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突破2.3 直线的交点坐标与距离公式
A组 基础巩固
1．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高二专题练习）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·高二）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2016·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为( )
A． B．
C． D．
6．（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）两平行线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．6
8．（2022·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足，那么的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
9．（2022·全国·高二课时练习）两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．3
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
12．（2022·全国·高二专题练习）已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
13．（2022·江苏·高二专题练习）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
14．（2022·河南安阳·高三开学考试（文））平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线，的距离之和为2的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022·全国·高二）已知直线恒过点，点的坐标为，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高二）过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为（ ）
A． B．10 C． D．20
19．（2021·广东·广州市培英中学高二阶段练习）光线从点射出，与x轴交于点，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·江苏·高二专题练习）求点关于对称的点的坐标__．
21．（2022·江苏·高二阶段练习）直线关于点的对称直线的方程为________．
22．（2022·全国·高二专题练习）入射光线沿直线射向直线，被反射后的光线所在直线的方程是_____．
23．（2022·全国·高三专题练习）在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．
24．（2023·全国·高三专题练习）直线 与直线 之间的距离为_________.
25．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知两直线：，：，若，则实数_________．
B组 能力提升
26．（2022·福建三明·高二期末）（多选题）已知两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．若，则或
C．当时，与相交于点 D．直线过定点
27．（2021·山东威海·高二期中）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．点关于直线的对称点为
C．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
28．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知直线：和直线：，则（ ）
A．若，则或 B．若在轴和轴上的截距相等，则
C．若，则或2 D．若，则与间的距离为
29．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）（多选题）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（ ）
A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1）
30．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知平面内一点，若直线上存在点，使，则称该直线为点的“2域直线”，下列直线中是点的“2域直线”的是（ ）
A． B． C． D．
31．（2021·福建宁德·高二期中）（多选题）已知点到直线的距离等于1，则（ ）
A． B． C． D．3
32．（2021·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期中）（多选题）设过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，则可能的取值有（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
33．（2021·重庆·高二阶段练习）（多选题）已知直线l经过点，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·江苏·高二专题练习）（多选题）瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则下列正确的是（ ）
A．重心的坐标为或
B．垂心的坐标为或
C．顶点C的坐标为或
D．欧拉线将分成的两部分的面积之比为
35．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知直线，，，以下结论正确的是（ ）.
A．不论a为何值时，与都互相垂直；
B．当，与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
36．（2022·全国·高二专题练习）已知直线，点．
(1)求点关于直线的对称点；
(2)求直线，关于点的对称直线的方程．
37．（2020·北京十五中高二期中）已知直线.
(1)当a=1时，求两直线的距离；
(2)若.求a的值；
(3)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.
38．（2023·全国·高三专题练习）已知直角坐标平面内的两点，.
(1)求线段的中垂线所在直线的方程；
(2)一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程.
39．（2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知直线和相交于点P，且P点在直线上．
(1)求点P的坐标和实数a的值；
(2)求过点且与点P的距离为的直线方程．
40．（2021·湖北黄冈·高二期中）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
(1)求点坐标：
(2)求直线的方程.
41．（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线BC的方程．
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突破2.3 直线的交点坐标与距离公式
A组 基础巩固
1．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，由已知条件列出不等式组，求解即可．
【详解】将两直线方程组成方程组，解得，因为直线与直线的交点在第一象限，所以解得
故选：B
2．（2022·江苏·高二专题练习）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
3．（2022·江苏·高二）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，
直线，整理为，
原点O到直线距离为，
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意设对称点坐标为，从而可得，解方程组即可.
【详解】设点关于直线对称的点为，
则，解得，故对称的点为.
故选：D
5．（2016·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．
【详解】由解得，故两直线交点为(－1，2)，
故直线方程是：，即．
故选：A．
6．（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
7．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）两平行线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】根据平行线间距离公式求解.
【详解】方程可化为，
所以两平行线之间的距离为.
故选：C
8．（2022·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足，那么的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】可以看作是与原点的距离的平方，接着利用点到直线的距离公式即可求出答案
【详解】解：可以看作直线上的动点与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，
则的最小值为，
故选：A
9．（2022·全国·高二课时练习）两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用两平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】将直线化为，
则这两条平行直线间的距离为．
故选：D.
10．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【分析】直接由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】原点到直线的距离为.
故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】先由平行求出，再由平行线间距离公式求解即可.
【详解】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.
故选：D.
