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突破2.4 圆的方程
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径.
知识点诠释：
(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.
(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.
知识点诠释：
由方程得
(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.
(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.
(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.
(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
三、题型突破
重难点题型突破01 求圆的标准方程
例1．（1）、（2021·云南高一期末）已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（ ）
A．(x-2)2+(y-3)2 =4 B．(x+2)2+(y+3)2 =16
C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2 =16
（2）、（云南省昭通一中2019届期末）圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1
【变式训练1-1】、（2022·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】、（2021·乌苏市第一中学高二开学考试）过点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破02 求圆的标一般方程
例2、（1）、（2022·全国·高二专题练习）圆的圆心和半径分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
（2）、（2022·全国·高二专题练习）已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【变式训练2-1】、（2022·江苏·高二单元测试）方程所表示圆的圆心与半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】、（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
例4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
重难点题型突破03 点与圆的位置关系
例5．（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】、（2021·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重难点突破04 圆的最值问题（几何关系）
例6．（1）、（2022·全国·高二单元测试）若x，y满足，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．无法确定
（2）、（山东省日照一中2019届期末）若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为( )
A. B．10 C．9 D．5＋2
（3）、（2018·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二期末（理））如图所示，已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且依次交抛物线及圆2于A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为_____．
【变式训练6-1】、（2021·安徽省舒城中学高二阶段练习）已知，，且，则的最大值是_________.
【变式训练6-2】、（2021·黑龙江·铁人中学高二阶段练习）已知，动直线和动直线交于点，则的取值范围为___________.
【变式训练6-3】、（2021·江苏·高二单元测试）已知点,动点的轨迹为,动点满足,则的最小值为_____.
重难点题型突破05 轨迹问题
例7．（2021·江苏·高二专题练习）已知过原点的动直线与圆:相交于不同的两点，.
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线:与曲线只有一个交点 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【变式训练7-1】、（2019·陕西铜川·高一期末）已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标．
四、定时训练（30分钟）
1．（2020邢台市第八中学高二期末）方程表示以为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二单元测试）圆心在轴上，半径为1 ，且过点 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·江苏·高二）已知，则以为直径的圆的方程为________．
6．（2022·上海市崇明中学高二期中）圆心为，半径为3的圆的标准方程为_________.
7．（2021·全国高二专题练习）方程表示一个圆，则m的取值范围是_______
8．（2022·全国·高二课时练习）求下列各圆的标准方程：
(1)圆心在上且过两点 ；
(2)圆心在直线上，且与直线切于点；
(3)圆心在直线上，且与两坐标轴都相切.
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突破2.4 圆的方程
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径.
知识点诠释：
(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.
(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.
知识点诠释：
由方程得
(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.
(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.
(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.
(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
三、题型突破
重难点题型突破01 求圆的标准方程
例1．（1）、（2021·云南高一期末）已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（ ）
A．(x-2)2+(y-3)2 =4 B．(x+2)2+(y+3)2 =16
C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2 =16
【答案】D
【分析】
直接利用圆的标准方程求解即可．
【详解】
解：由圆的标准方程得：
圆心坐标为（2，3），半径为4的圆的标准方程是：
．
故选：．
（2）、（云南省昭通一中2019届期末）圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1
【答案】A
【解析】依题意，设圆心坐标为(0，a)，则＝1，所以a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
【变式训练1-1】、（2022·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接写出标准方程，即可得到答案.
【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为.
故选：B
【变式训练1-2】、（2021·乌苏市第一中学高二开学考试）过点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程.
【详解】
因为过点，，
所以线段AB的中点坐标为，，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆心为，
所以圆的方程为.
故选：C
重难点题型突破02 求圆的标一般方程
例2、（1）、（2022·全国·高二专题练习）圆的圆心和半径分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.
【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.
故选：D.
（2）、（2022·全国·高二专题练习）已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据圆的半径最小时圆的面积最小，然后考察圆的半径即可.
【详解】由，得，易知当，圆的半径最小，即圆的面积最小.
故选：B
【变式训练2-1】、（2022·江苏·高二单元测试）方程所表示圆的圆心与半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接化成圆的标准方程，求圆心和半径即可.
【详解】由得，故圆心，半径.
故选：D.
【变式训练2-2】、（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.
【详解】或.
故选：C.
例3．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【答案】(1)x－3y＋3＝0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用已知条件求出直线的垂直平分线所在的直线方程即可；
（2）利用已知条件求出线段AB为圆的直径的圆的方程即可；
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，且圆心在直线上，即可求解圆的方程；
（4）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，即可求出圆心的横坐标，即可求解圆的方程.
（1）
由题意可知线段AB的中点坐标是，
∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上，
∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0．
（2）
当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为．
则所求圆的标准方程为．
（3）
由（1）可知，圆心所在直线的方程为，
又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，
∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2），
∴半径，
∴所求圆的标准方程是．
（4）
设圆心的坐标为（m，2），
由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，
∴圆的半径，
∴所求圆的标准方程为．
例4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【答案】(1)x－3y＋3＝0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用已知条件求出直线的垂直平分线所在的直线方程即可；
（2）利用已知条件求出线段AB为圆的直径的圆的方程即可；
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，且圆心在直线上，即可求解圆的方程；
（4）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，即可求出圆心的横坐标，即可求解圆的方程.
