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突破2.3 直线的交点坐标与距离公式
A组 基础巩固
1.(2022·江苏·连云港高中高二开学考试)若直线与直线的交点在第一象限,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(2022·江苏·高二专题练习)点关于直线的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.(2022·江苏·高二)美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的,五眼:指脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2cm,五眼中一眼的宽度为1cm,若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点,则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A. B.
C. D.
4.(2023·全国·高三专题练习)已知点关于直线的对称点为点,则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
5.(2016·天津市红桥区教师发展中心高二期中(文))过两条直线与的交点,倾斜角为的直线方程为( )
A. B.
C. D.
6.(2022·江苏·高二专题练习)直线关于点对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
7.(2022·江苏·连云港高中高二开学考试)两平行线与之间的距离是( )
A. B. C. D.6
8.(2022·全国·高二课时练习)已知实数x,y满足,那么的最小值为( )
A.5 B.10 C. D.
9.(2022·全国·高二课时练习)两平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
10.(2022·全国·高二专题练习)在平面直角坐标系中,原点到直线的距离等于( )
A.1 B. C. D.3
11.(2022·全国·高三专题练习)已知直线和互相平行,则它们之间的距离是( )
A.4 B. C. D.
12.(2022·全国·高二专题练习)已知两点到直线的距离相等,则( )
A.2 B. C.2或 D.2或
13.(2022·江苏·高二专题练习)若直线与直线之间的距离不大于,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.或
14.(2022·河南安阳·高三开学考试(文))平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形,其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线,的距离之和为2的点P的轨迹为曲线,则曲线围成的图形面积为( )
A. B. C. D.
15.(2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习(理))已知O为坐标原点,直线上存在一点P,使得,则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
16.(2022·江苏·高二专题练习)直线关于点P(2,3)对称的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
17.(2022·全国·高二)已知直线恒过点,点的坐标为,直线上有一动点,当取得最小值时,点的坐标为( )
A. B. C. D.
18.(2022·全国·高二)过定点A的直线与过定点B的直线交于点,则的值为( )
A. B.10 C. D.20
19.(2021·广东·广州市培英中学高二阶段练习)光线从点射出,与x轴交于点,经x轴反射,则反射光线所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
20.(2022·江苏·高二专题练习)求点关于对称的点的坐标__.
21.(2022·江苏·高二阶段练习)直线关于点的对称直线的方程为________.
22.(2022·全国·高二专题练习)入射光线沿直线射向直线,被反射后的光线所在直线的方程是_____.
23.(2022·全国·高三专题练习)在第一象限的点到直线的距离为3,则a的值为__________.
24.(2023·全国·高三专题练习)直线 与直线 之间的距离为_________.
25.(2022·陕西·无高一阶段练习)已知两直线:,:,若,则实数_________.
B组 能力提升
26.(2022·福建三明·高二期末)(多选题)已知两条直线,则下列结论正确的是( )
A.当时, B.若,则或
C.当时,与相交于点 D.直线过定点
27.(2021·山东威海·高二期中)(多选题)下列说法正确的是( )
A.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率
B.点关于直线的对称点为
C.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
28.(2022·全国·高三专题练习)(多选题)已知直线:和直线:,则( )
A.若,则或 B.若在轴和轴上的截距相等,则
C.若,则或2 D.若,则与间的距离为
29.(2022·江苏·连云港高中高二开学考试)(多选题)一光线过点(2,4),经倾斜角为135°的直线l:反射后经过点(5,0),则反射光线还经过下列哪些点( )
A. B.(14,1) C.(13,2) D.(13,1)
30.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)已知平面内一点,若直线上存在点,使,则称该直线为点的“2域直线”,下列直线中是点的“2域直线”的是( )
A. B. C. D.
31.(2021·福建宁德·高二期中)(多选题)已知点到直线的距离等于1,则( )
A. B. C. D.3
32.(2021·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期中)(多选题)设过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P,则可能的取值有( )
A.2 B.5 C.6 D.7
33.(2021·重庆·高二阶段练习)(多选题)已知直线l经过点,且点,到直线l的距离相等,则直线l的方程可能为( )
A. B. C. D.
34.(2022·江苏·高二专题练习)(多选题)瑞士数学家欧拉(LeonharEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点,,其欧拉线方程为,则下列正确的是( )
A.重心的坐标为或
B.垂心的坐标为或
C.顶点C的坐标为或
D.欧拉线将分成的两部分的面积之比为
35.(2023·全国·高三专题练习)(多选题)已知直线,,,以下结论正确的是( ).
