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突破2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一：直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
知识点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.
知识点二：过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
知识点三：两点间的距离公式
两点间的距离公式为.
知识点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.
知识点四：点到直线的距离公式
点到直线的距离为.
知识点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.
知识点诠释：
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.
三、题型突破
(一) 、两条直线的位置关系
例1、（1）、（2022·江苏·高二单元测试）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论，，如何，方程组总有解
B．无论，，如何，方程组总有唯一解
C．存在，，，方程组无解
D．存在，，，方程组无穷多解
【答案】B
【分析】通过与是直线上，推出的关系，然后解方程组即可.
【详解】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以,即,并且，.
所以
得：即,
所以方程组有唯一解.
故选：B
（2）、（2022·全国·高二专题练习）曲线与的交点的情况是（ ）
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点
【答案】A
【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可
【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点．
故选：A
【变式训练1-1】、（2022·江苏·南京师大附中高二开学考试）（多选题）设直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B． 与至多有无穷多个交点
C．的充要条件是
D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线
【答案】ACD
【分析】利用反例判断A，根据两直线的位置关系的充要条件判断B、C，根据交点直线系方程判断D；
【详解】解：对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为（为直线与轴的交点的横坐标）此时直线或的方程无法表示，故A错误；
对于B：当且时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；
对于C：当且时，故C错误；
对于D：记与的交点为，则的坐标满足且满足，则不表示过点的直线，故D错误；
故选：ACD
【变式训练1-2】、（2021·河北·徐水综合高中高二阶段练习）（多选题）设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的为（ ）
A．存在实数，使得点在直线上；
B．若，则过的直线与直线平行；
C．若，则直线经过的中点；
D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；
【答案】BCD
【分析】对于A，点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而可判断A不正确．
对于B，当时，若，则，整理得，再结合不在直线上科判断，当时，若，可判断故，进而得到，再综合得答案．
对于C，若，即可得到，即可判断C．
对于D，若，则，或，根据点与直线的位置关系即可判定D．
【详解】解：对于A选项，若点在直线上则，
不存在实数，使点在直线上，故A不正确；
对于B选项，当时，若，则，整理得，此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上，故过、两点的直线与直线平行；当时，若，则，整理得，此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾，故，所以， 即，所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确；
对于C选项，若，则
即，，
直线经过线段的中点，即C正确；
对于D选项，若，则，或，
所以，且，
所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等，所以直线与线段不平行．故D正确．
故选：BCD．
(二) 、直线的交点问题
例2．（1）、（2020·广西高二学业考试）设直线与直线的交点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
联立两直线方程，求出交点坐标即可.
【详解】
由题意知，
，
所以点P的坐标为
故选：B
（2）．（2020·河北艺术职业中学高二月考）两直线和的交点在y轴上，则k的值是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
【答案】C
【分析】
通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解即可．
【详解】
因为两条直线和的交点在轴上，
所以设交点为，
所以，消去，可得．
故选：．
【点睛】
本题考查两条直线的交点坐标的求法与应用，考查计算能力，属于基础题．
（3）．（2021·黑龙江哈九中高二期末（文））直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可.
【详解】
解：直线与的交点在第四象限，
，
联立方程： ，
解得，
即，
解得：.
故选：C.
【变式训练2-1】、（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.
【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得．
方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误.
故选：C．
【变式训练2-2】、（2020·安徽桐城市第八中学高二月考）若三条直线，与直线交于一点，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
由前两个方程求出交点，将交点坐标代入第三条直线的方程中，即可求出参数值.
【详解】
两方程联立可得交点坐标为：，代入第三条直线方程：，
解得：.
故选C.
【点睛】
本题考查直线的交点，只需要联立方程即可求出交点，本题可将任意两条直线联立求交点坐标或其表达式，再代入另一条直线的方程即可，注意计算的准确性.
（三）、距离公式的应用
点到点的距离
例3．（2020·河北艺术职业中学高二月考）已知点，，且，则的值为
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
利用两点间距离公式构造方程求得结果.
【详解】
由题意知：，解得：或
本题正确结果：
【点睛】
本题考查两点间距离公式的应用，属于基础题.