12．（2022·全国·高二专题练习）已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】因为两点到直线的距离相等，
所以有，或，
故选：D
13．（2022·江苏·高二专题练习）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【详解】直线化为，
则两直线之间的距离，即，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：B.
14．（2022·河南安阳·高三开学考试（文））平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线，的距离之和为2的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得出曲线围成的图形为平行四边形，再结合点到直线的距离及平面几何知识求得面积即可.
【详解】
由题意知，曲线围成的图形为平行四边形，且，y＝0为两条对角线所在直线，
则曲线和，的交点即为平行四边形的四个顶点；
设曲线和的交点为，曲线和的交点为，
则到直线的距离为0，到直线的距离为2，
作轴于，则；同理可得到直线的距离为2，
作于，则，又，
则，则，
则曲线围成的图形面积为.
故选：A.
15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得坐标原点到直线距离，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】点到直线的距离为
，
由题意得坐标原点到直线距离，，
所以，解得
所以k的取值范围为.
故选：C.
16．（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出.
【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（），
点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去），
所以直线的方程是.
故选：A.
17．（2022·全国·高二）已知直线恒过点，点的坐标为，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出定点M，作出图像，求出M关于直线对称后的点，||为的最小值，求出直线的方程，与直线方程联立，即可解出P的坐标﹒
【详解】直线：，即，
令，求得，，可得该直线恒过点
直线：上有一动点，点的坐标为，
故 都在直线：的上方.
点关于直线：的对称点为，则||为的最小值：
直线方程为，即.
把直线方程和直线：联立方程组，求得，
可得当取得最小值时，点的坐标为.
故选：B
18．（2022·全国·高二）过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为（ ）
A． B．10 C． D．20
【答案】B
【分析】求出定点，的坐标，再分和两种情况讨论，可判断两直线垂直，由即可求解.
【详解】直线过定点，
直线可化为，
由可得，所以定点，
当时，直线方程为，，此时两直线垂直，
当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，
所以，所以，
故选：B.
19．（2021·广东·广州市培英中学高二阶段练习）光线从点射出，与x轴交于点，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用入射光线与反射光线的对称性，设在反射光线则在入射光线上，结合入射光线方程求反射光线所在的直线方程.
【详解】由题设，反射光线所在的直线与直线关于对称，
∴若在反射光线上，则在入射光线上，
又入射光线的直线方程为，
∴将代入整理得：.
故选：C
20．（2022·江苏·高二专题练习）求点关于对称的点的坐标__．
【答案】
【分析】由中点坐标公式求解即可
【详解】解：设点的坐标为，
关于对称的点为，
为的中点，故，
解方程组可得，即，
故答案为：．
21．（2022·江苏·高二阶段练习）直线关于点的对称直线的方程为________．
【答案】
【分析】方法一：设对称直线上一点，则将点关于点的对称点在直线上，代入即可.
方法二：显然点不在直线上，设对称直线方程为，利用点到这两条直线的距离相等解出即可.
方法三：在上任取两点，解出这两点关于的对称点，利用两点式即可得到直线方程.
【详解】方法一 ：设对称直线上一点，则点关于的对称点为，所以点在直线上，代入得．
方法二 ：易知直线关于点的对称直线与直线平行，故设为．由点到这两条直线的距离相等，得，解得（舍去）或－11，即所求直线方程为．
方法三 ：易知点，在直线上，且它们关于点的对称点分别为，，则所求直线的方程为，即．
故答案为：.
22．（2022·全国·高二专题练习）入射光线沿直线射向直线，被反射后的光线所在直线的方程是_____．
【答案】
【分析】在入射光线上取点，它关于直线的对称在反射光线上，再求得入射光线与直线的交点坐标，由两点求斜率后得直线方程．
【详解】在入射光线上取点，则关于的对称点在反射光线上，
又由得，
，
所以反射光线所在直线方程为，即．
故答案为：．
23．（2022·全国·高三专题练习）在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．
【答案】4
【分析】由点到直线的距离代入即可求出答案.
【详解】在一象限，所以，
点到直线的距离为3，则
，解得：或.
因为，所以.
故答案为：4.
24．（2023·全国·高三专题练习）直线 与直线 之间的距离为_________.
【答案】##
【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案.
