中小学教育资源及组卷应用平台
突破2.5 直线与圆、圆与圆位置关系
A组 基础巩固
1．（2022·河南·高三开学考试）若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（ ）
A． B． C．1 D．－1
【答案】C
【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值.
【详解】直线的方程可化为
所以直线恒过定点，
因为
所以点在圆内，
由圆的性质可得当时，最小，周长最小，
又，
所以，此时．
故选：C．
2．（2022·全国·高二课时练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.
【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.
设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.
故选：C.
3．（2022·陕西汉中·高一期末）直线l:被圆C：截得的弦长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求出圆心到直线l:的距离，根据圆心距和圆的半径以及弦长之间的关系，即可求得答案.
【详解】由题意得圆心到直线l:的距离为，
故直线l:被圆C：截得的弦长为，
故选：B
4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意首先求得的长度，然后确定圆上的点到直线的距离，最后确定三角形面积的取值范围.
【详解】解：因为，所以.
圆的标准方程，圆心，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的取值范围为：，
所以.
故选:C.
5．（2023·全国·高三专题练习）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知直线过圆心，则，且有且，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，
因为，则且，
因此，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，设，利用距离公式求出，根据二次函数的性质求出的最小值，即可求出切线长最小值；
【详解】解：圆的圆心为，半径，
因为为抛物线上的动点，设，
则，
所以当时，过点作圆的切线，此时切线长最小，最小为；
故选：C
7．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）直线与圆相切，则实数m等于（ ）
A．2 B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径求解即可
【详解】因为直线与圆相切，故，即，故
故选：D
8．（2021·甘肃平凉·高二期末（理））在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为2，则实数a的值为（ ）
A． B．2 C．或 D．1或
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离公式，及弦心距计算即可得出结果.
【详解】圆心到直线的距离为，
又，解得：或．
故选：C
9．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
所以有，，
因此有，
要想四边形周长最小，只需最小，即当时，
此时，此时，
即最小值为，
故选：A
【点睛】关键点睛：利用圆切线性质是解题的关键.
10．（2022·全国·高二单元测试）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数r等于（ ）
A．7 B．3 C．3或7 D．5
【答案】C
【分析】根据两圆内切或外切即可求解.
【详解】，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，
所以圆与圆相内切或外切，
所以或，
所以或，
故选：．
11．（2022·全国·高二课时练习）在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，，建立直角坐标系，根据已知条件求出各点坐标，由圆O与圆内切，解得，由圆O与圆内切，解得，分别求出阴影部分与最大半圆的面积，即可求出答案.
【详解】设，则，，以C为坐标原点，
建立如图所示的坐标系，则C（0，0），，，．
设，，则
（圆，外切与勾股定理结合），得，所以．
由圆O与圆内切，得，解得．
同理（圆，外切与勾股定理结合），
得，由圆O与圆内切，得，
解得．设阴影部分的面积为，最大半圆的面积为，
，
所以．
故选：B.
12．（2022·全国·高三专题练习）“a＝3”是“圆与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】解：若圆与圆相切，
当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3；
当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1．
当时，圆与圆相切，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件．
当圆与圆相切时，不一定成立，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件．
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件．
故选：A
13．（2023·全国·高三专题练习）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.
【详解】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，
两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交.
故选：B.
14．（2023·全国·高三专题练习）圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】A
【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】由与圆，
可得圆心，半径，
则，且，
所以，所以两圆相交.
故选：A.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
【答案】D
【分析】由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，根据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.
【详解】易知直线过定点，弦最短时直线垂直，
又，所以，解得，
此时圆的方程是.
两圆圆心之间的距离，
又，所以这两圆相交.
故选：D.
16．（2022·上海中学东校高二期末）已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【分析】根据垂径定理可得参数的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.
【详解】由，即，
故圆心，半径，
所以点到直线的距离，
故，即，
解得：；
所以，；
又，圆心，，
所以，
且，
即圆与圆相交，
故选：B.
17．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知直线与圆交于A、B两点，直线垂直平分弦AB，则a的值为______．
【答案】4
【分析】由题意可得直线与垂直，可求出的值，再由直线垂直平分弦AB，可得直线过圆心，可求出.
【详解】因为直线与垂直，
所以，得，
由，得，则圆心为，
因为直线垂直平分弦AB，
所以直线过圆心，
所以，解得，
故答案为：4
18．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知圆，则过原点且与相切的直线方程为______.
【答案】或
【分析】分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得.
【详解】圆的圆心坐标，半径，
当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；
当切线的斜率存在时，设斜率为，，
由圆心到切线的距离等于半径得，解得，
所以直线方程为.
故答案为：或.
19．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．
【答案】##
【分析】根据圆的切线的性质，结合三角形面积与，化简可得，进而得到，根据最短时，最短求解即可
【详解】圆，即，
由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，
，，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，即，
所以最短时，最短，
点C到直线的距离即为的最小值，
所以，所以的最小值为
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）过圆外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.