A.不论a为何值时,与都互相垂直;
B.当,与x轴的交点A到原点的距离为
C.不论a为何值时,与都关于直线对称
D.如果与交于点M,则的最大值是
36.(2022·全国·高二专题练习)已知直线,点.
(1)求点关于直线的对称点;
(2)求直线,关于点的对称直线的方程.
37.(2020·北京十五中高二期中)已知直线.
(1)当a=1时,求两直线的距离;
(2)若.求a的值;
(3)写出原点到直线的距离,并求出该距离的最大值.
38.(2023·全国·高三专题练习)已知直角坐标平面内的两点,.
(1)求线段的中垂线所在直线的方程;
(2)一束光线从点射向轴,反射后的光线过点,求反射光线所在的直线方程.
39.(2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中)已知直线和相交于点P,且P点在直线上.
(1)求点P的坐标和实数a的值;
(2)求过点且与点P的距离为的直线方程.
40.(2021·湖北黄冈·高二期中)在中,,边上的高所在的直线方程为,边上中线所在的直线方程为.
(1)求点坐标:
(2)求直线的方程.
41.(2020·安徽·合肥市第五中学高二期中(理))已知 ABC的顶点,AB边上的中线CM所在直线方程为,AC的边上的高BH所在直线方程为.
(1)求顶点C的坐标;
(2)求直线BC的方程.
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突破2.3 直线的交点坐标与距离公式
A组 基础巩固
1.(2022·江苏·连云港高中高二开学考试)若直线与直线的交点在第一象限,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】联立两直线方程,求出交点坐标,由已知条件列出不等式组,求解即可.
【详解】将两直线方程组成方程组,解得,因为直线与直线的交点在第一象限,所以解得
故选:B
2.(2022·江苏·高二专题练习)点关于直线的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据点关于线对称的特点,利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为,
则,解得.
所以点的坐标为
故选:A.
3.(2022·江苏·高二)美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的,五眼:指脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2cm,五眼中一眼的宽度为1cm,若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点,则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系,求出直线AB的方程,利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】如图,以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界为x轴,垂直中庭下边界为y轴,建立平面直角坐标系,则,
直线,整理为,
原点O到直线距离为,
故选:B
4.(2023·全国·高三专题练习)已知点关于直线的对称点为点,则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据题意设对称点坐标为,从而可得,解方程组即可.
【详解】设点关于直线对称的点为,
则,解得,故对称的点为.
故选:D
5.(2016·天津市红桥区教师发展中心高二期中(文))过两条直线与的交点,倾斜角为的直线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标,再根据直线方程的点斜式即可求解.
【详解】由解得,故两直线交点为(-1,2),
故直线方程是:,即.
故选:A.
6.(2022·江苏·高二专题练习)直线关于点对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,以代换原直线方程中的得,即.
故选:D.
7.(2022·江苏·连云港高中高二开学考试)两平行线与之间的距离是( )
A. B. C. D.6
【答案】C
【分析】根据平行线间距离公式求解.
【详解】方程可化为,
所以两平行线之间的距离为.
故选:C
8.(2022·全国·高二课时练习)已知实数x,y满足,那么的最小值为( )
A.5 B.10 C. D.
【答案】A
【分析】可以看作是与原点的距离的平方,接着利用点到直线的距离公式即可求出答案
【详解】解:可以看作直线上的动点与原点的距离的平方,又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离,
则的最小值为,
故选:A
9.(2022·全国·高二课时练习)两平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】运用两平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】将直线化为,
则这两条平行直线间的距离为.
故选:D.
10.(2022·全国·高二专题练习)在平面直角坐标系中,原点到直线的距离等于( )
A.1 B. C. D.3
【答案】B
【分析】直接由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】原点到直线的距离为.
故选:B.
11.(2022·全国·高三专题练习)已知直线和互相平行,则它们之间的距离是( )
A.4 B. C. D.