【详解】因为直线 与直线平行,
而直线可化为，
故直线 与直线 之间的距离为 ，
故答案为：
25．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知两直线：，：，若，则实数_________．
【答案】＃＃＃＃
【分析】根据，但注意对结果进行检验，防止出现重合．
【详解】若，则，解得或
若，则：，：，重合，不合题意，舍去；
若，则：，：，不重合，成立
故答案为：．
B组 能力提升
26．（2022·福建三明·高二期末）（多选题）已知两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．若，则或
C．当时，与相交于点 D．直线过定点
【答案】ACD
【分析】根据两直线垂直与平行的充要条件判断A、B，对于C将代入直线方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可判断C，对于D将直线方程变形为，从而求出直线过定点坐标；
【详解】解：因为，对于A：当时，，则、，所以，所以，故A正确；
对于B：若，则，解得或，当时，满足题意，当时，与重合，故舍去，所以，故B错误；
对于C：当时，，则，解得，即两直线的交点为，故C正确；
对于D：，即，令，即，即直线过定点，故D正确；
故选：ACD
27．（2021·山东威海·高二期中）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．点关于直线的对称点为
C．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
【答案】ABD
【分析】A选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90°时，斜率不存在；B选项求解点关于直线的对称点，满足两点的斜率与乘积为-1，中点在已知直线上，进而求出对称点；C选项要考虑截距均为0的情况，D选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出围成的三角形的面积.
【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设关于直线的对称点为，则满足，解得：，故点关于直线的对称点为，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为，故C错误；直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确
故选：ABD
28．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知直线：和直线：，则（ ）
A．若，则或 B．若在轴和轴上的截距相等，则
C．若，则或2 D．若，则与间的距离为
【答案】CD
【分析】由两直线平行，即可求出，则可判断出A选项，结合两直线的距离公式即可判断出D选项；由在轴和轴上截距相等等价于过原点或其斜率为，即可列出等式，解出或2，则可判断出B选项；由两直线垂直，即可求出或2，则可判断出C选项.
【详解】若，由，解得或，
经检验当时，，重合，当时，，
所以，故A错误；
若在轴和轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，则或，故B错误；
若，则，解得或2，故C正确；
当时，，则：，：，
即：，则与间的距离为，故D正确．
故选：CD．
29．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）（多选题）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（ ）
A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1）
【答案】AD
【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验
【详解】由题意知，，设点（2，4）关于直线的对称点为（m，n），
则，解得，所以反射光线所在的直线方程为，
所以当x＝13时，y＝1；当x＝14时，，
故选：AD
30．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知平面内一点，若直线上存在点，使，则称该直线为点的“2域直线”，下列直线中是点的“2域直线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用点到直线的距离小于等于2逐项判断可得答案.
【详解】由题意，知点的“2域直线”应满足点到该直线的距离，
对于A，到直线的距离为，所以在直线上，故正确；
对于B，到直线的距离为，故正确；
对于C，到直线的距离为，故错误；
对于D，到直线的距离为，故正确.
故选：ABD.
31．（2021·福建宁德·高二期中）（多选题）已知点到直线的距离等于1，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】AB
【分析】根据点到直线的距离公式即可得到答案.
【详解】依题意有.
故选：AB.
32．（2021·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期中）（多选题）设过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，则可能的取值有（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
【答案】BC
【分析】先求出与，且根据两直线垂直，可得到点的轨迹为以线段为直径的圆，利用基本不等式得到，从而得到答案.
【详解】整理为，故定点，整理为，定点，且两直线的斜率乘积为-1，即两直线垂直，故交点的轨迹为以线段为直径的圆，当点P与A或重合时，，当点P与A或不重合时，由两边之和大于第三边得：且由勾股定理得：
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，故，ABCD四个选项中，BC符合要求
故选：BC
33．（2021·重庆·高二阶段练习）（多选题）已知直线l经过点，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】由题可知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程
【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，显然不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由已知得，所以或，
当时，直线l的方程为；当时，直线l的方程为．
所以直线l的方程可能为或
故选：AB
34．（2022·江苏·高二专题练习）（多选题）瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则下列正确的是（ ）
A．重心的坐标为或
B．垂心的坐标为或
C．顶点C的坐标为或
D．欧拉线将分成的两部分的面积之比为
【答案】BCD
【分析】由题意先求出AB的中垂线方程，再与欧拉线方程联立可求出的外心，设，则可得三角形的重心为，代入欧拉线方程，再结合三角形的外心可求出顶点的坐标是或，从而可得三角形的重心坐标，结合图形可求出垂心的坐标和欧拉线将分成的两部分的面积之比
【详解】AB的中点为，AB的中垂线方程为，即，
联立，解得.