【变式训练3-1】、（2018·重庆高二期中（文））已知点点，则为
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用两点间距离公式求解即可．
【详解】
解：点点，
则．
故选：C．
【点睛】
本题考查两点间距离公式的应用，是基本知识的考查．
点到直线的距离
例4．（1）、（2021·黔西南州同源中学高一期末）点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
点到直线的距离，
故选:B .
（2）、（2022·全国·高二专题练习）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式，求解即可．
【详解】解：点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，
可得3，解得a＝2，
故选：A．
（3）、（2022·全国·高二专题练习）点到直线的距离的取值范围为____．
【答案】
【分析】由点到直线的距离公式结合辅助角公式求得距离为，再由正弦函数的最值求得距离的取值范围即可.
【详解】记为点到直线的距离，则，其中；
当变化时，的最大值为5，最小值为，则的最大值为的最小值为，即距离的取值范围为.
故答案为：.
【变式训练4-1】、（2021·全国高二课时练习）若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是
A．1 B．-3 C．1或 D．-3或
【答案】D
【分析】
由题得，解方程即得k的值.
【详解】
由题得，解方程即得k=-3或.
故答案为D
【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离.
【变式训练4-2】、（2021·全国高二课前预习）点到直线：的距离最大时，与的值依次为( )
A．3，－3 B．5，2
C．5，1 D．7，1
【答案】C
【分析】
将直线方程整理为，可得直线经过定点，由此可得当直线与垂直时的长，并且此时点到直线的距离达到最大值，从而可得结果.
【详解】
直线，
即，
直线是过直线和交点的直线系方程，
由，得，
可得直线经过定点，
当直线与垂直时，
点到直线的距离最大，
的最大值为，
此时轴，
可得直线斜率不存在，即.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
【变式训练4-3】、（2021·江西省万载中学高一期末（理））直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，所求最值即为到直线距离的平方，即可求解.
【详解】
解：由题意得：表示到的距离的平方,而为直线上动点,所以的最小值，即为到直线距离的平方，即，
故选：C
平行直线的距离
例5．（1）、（2021·江苏省运河中学高一期中）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】
根据平行关系得出或，再由距离公式得出满足条件.
【详解】
∵，∴，解得或
当时，当时
故选：C
（2）．（2021·贵州高一期末）已知直线，直线，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
直线的方程可化为，
则与之间的距离．
故选：D
【变式训练5-1】．（2020·江西省宜春中学高二期中（理））已知直线，直线，若，则直线与的距离为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用直线平行的性质解得，再由两平行线间的距离求解即可
【详解】
∵直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，l1∥l2，
∴，且
解得a＝﹣4．
所以直线l1：4x-2y+1＝0，直线l2：4x-2y+3＝0，
故与的距离为
故选A．
【点睛】
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．
【变式训练5-2】．（2022·全国·高三专题练习）已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.
【答案】0
【分析】根据两直线平行求出n，由两直线间的距离是求出m，即可得到.
【详解】因为直线（）与直线互相平行，
所以且.
又两直线间的距离是，所以，
因为，解得：.
所以.
故答案为：0
（四）、直线的对称问题
例6．（1）、（2022·江苏·高二专题练习）点关于点对称的点的坐标为______．
【答案】
【分析】由中点坐标公式求解即可
【详解】设点关于点对称的点为，
则点为的中点．
解得．
点关于点对称的点的坐标为．
故答案为：．
（2）．（2021·浙江高三其他模拟）点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】
解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
（3）．（2021·全国高二课时练习）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出点关于直线的对称点，则即为的最小值.
【详解】
根据题意画出图形，如图所示：
设点关于直线的对称点，
连接，则即为的最小值，且.
故选：.
【点睛】
本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.
【变式训练6-1】、（2021·全国高二专题练习）已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】
点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
【变式训练6-2】、（2021·全国高二专题练习）已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
求得关于直线的对称点，利用两点间的距离公式求得的最小值.
【详解】
关于直线的对称点的坐标为，
则，
则的最小值是.
故选：C
【变式训练6-3】、（2022·全国·高三专题练习）如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．
【答案】
【分析】反射问题的本质还是对称问题，分别求点关于和的对称点，即可求得直线的方程，利用直线方程联立，求得点的坐标，再求直线的方程.