【答案】D
【分析】先由平行求出,再由平行线间距离公式求解即可.
【详解】由直线平行可得,解得,则直线方程为,即,则距离是.
故选:D.
12.(2022·全国·高二专题练习)已知两点到直线的距离相等,则( )
A.2 B. C.2或 D.2或
【答案】D
【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】因为两点到直线的距离相等,
所以有,或,
故选:D
13.(2022·江苏·高二专题练习)若直线与直线之间的距离不大于,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.或
【答案】B
【分析】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【详解】直线化为,
则两直线之间的距离,即,
解得.
所以实数的取值范围为.
故选:B.
14.(2022·河南安阳·高三开学考试(文))平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形,其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线,的距离之和为2的点P的轨迹为曲线,则曲线围成的图形面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先得出曲线围成的图形为平行四边形,再结合点到直线的距离及平面几何知识求得面积即可.
【详解】
由题意知,曲线围成的图形为平行四边形,且,y=0为两条对角线所在直线,
则曲线和,的交点即为平行四边形的四个顶点;
设曲线和的交点为,曲线和的交点为,
则到直线的距离为0,到直线的距离为2,
作轴于,则;同理可得到直线的距离为2,
作于,则,又,
则,则,
则曲线围成的图形面积为.
故选:A.
15.(2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习(理))已知O为坐标原点,直线上存在一点P,使得,则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据题意得坐标原点到直线距离,利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】点到直线的距离为
,
由题意得坐标原点到直线距离,,
所以,解得
所以k的取值范围为.
故选:C.
16.(2022·江苏·高二专题练习)直线关于点P(2,3)对称的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】由题可得和平行,设出方程,根据点P到两直线距离相等即可求出.
【详解】因为和关于点对称,则两直线平行,可设方程为(),
点P到两直线的距离相等,则,解得或3(舍去),
所以直线的方程是.
故选:A.
17.(2022·全国·高二)已知直线恒过点,点的坐标为,直线上有一动点,当取得最小值时,点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】求出定点M,作出图像,求出M关于直线对称后的点,||为的最小值,求出直线的方程,与直线方程联立,即可解出P的坐标﹒
【详解】直线:,即,
令,求得,,可得该直线恒过点
直线:上有一动点,点的坐标为,
故 都在直线:的上方.
点关于直线:的对称点为,则||为的最小值:
直线方程为,即.
把直线方程和直线:联立方程组,求得,
可得当取得最小值时,点的坐标为.
故选:B
18.(2022·全国·高二)过定点A的直线与过定点B的直线交于点,则的值为( )
A. B.10 C. D.20
【答案】B
【分析】求出定点,的坐标,再分和两种情况讨论,可判断两直线垂直,由即可求解.
【详解】直线过定点,
直线可化为,
由可得,所以定点,
当时,直线方程为,,此时两直线垂直,
当时,由两直线的斜率之积为可知两直线垂直,
所以,所以,
故选:B.
19.(2021·广东·广州市培英中学高二阶段练习)光线从点射出,与x轴交于点,经x轴反射,则反射光线所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用入射光线与反射光线的对称性,设在反射光线则在入射光线上,结合入射光线方程求反射光线所在的直线方程.
【详解】由题设,反射光线所在的直线与直线关于对称,
∴若在反射光线上,则在入射光线上,
又入射光线的直线方程为,
∴将代入整理得:.
故选:C
20.(2022·江苏·高二专题练习)求点关于对称的点的坐标__.
【答案】
【分析】由中点坐标公式求解即可
【详解】解:设点的坐标为,
关于对称的点为,
为的中点,故,
解方程组可得,即,
故答案为:.
21.(2022·江苏·高二阶段练习)直线关于点的对称直线的方程为________.
【答案】
【分析】方法一:设对称直线上一点,则将点关于点的对称点在直线上,代入即可.
方法二:显然点不在直线上,设对称直线方程为,利用点到这两条直线的距离相等解出即可.
方法三:在上任取两点,解出这两点关于的对称点,利用两点式即可得到直线方程.
【详解】方法一 :设对称直线上一点,则点关于的对称点为,所以点在直线上,代入得.
方法二 :易知直线关于点的对称直线与直线平行,故设为.由点到这两条直线的距离相等,得,解得(舍去)或-11,即所求直线方程为.