∴的外心为，
设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，代入欧拉线方程得：，整理得：①
又外心为，
所以，
整理得：②联立①②得：，或，，
所以顶点的坐标是或.
重心的坐标为或；
由于或，所以垂心的坐标为或.
因为直线与欧拉线平行，所以两部分的面积之比是或.
故选：BCD
35．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知直线，，，以下结论正确的是（ ）.
A．不论a为何值时，与都互相垂直；
B．当，与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
【答案】AD
【分析】对A，根据直线方程可判断；对B，可直接求出交点A可判断；对C，取特殊的点代入即可判断；对D，联立直线求出交点即可表示出即可求出最值.
【详解】对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，与x轴的交点，点A到原点的距离为，故B错误；
对于C，在l1上任取点，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于0，故C不正确；
对于D，联立，解得，即，
所以，所以的最大值是，故D正确.
故选：AD.
36．（2022·全国·高二专题练习）已知直线，点．
(1)求点关于直线的对称点；
(2)求直线，关于点的对称直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点关于直线的对称点为，根据中垂线，结合中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得关于和的方程，解之即可；
（2）设直线的方程为，在直线l上取一点，求得它关于点的对称点，并将其代入所设方程，解出b的值即可．
（1）
设点关于直线l的对称点为，则这两点的中点为，
所以，解得m，n，
所以点关于直线l的对称点为；
（2）
由题意知，直线的斜率为，设其方程为，
在直线上取一点，它关于点的对称点为，
而该点在直线上，
所以，解得，
所以直线的方程为．
37．（2020·北京十五中高二期中）已知直线.
(1)当a=1时，求两直线的距离；
(2)若.求a的值；
(3)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）利用两平行线间的距离公式求解即可；
（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；
（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解
(1)
当a=1时，，
所以两直线的距离为；
(2)
若，
则，
解得；
(3)
原点到直线的距离为
，
当时，
38．（2023·全国·高三专题练习）已知直角坐标平面内的两点，.
(1)求线段的中垂线所在直线的方程；
(2)一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的中点坐标及中垂线的斜率，进而求出方程；
（2）求出关于轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程．
（1）
∵，
∴中点为.且.
∴线段的中垂线的斜率为1，
∴由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为即.
（2）
∵关于轴的对称点，
∴
所以直线的方程为：，
即反射光线所在的直线方程为
39．（2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知直线和相交于点P，且P点在直线上．
(1)求点P的坐标和实数a的值；
(2)求过点且与点P的距离为的直线方程．
【答案】(1)P(2,1)，a=2.
(2)
【分析】（1）联立,解得点P(2,1).将P的坐标(2,1)代入直线中,解得a；
（2）设所求直线为l,当直线的斜率不存在时,则l的方程为x=-2，不合题意.当直线l的斜率存在时,设直线的斜率为k,则的方程为,利用点到直线的距离公式即可得出.
(1)
因为直线和相交于点P，且P点在直线上，所以联立，解得：P(2,1).
将P的坐标(2,1)代入直线中,可得2a+1-3a+1=0,解得a=2.
(2)
设所求直线为l.
当直线l的斜率不存在时,则l的方程为x=-2.此时点P与直线的距离为4,不合题意，舍去；
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k，则l的方程为,即.
因此点P到直线的距离,解方程可得k=2，
所以直线的方程为.
40．（2021·湖北黄冈·高二期中）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
(1)求点坐标：
(2)求直线的方程.
【答案】(1)C(－4，－2)
(2)5x－7y＋6＝0
【分析】（1）先求出AC所在的直线的方程，再求两直线的交点即可；
（2）设出B点坐标，表示出M点坐标，利用和CM所在的直线方程解出B点坐标，进而求得直线的方程.
(1)
边AC上的高BE所在的直线方程为，
故边AC所在的直线的斜率为1，
所以边AC所在的直线的方程为，即，
因为CM所在的直线方程为4x－5y＋6＝0，
由解得，所以C(－4，－2)
(2)
设B(x0，y0)，M为AB中点，则M的坐标为，
由，解得，
所以B（3，3），又因为C(－4，－2)，
所以直线BC的方程为，化简得5x－7y＋6＝0.
41．（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线BC的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解；
（2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解；
(1)
解：设，
∵AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为．
∴，解得．
∴．
(2)
设，则，
解得．
∴．
∴．
∴直线BC的方程为，即为．
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