【详解】由题意知直线的方程为，
设光线分别射在上的处，
作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，
则∠∠∠，∠∠∠，
共线，
易得点关于轴的对称点，
∠，
，的横坐标为，
由对称性可知，可得的纵坐标为，
，
直线方程，即，
联立，得，，则，
直线：，即光线所在的直线方程为．
(五) 、与直线有关的三角形问题
例7．（1）、（2022·江苏·高二）已知三条直线：，：，：所围成的图形为直角三角形，则该三角形的面积为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可得答案.
【详解】解：由题意知，若，则，与的交点坐标为，则此时三角形的面积为，
若，则，与的交点坐标为，所以此时三角形的面积为．
所以该三角形的面积为或．
故选：C
（2）、（2021·江苏高二专题练习）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.
【详解】
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线的方程为，
当时，；当时，.
故选：BD.
【点睛】
结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.
【变式训练7-1】、（2021·全国高二专题练习）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.
【详解】
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线的方程为，
当时，；当时，.
故选：BD.
【点睛】
结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.
【变式训练7-2】、（2021·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）已知三角形的三个顶点坐标为：，，，则三角形的面积为( )
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】结合已知条件求出直线AB的方程和，然后利用点到直线的距离公式求出点到直线AB的距离，进而可求出三角形面积.
【详解】由，，
故直线的方程：，即，
，
从而到的距离，
故三角形的面积.
故选：A.
(六) 、直线的综合问题
例8．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）已知三条直线和，且与的距离是．
(1)求的值；
(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，
【分析】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案；
（2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论.
（1）
解：因为可化为，所以与的距离为．
因为，所以．
（2）
解：设存在点满足，则点在与，平行直线上．
且，即或．
所以满足条件②的点满足或．
若点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即，所以或，因为点在第一象限，所以不成立．
联立方程和，解得（舍去），联立方程和，解得，所以即为同时满足条件的点.
例9．（2022·河北保定·高二期末）已知直线：，：，设直线，的交点为．
(1)求的坐标；
(2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
【答案】(1)P（-1，-1）
(2)x+y+2=0或x-y=0
【分析】（1）联立两直线方程，求解即可
（2）由题意，直线l的斜率为-1或经过原点，分别求解即可
(1)
联立方程解得P（-1，-1）
(2)
∵直线l在两坐标轴上的截距相等，
∴直线l的斜率为-1或经过原点，
当直线l过原点时，∵直线l过点P，∴l的方程为y=x；
当直线l斜率为-1时，∵直线l过点P，∴l的方程为y+1=-（x+1），
综上，直线l的方程为x+y+2=0或x-y=0．
四、定时训练（30分钟）
1．（2020·浙江高一期末）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
联立直线方程即可求出.
【详解】
联立直线方程，解得，
故交点坐标为.
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用点到直线的距离公式，求出原点到直线的距离，即可求得答案.
【详解】由题意得：点在直线上，
则点P到坐标原点的最小距离为原点到直线的距离，
即 ，
故选：C
3．（2021·全国高二课时练习）点到直线的距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
直接利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】
，答案为B
【点睛】
本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.
4．（2021·全国高二专题练习）过和的交点，且与直线垂直的直线方程是________.
【答案】
【分析】
求出直线和的交点坐标，进而可得出所求直线方程.
【详解】
解方程组，得，即交点为.
直线的斜率，所求直线的斜率是.
故所求直线的方程是，即.
故答案为：.
5．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二开学考试（文））已知直线：，直线：．
Ⅰ若直线与直线平行，求实数a的值；
Ⅱ若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．
【答案】（I）；（II）.
【分析】
Ⅰ由题意利用两条直线平行的条件求得实数a的值．
Ⅱ由题意利用两条直线垂直的条件求得a的值，再把两直线与的方程联立方程组，从而求得交点坐标．
【详解】
解：已知直线：，直线：．
Ⅰ若直线与直线平行，则有，求得．
Ⅱ若直线与直线垂直，则有，求得，
两直线即直线：，直线：，
由求得，
直线与的交点坐标为
【点睛】
本题主要考查两条直线平行和垂直的条件，求两条直线的交点的坐标，属于基础题．
6．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线的方程为，直线的方程为.
(1)设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
(2)设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）通过联立和的方程求得点的坐标，对直线是否过原点进行分类讨论，由此求得直线的方程.
（2）对于、的位置关系进行分类讨论，由此求得的值.
(1)
由，解得，所以点的坐标为.
当直线在两坐标轴上的截距不为零时，可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为.