方法三 :易知点,在直线上,且它们关于点的对称点分别为,,则所求直线的方程为,即.
故答案为:.
22.(2022·全国·高二专题练习)入射光线沿直线射向直线,被反射后的光线所在直线的方程是_____.
【答案】
【分析】在入射光线上取点,它关于直线的对称在反射光线上,再求得入射光线与直线的交点坐标,由两点求斜率后得直线方程.
【详解】在入射光线上取点,则关于的对称点在反射光线上,
又由得,
,
所以反射光线所在直线方程为,即.
故答案为:.
23.(2022·全国·高三专题练习)在第一象限的点到直线的距离为3,则a的值为__________.
【答案】4
【分析】由点到直线的距离代入即可求出答案.
【详解】在一象限,所以,
点到直线的距离为3,则
,解得:或.
因为,所以.
故答案为:4.
24.(2023·全国·高三专题练习)直线 与直线 之间的距离为_________.
【答案】##
【分析】确定两直线是平行直线,故可根据平行线间的距离公式求得答案.
【详解】因为直线 与直线平行,
而直线可化为,
故直线 与直线 之间的距离为 ,
故答案为:
25.(2022·陕西·无高一阶段练习)已知两直线:,:,若,则实数_________.
【答案】####
【分析】根据,但注意对结果进行检验,防止出现重合.
【详解】若,则,解得或
若,则:,:,重合,不合题意,舍去;
若,则:,:,不重合,成立
故答案为:.
B组 能力提升
26.(2022·福建三明·高二期末)(多选题)已知两条直线,则下列结论正确的是( )
A.当时, B.若,则或
C.当时,与相交于点 D.直线过定点
【答案】ACD
【分析】根据两直线垂直与平行的充要条件判断A、B,对于C将代入直线方程,联立两直线方程,求出交点坐标,即可判断C,对于D将直线方程变形为,从而求出直线过定点坐标;
【详解】解:因为,对于A:当时,,则、,所以,所以,故A正确;
对于B:若,则,解得或,当时,满足题意,当时,与重合,故舍去,所以,故B错误;
对于C:当时,,则,解得,即两直线的交点为,故C正确;
对于D:,即,令,即,即直线过定点,故D正确;
故选:ACD
27.(2021·山东威海·高二期中)(多选题)下列说法正确的是( )
A.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率
B.点关于直线的对称点为
C.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
【答案】ABD
【分析】A选项,利用斜率定义可知,当倾斜角为90°时,斜率不存在;B选项求解点关于直线的对称点,满足两点的斜率与乘积为-1,中点在已知直线上,进而求出对称点;C选项要考虑截距均为0的情况,D选项求出与坐标轴的交点坐标,进而求出围成的三角形的面积.
【详解】当倾斜角为90°时,斜率不存在,故A选项正确;设关于直线的对称点为,则满足,解得:,故点关于直线的对称点为,B正确;当在x轴和y轴上截距都等于0时,此时直线为,故C错误;直线与两坐标轴的交点坐标为与,故与两坐标轴围成的三角形的面积为,D正确
故选:ABD
28.(2022·全国·高三专题练习)(多选题)已知直线:和直线:,则( )
A.若,则或 B.若在轴和轴上的截距相等,则
C.若,则或2 D.若,则与间的距离为
【答案】CD
【分析】由两直线平行,即可求出,则可判断出A选项,结合两直线的距离公式即可判断出D选项;由在轴和轴上截距相等等价于过原点或其斜率为,即可列出等式,解出或2,则可判断出B选项;由两直线垂直,即可求出或2,则可判断出C选项.
【详解】若,由,解得或,
经检验当时,,重合,当时,,
所以,故A错误;
若在轴和轴上截距相等,则过原点或其斜率为,则或,则或,故B错误;
若,则,解得或2,故C正确;
当时,,则:,:,
即:,则与间的距离为,故D正确.
故选:CD.