（1）
由题意可知线段AB的中点坐标是，
∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上，
∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0．
（2）
当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为．
则所求圆的标准方程为．
（3）
由（1）可知，圆心所在直线的方程为，
又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，
∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2），
∴半径，
∴所求圆的标准方程是．
（4）
设圆心的坐标为（m，2），
由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，
∴圆的半径，
∴所求圆的标准方程为．
重难点题型突破03 点与圆的位置关系
例5．（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可
【详解】由题意，表示圆
故，即或
点A（1，2）在圆C：外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
故选：A
【变式训练5-1】、（2021·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可.
【详解】由点在圆外知，即，解得，
又为圆，则，
解得，故.
故选：D.
重难点突破04 圆的最值问题（几何关系）
例6．（1）、（2022·全国·高二单元测试）若x，y满足，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】由为圆上的点与原点距离的平方，结合圆的性质即得.
【详解】由，可得，
表示以为圆心，以为半径的圆，
设原点， ，
则（为圆上的点与原点距离的平方）的最小值是
．
故选：C．
（2）、（山东省日照一中2019届期末）若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为( )
A. B．10 C．9 D．5＋2
【答案】B
【解析】原方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆．设x－2y＝b，则x－2y可看作直线x－2y＝b在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，所以b＝10或b＝0，所以x－2y的最大值是10.
（3）、（2018·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二期末（理））如图所示，已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且依次交抛物线及圆2于A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为_____．
【答案】13
【分析】当直线l的斜率不存在时，计算出,
当直线l的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2） ，代入抛物线方程,利用韦达定理以及抛物线的定义可求得|AB|+4|CD|＝x1+4x2+5,再利用基本不等式可得最小值为13,比较可得答案.
【详解】抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2，
圆2的圆心为F ，半径为，
当直线l的斜率不存在时，x＝2，联立 解得y2＝32，即y＝±4，
所以,所以,
所以,
当直线l的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2） ，
代入抛物线方程可得k2x2﹣（84k2）x+8k2＝0，k≠0，
设A（x1，y1），D（x2，y2），
可得x1+x2＝4，x1x2＝8，
由抛物线的定义可得|AB|+4|CD|＝|AF|4（|DF|）
＝x1+24（x2+2）＝x1+4x2+52513，
当且仅当x1＝4，x2，上式取得最小值13，
综上可得，|AB|+4|CD|的最小值为13，
故答案为: 13
【点睛】本题考查了直线与抛物线相交的问题,考查了抛物线的定义,考查了利用圆的方程求圆心坐标和半径,考查了基本不等式求和的最小值,考查了韦达定理,利用抛物线的定义求和是解题关键,属于中档题.
【变式训练6-1】、（2021·安徽省舒城中学高二阶段练习）已知，，且，则的最大值是_________.
【答案】6
【分析】结合已知条件可知在圆心为，半径为1的上半圆上，然后根据几何意义和圆的性质即可求解.
【详解】因为，所以，，从而在圆心为，半径为1的上半圆上，
由两点间距离公式可知，表示为与的距离，
又由圆的性质可知，的最大值为圆心到的距离与半径之和，
因为圆心到的距离，
所以的最大值是.
故答案为：6.
【变式训练6-2】、（2021·黑龙江·铁人中学高二阶段练习）已知，动直线和动直线交于点，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】动直线过定点，动直线过定点，发现两条直线的斜率乘积为-1，说明两条直线垂直，则点是在以为直径的圆上动，表示到点的距离，根据点与圆的关系可求出范围.
【详解】动直线过定点，动直线过定点，且两条直线的斜率乘积为-1，所以两条直线垂直，
所以是在以为直径的圆上动，则中点为圆心，
表示到点距离，其最大值为，其最小值为.
，
，
=，=
所以的取值范围为
故答案为：
【变式训练6-3】、（2021·江苏·高二单元测试）已知点,动点的轨迹为,动点满足,则的最小值为_____.
【答案】
【分析】根据题意画出图象, 动点满足,设,可得的轨迹为圆,设,且,可得,结合已知,即可求得答案.
【详解】根据题意画出图象:
动点满足
设,
可得的轨迹为圆,
设,且,
可得,
化简可得,
的方程又为
可得,即,
可得的最小值为的最小值,
当三点共线,且为抛物线的法线时,取得最小值.
设,
由的导数为
可得,
解得:,
即,即有
【点睛】本题主要考查了抛物线上动点最值问题,解题关键是掌握抛物线最值的求法和根据导数求最值的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
重难点题型突破05 轨迹问题
例7．（2021·江苏·高二专题练习）已知过原点的动直线与圆:相交于不同的两点，.