当直线在两坐标轴上的截距均为零时，可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
(2)
当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得；
当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得；
当直线过直线与的交点时不能构成三角形，此时，解得.
综上，或或2，故实数的取值的集合为.
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突破2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一：直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
知识点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.
知识点二：过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
知识点三：两点间的距离公式
两点间的距离公式为.
知识点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.
知识点四：点到直线的距离公式
点到直线的距离为.
知识点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.
知识点诠释：
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.
三、题型突破
(一) 、两条直线的位置关系
例1、（1）、（2022·江苏·高二单元测试）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论，，如何，方程组总有解
B．无论，，如何，方程组总有唯一解
C．存在，，，方程组无解
D．存在，，，方程组无穷多解
（2）、（2022·全国·高二专题练习）曲线与的交点的情况是（ ）
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点
【变式训练1-1】、（2022·江苏·南京师大附中高二开学考试）（多选题）设直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B． 与至多有无穷多个交点
C．的充要条件是
D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线
【变式训练1-2】、（2021·河北·徐水综合高中高二阶段练习）（多选题）设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的为（ ）
A．存在实数，使得点在直线上；
B．若，则过的直线与直线平行；
C．若，则直线经过的中点；
D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；
(二) 、直线的交点问题
例2．（1）、（2020·广西高二学业考试）设直线与直线的交点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2020·河北艺术职业中学高二月考）两直线和的交点在y轴上，则k的值是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
（3）．（2021·黑龙江哈九中高二期末（文））直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【变式训练2-2】、（2020·安徽桐城市第八中学高二月考）若三条直线，与直线交于一点，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
.
（三）、距离公式的应用
点到点的距离
例3．（2020·河北艺术职业中学高二月考）已知点，，且，则的值为
A． B． C．或 D．或
【变式训练3-1】、（2018·重庆高二期中（文））已知点点，则为
A．4 B．2 C． D．
点到直线的距离
例4．（1）、（2021·黔西南州同源中学高一期末）点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·全国·高二专题练习）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2 B．3 C． D．4
（3）、（2022·全国·高二专题练习）点到直线的距离的取值范围为____．
【变式训练4-1】、（2021·全国高二课时练习）若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是
A．1 B．-3 C．1或 D．-3或
【变式训练4-2】、（2021·全国高二课前预习）点到直线：的距离最大时，与的值依次为( )
A．3，－3 B．5，2
C．5，1 D．7，1
【变式训练4-3】、（2021·江西省万载中学高一期末（理））直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
B． C． D．
平行直线的距离
例5．（1）、（2021·江苏省运河中学高一期中）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
（2）．（2021·贵州高一期末）已知直线，直线，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】．（2020·江西省宜春中学高二期中（理））已知直线，直线，若，则直线与的距离为
A． B． C． D．
【变式训练5-2】．（2022·全国·高三专题练习）已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.
（四）、直线的对称问题
例6．（1）、（2022·江苏·高二专题练习）点关于点对称的点的坐标为______．
（2）．（2021·浙江高三其他模拟）点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
（3）．（2021·全国高二课时练习）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【变式训练6-1】、（2021·全国高二专题练习）已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【变式训练6-2】、（2021·全国高二专题练习）已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练6-3】、（2022·全国·高三专题练习）如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．
(五) 、与直线有关的三角形问题
例7．（1）、（2022·江苏·高二）已知三条直线：，：，：所围成的图形为直角三角形，则该三角形的面积为（ ）
A． B． C．或 D．或
（2）、（2021·江苏高二专题练习）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】、（2021·全国高二专题练习）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】、（2021·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）已知三角形的三个顶点坐标为：，，，则三角形的面积为( )
A．5 B． C．10 D．
(六) 、直线的综合问题
例8．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）已知三条直线和，且与的距离是．
(1)求的值；
(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
例9．（2022·河北保定·高二期末）已知直线：，：，设直线，的交点为．
(1)求的坐标；
(2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
四、定时训练（30分钟）
1．（2020·浙江高一期末）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2021·全国高二课时练习）点到直线的距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·全国高二专题练习）过和的交点，且与直线垂直的直线方程是________.
5．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二开学考试（文））已知直线：，直线：．
Ⅰ若直线与直线平行，求实数a的值；
Ⅱ若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．
6．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线的方程为，直线的方程为.
(1)设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
(2)设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合.
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