29.(2022·江苏·连云港高中高二开学考试)(多选题)一光线过点(2,4),经倾斜角为135°的直线l:反射后经过点(5,0),则反射光线还经过下列哪些点( )
A. B.(14,1) C.(13,2) D.(13,1)
【答案】AD
【分析】先求点关于直线的对称点,得出反射后的直线,再对选项逐一检验
【详解】由题意知,,设点(2,4)关于直线的对称点为(m,n),
则,解得,所以反射光线所在的直线方程为,
所以当x=13时,y=1;当x=14时,,
故选:AD
30.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)已知平面内一点,若直线上存在点,使,则称该直线为点的“2域直线”,下列直线中是点的“2域直线”的是( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
【分析】利用点到直线的距离小于等于2逐项判断可得答案.
【详解】由题意,知点的“2域直线”应满足点到该直线的距离,
对于A,到直线的距离为,所以在直线上,故正确;
对于B,到直线的距离为,故正确;
对于C,到直线的距离为,故错误;
对于D,到直线的距离为,故正确.
故选:ABD.
31.(2021·福建宁德·高二期中)(多选题)已知点到直线的距离等于1,则( )
A. B. C. D.3
【答案】AB
【分析】根据点到直线的距离公式即可得到答案.
【详解】依题意有.
故选:AB.
32.(2021·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期中)(多选题)设过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P,则可能的取值有( )
A.2 B.5 C.6 D.7
【答案】BC
【分析】先求出与,且根据两直线垂直,可得到点的轨迹为以线段为直径的圆,利用基本不等式得到,从而得到答案.
【详解】整理为,故定点,整理为,定点,且两直线的斜率乘积为-1,即两直线垂直,故交点的轨迹为以线段为直径的圆,当点P与A或重合时,,当点P与A或不重合时,由两边之和大于第三边得:且由勾股定理得:
由基本不等式得:,当且仅当时等号成立,故,ABCD四个选项中,BC符合要求
故选:BC
33.(2021·重庆·高二阶段练习)(多选题)已知直线l经过点,且点,到直线l的距离相等,则直线l的方程可能为( )
A. B. C. D.
【答案】AB
【分析】由题可知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为,然后利用点到直线的距离公式列方程,可求出直线的斜率,从而可得直线方程
【详解】当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,此时点A到直线l的距离为5,点B到直线l的距离为1,显然不满足题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,即.
由已知得,所以或,
当时,直线l的方程为;当时,直线l的方程为.
所以直线l的方程可能为或
故选:AB
34.(2022·江苏·高二专题练习)(多选题)瑞士数学家欧拉(LeonharEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点,,其欧拉线方程为,则下列正确的是( )
A.重心的坐标为或
B.垂心的坐标为或
C.顶点C的坐标为或
D.欧拉线将分成的两部分的面积之比为
【答案】BCD
【分析】由题意先求出AB的中垂线方程,再与欧拉线方程联立可求出的外心,设,则可得三角形的重心为,代入欧拉线方程,再结合三角形的外心可求出顶点的坐标是或,从而可得三角形的重心坐标,结合图形可求出垂心的坐标和欧拉线将分成的两部分的面积之比
【详解】AB的中点为,AB的中垂线方程为,即,
联立,解得.
∴的外心为,
设,由重心坐标公式得,
三角形的重心为,代入欧拉线方程得:,整理得:①
又外心为,
所以,
整理得:②联立①②得:,或,,
所以顶点的坐标是或.
重心的坐标为或;
由于或,所以垂心的坐标为或.
因为直线与欧拉线平行,所以两部分的面积之比是或.
故选:BCD
35.(2023·全国·高三专题练习)(多选题)已知直线,,,以下结论正确的是( ).
A.不论a为何值时,与都互相垂直;
B.当,与x轴的交点A到原点的距离为
C.不论a为何值时,与都关于直线对称
D.如果与交于点M,则的最大值是
【答案】AD
【分析】对A,根据直线方程可判断;对B,可直接求出交点A可判断;对C,取特殊的点代入即可判断;对D,联立直线求出交点即可表示出即可求出最值.
【详解】对于A,恒成立,l1与l2互相垂直恒成立,故A正确;
对于B,与x轴的交点,点A到原点的距离为,故B错误;
对于C,在l1上任取点,关于直线x+y=0对称的点的坐标为,代入l2:x+ay+1=0,则左边不等于0,故C不正确;
对于D,联立,解得,即,
所以,所以的最大值是,故D正确.
