在中，顶点，，BC边所在直线的方程为.
(1)求过点A且平行于BC的直线方程；
(2)求线段AB的垂直平分线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点斜式求得过点A且平行于BC的直线方程.
（2）根据的中点坐标、线段AB的垂直平分线的斜率求得正确答案.
(1)
直线的斜率为，
所以过点A且平行于BC的直线方程为.
(2)
线段的中点为，
直线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线为.
四、定时训练（30分钟）
1．（2019·江苏扬州中学高一月考）下列说法的错误的是（ ）
A．经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为
B．经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为
C．不经过原点的直线的方程都可以表示为
D．经过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为
【答案】C
【分析】
由点斜式方程可判断A；由直线的斜截式可判断B；讨论直线的截距是否为0，可判断C；
由两点式的直线方程可判断D．
【详解】
经过定点P（x0，y0）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y-y0=k（x-x0），故A正确；
经过定点A（0，b）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y=kx+b，故B正确；
不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为，比如x=a或y=b，故C错误；
过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）直线的方程都可以表示为：
（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1），故D正确．
故选C．
【点睛】
本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，以及截距的定义，考查判断能力和推理能力，是基础题．
2．（2020·怀仁市大地学校高中部高二月考（理））无论 取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
通过整理直线的形式，可求得所过的定点.
【详解】
直线可整理为，
当 ，解得，
无论为何值，直线总过定点.
故选A.
【点睛】
本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.
3．（2022·全国高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】
方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
4．（2020·四川省叙永县第一中学校高二期中（文））是直线和直线垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线和直线垂直，
所以或.
当时，直线和直线垂直；
当直线和直线垂直时，不一定成立.
所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】
方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.
5．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．
【答案】；．
【分析】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.
【详解】解：过的两点式方程为，整理得．
即边所在直线的方程为，
边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，
由中点坐标公式可得点M的坐标为，即．
过，的直线的方程为，即．
整理得．
所以边上中线所在直线的方程为．
6．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l:＋＝1.
(1)如果直线l的斜率为2，求实数m的值；
(2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程．
【答案】(1)m＝4；
(2)x＋y－1＝0.
【分析】（1）解方程＝2即得解；
（2）解不等式组得到的取值范围，再求出S＝－(m－1)2＋，利用二次函数求解.
(1)
解：直线l的方程可化为y＝x＋m，所以＝2，解得m＝4.
(2)
解：直线l与两坐标轴的交点为(2－m，0)， (0，m)．
据题意知解得0所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为S＝m(2－m)＝－(m－1)2＋.
因为0＜m＜2，所以当m＝1时，S取到最大值，
故所求直线l的方程为＋＝1，即x＋y－1＝0.
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