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线:与曲线只有一个交点 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）（3）存在，
【分析】（1）将圆的一般方程整理为标准方程，由此得到圆心坐标；
（2）当直线斜率不存在，与圆无交点，可知斜率存在，设，将直线方程与圆的方程联立，由可确定的范围，并得到韦达定理的形式，从而利用表示出中点坐标，消去后即可得到轨迹方程；结合的范围可确定的范围，从而得到所求轨迹方程；
（3）由（2）可得的图象，并确定直线所过的定点；由数形结合的方式可求得结果.
【详解】（1）圆:的方程整理得其标准方程：
圆的圆心坐标为
（2）当直线斜率不存在时，方程为，与圆无交点，不合题意
直线斜率存在，设
由得：
则，解得：
设，，中点
则，
消去参数得中点轨迹方程为：
轨迹的方程为：
（3）由（2）知：曲线是圆上的一段劣弧（如图，不包括两个端点），且，
直线:过定点
直线:与圆相切时，与没有公共点
又，
当时，直线:与曲线只有一个交点
【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解、根据直线与曲线的交点个数求解参数范围的问题；易错点是在求解动点轨迹方程时，忽略取值范围的限制，造成轨迹求解错误；根据交点个数求解参数范围的关键是能够采用数形结合的方式确定临界状态，进而得到结果.
【变式训练7-1】、（2019·陕西铜川·高一期末）已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标．
【答案】（1）x2+y2＝1；（2）证明见解析，T（3+2，0）或T（3﹣2，0）．
【分析】(1)由可得,列出等式即可求动点的轨迹方程;
(2)设出点M的坐标,我们可以得到直线AM、直线BM的方程,与直线方程联立求得点E、点F的坐标,进而得到以为直径的圆的方程,最后求出定点坐标.
【详解】（1）设G（x，y）（x≠±1），
因为GA⊥GB，所以，
整理得C的方程为x2+y2＝1（x≠±1）；
（2）设点M（x0，y0）（x0≠±1），且有x02+y02＝1，
则直线AM的方程为y，令x＝3，得E（3，），
直线BM的方程为y，令x＝3，得F（3，），
从而以EF为直径的圆方程为（x﹣3）2+（y）（y）＝0，
令y＝0，则（x﹣3）2 0，即（x﹣3）20，
又因为x02+y02＝1，所以，代入可得x2﹣6x+1＝0，
解得x＝3±2，
所以定点T（3+2，0）或T（3﹣2，0）．
【点睛】本题考查动点的轨迹方程,考查直线与圆的方程的应用问题,属于中档题,涉及到的知识点有直线的点斜式方程,由圆上两点的坐标列出圆的方程,认真分析题意求得结果.
四、定时训练（30分钟）
1．（2020邢台市第八中学高二期末）方程表示以为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，2，3，4，解得D＝4，E＝﹣6，F＝﹣3．
2．（2022·全国·高二单元测试）圆心在轴上，半径为1 ，且过点 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设圆心坐标为 ，则有，求得，即可得解.
【详解】解：设圆心坐标为 ，则由题意知 ，解得，
故圆的方程为.
故选：A.
3．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.
【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，
所以所求圆的方程为.
故选：B
4．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.
【详解】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），
则，解得a＝0或a＝1，
∴所求圆的方程为或,
故选：AD．
5．（2022·江苏·高二）已知，则以为直径的圆的方程为________．
【答案】
【分析】求得线段PQ的中点坐标和长度即可.
【详解】解：因为，
所以线段PQ的中点为（0,0），，
所以以为直径的圆的方程为，
故答案为：
6．（2022·上海市崇明中学高二期中）圆心为，半径为3的圆的标准方程为_________.
【答案】
【分析】根据圆的标准方程的定义，即可求解.
【详解】由题可先设出圆的方程：，
再圆心为点，r=3代入圆的方程可求出则圆的方程为：
故答案为：
7．（2021·全国高二专题练习）方程表示一个圆，则m的取值范围是_______
【答案】
【分析】
把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m的取值范围．
【详解】
方程，即表示圆，
，求得，则实数m的取值范围为，
故答案为：
【点睛】
结论点睛：本题主要考查圆的普通方程化为标准方程，考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查配方法，属于基础题．对于二元二次方程，可通过配方法配方成，当时，表示点；当时，表示圆.
8．（2022·全国·高二课时练习）求下列各圆的标准方程：
(1)圆心在上且过两点 ；
(2)圆心在直线上，且与直线切于点；
(3)圆心在直线上，且与两坐标轴都相切.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）设圆的标准方程，根据条件列出方程组，即可求得答案.
（2）（3）设圆的标准方程，根据条件列出相关等式，即可求得答案.
(1)
设圆的标准方程为： ，
则由题意得： ，解得 ，
故圆的标准方程为：；
(2)
设圆的标准方程为：，
则，且 ，即，
将点代入圆的方程中得：，
解得： ，
故圆的标准方程为：；
(3)
设圆的标准方程为： ，
则，且 ，
解得 或，
故圆的标准方程为：或.
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