故选:AD.
36.(2022·全国·高二专题练习)已知直线,点.
(1)求点关于直线的对称点;
(2)求直线,关于点的对称直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)设点关于直线的对称点为,根据中垂线,结合中点坐标公式和两直线垂直的条件,可得关于和的方程,解之即可;
(2)设直线的方程为,在直线l上取一点,求得它关于点的对称点,并将其代入所设方程,解出b的值即可.
(1)
设点关于直线l的对称点为,则这两点的中点为,
所以,解得m,n,
所以点关于直线l的对称点为;
(2)
由题意知,直线的斜率为,设其方程为,
在直线上取一点,它关于点的对称点为,
而该点在直线上,
所以,解得,
所以直线的方程为.
37.(2020·北京十五中高二期中)已知直线.
(1)当a=1时,求两直线的距离;
(2)若.求a的值;
(3)写出原点到直线的距离,并求出该距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3);
【分析】(1)利用两平行线间的距离公式求解即可;
(2)利用两直线垂直时斜率的关系求解即可;
(3)先利用点到直线的距离公式,再分析最小值即可求解
(1)
当a=1时,,
所以两直线的距离为;
(2)
若,
则,
解得;
(3)
原点到直线的距离为
,
当时,
38.(2023·全国·高三专题练习)已知直角坐标平面内的两点,.
(1)求线段的中垂线所在直线的方程;
(2)一束光线从点射向轴,反射后的光线过点,求反射光线所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)求出的中点坐标及中垂线的斜率,进而求出方程;
(2)求出关于轴对称点的坐标,即可求反射光线所在的直线方程.
(1)
∵,
∴中点为.且.
∴线段的中垂线的斜率为1,
∴由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为即.
(2)
∵关于轴的对称点,
∴
所以直线的方程为:,
即反射光线所在的直线方程为
39.(2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中)已知直线和相交于点P,且P点在直线上.
(1)求点P的坐标和实数a的值;
(2)求过点且与点P的距离为的直线方程.
【答案】(1)P(2,1),a=2.
(2)
【分析】(1)联立,解得点P(2,1).将P的坐标(2,1)代入直线中,解得a;
(2)设所求直线为l,当直线的斜率不存在时,则l的方程为x=-2,不合题意.当直线l的斜率存在时,设直线的斜率为k,则的方程为,利用点到直线的距离公式即可得出.
(1)
因为直线和相交于点P,且P点在直线上,所以联立,解得:P(2,1).
将P的坐标(2,1)代入直线中,可得2a+1-3a+1=0,解得a=2.
(2)
设所求直线为l.
当直线l的斜率不存在时,则l的方程为x=-2.此时点P与直线的距离为4,不合题意,舍去;
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则l的方程为,即.
因此点P到直线的距离,解方程可得k=2,
所以直线的方程为.
40.(2021·湖北黄冈·高二期中)在中,,边上的高所在的直线方程为,边上中线所在的直线方程为.
(1)求点坐标:
(2)求直线的方程.
【答案】(1)C(-4,-2)
(2)5x-7y+6=0
【分析】(1)先求出AC所在的直线的方程,再求两直线的交点即可;
(2)设出B点坐标,表示出M点坐标,利用和CM所在的直线方程解出B点坐标,进而求得直线的方程.
(1)
边AC上的高BE所在的直线方程为,
故边AC所在的直线的斜率为1,
所以边AC所在的直线的方程为,即,
因为CM所在的直线方程为4x-5y+6=0,
由解得,所以C(-4,-2)
(2)
设B(x0,y0),M为AB中点,则M的坐标为,
由,解得,
所以B(3,3),又因为C(-4,-2),
所以直线BC的方程为,化简得5x-7y+6=0.
41.(2020·安徽·合肥市第五中学高二期中(理))已知 ABC的顶点,AB边上的中线CM所在直线方程为,AC的边上的高BH所在直线方程为.
(1)求顶点C的坐标;
(2)求直线BC的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)设,利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解;
(2)设,利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解;
(1)
解:设,
∵AB边上的中线CM所在直线方程为,
AC边上的高BH所在直线方程为.
∴,解得.
∴.
(2)
设,则,
解得.
∴.
∴.
∴直线BC的方程为,即为.
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