【答案】
【分析】先根据∠APC＝30°，可得P点轨迹方程为圆，再数形结合可知当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可
【详解】由题意知，连接PC，因为△PAB为等边三角形，所以∠APC＝30°，所以，所以P点轨迹的方程为.因为，所以点D(2，1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部.连接CD，结合图形可知，当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，最短弦长为
故答案为：
21．（2022·云南昆明·高二期末）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则______.
【答案】
【分析】先计算圆心到直线的距离，然后代入公式计算.
【详解】已知圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切，则实数a的值为_________．
【答案】
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可求解的值.
【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，解得.
故答案为：.
23．（2022·全国·高一）已知圆，过点的直线被圆截得的弦长的最小值为_________
【答案】
【分析】圆心为，过的弦中与垂直的弦的长度最小，由此计算可得．
【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，
，与垂直的弦的弦长为，即为所求弦长的最小值．
故答案为：．
24．（2022·全国·高三专题练习）直线l过点截圆所得的弦长等于，则直线l的方程是___________．
【答案】或
【分析】讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径进行计算即可得到答案.
【详解】因为圆的半径为2，弦长为，所以圆心到直线l的距离，
当直线l斜率不存在时，，满足题意；
当直线l斜率存在时，设，由圆心到直线距离为1得解得，所以l的方程为或．
故答案为：或．
25．（2022·江苏·高二单元测试）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.
【答案】或1##1或
【分析】先求得点的轨迹的方程，再利用的面积为2列出关于实数的方程，进而求得实数的值
【详解】设，则有
整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆
点到直线的距离
直线交于，两点，则
则的面积
解之得或
故答案为：或1
26．（2022·全国·模拟预测）已知直线与圆相切，则直线被圆截得的弦长为______．
【答案】
【分析】根据直线与圆相切可得，即，由此可知圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可得到结果.
【详解】由直线与圆相切可得，得，
则圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为．
故答案为：.
27．（2022·全国·高二专题练习）过点且与圆相切的直线的方程是______．
【答案】或
【分析】当直线斜率不存在时，可得直线，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离，即可求得k值，综合即可得答案.
【详解】当直线l的斜率不存在时，因为过点，
所以直线，
此时圆心到直线的距离为1=r，
此时直线与圆相切，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
所以，即，
因为直线l与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以直线l的方程为.
综上：直线的方程为或
故答案为：或
28．（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆有四条公切线，写出一个实数a的可能取值是______．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根据圆的标准方程，确定圆心和半径，由四条公切线，确定圆与圆的位置关系为外离，可得答案.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，又两圆的圆心距，所以，解得或，所以实数a的可能取值为4．
故答案为：4（答案不唯一）
29．（2022·全国·高二课时练习）若圆与圆相切，则实数a的值为___________.
【答案】或
【分析】由已知可得圆心距或，根据两点距离公式列方程求a的值.
【详解】圆的圆心为，半径为r，
圆的圆心为，半径为2r.
当两圆外切时，有，此时；
当两圆内切时，有，此时.
综上，实数a的值为或.
故答案为：或
30．（2022·江苏·高二单元测试）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．
【答案】
【分析】将圆的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
【详解】由题可知：
，即
且
由两圆向外切可知，解得
所以
到直线的距离为，设圆的半径为
则直线被圆所截的弦长为
故答案为：
31．（2023·全国·高三专题练习）圆与圆的公共弦长为______．
【答案】
【分析】先求两圆公共弦方程，再利用弦心距，弦长，半径之间的关系求解
【详解】设圆：与圆：交于，两点
把两圆方程相减，化简得
即：
圆心到直线的距离，又
而，所以
故答案为：
32．（2021·北京·人大附中高二阶段练习）圆与圆内切，则实数的值为___________.
【答案】1
【分析】求出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距离等于半径差列式计算即可.
【详解】圆的标准式为，其圆心为，半径为6，
圆的圆心为，半径为，
由于在圆的内部，又两圆内切，
则，解得
故答案为：1.
33．（2021·江苏·高二专题练习）圆：与圆：的位置关系是_______．
【答案】外离
【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，即可求出结果．
【详解】圆：的标准方程为，
圆：的标准方程为，
圆心坐标分别为和，半径分别为和，
所以两圆心之间的距离，
又，
所以两圆的位置关系是外离．
故答案为：外离
B组 能力提升
34．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）（多选题）已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）
A．直线必过定点 B．与可能相离
C．与可能相切 D．当时，被截得的弦长为
【答案】AC
【分析】将直线方程化为，由,得，从而判断A；
由直线过定点，而点在圆上，判断B,C；
根据直线与圆相交时的弦长公式计算出弦长从而判断D.
【详解】解：对于A，由可得，由,得，
所以直线过定点，故A正确；
对于B，因为直线过定点，而点在圆上，所以直线与不可能相离，故B错误；
对于C，因为直线过定点，而点在圆上，所以直线与可能相切，故C正确；
对于D，当时，直线的方程为：，设圆心到直线的距离为，则，
所以被截得的弦长为：，故D错误.
故选：AC.
35．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】AC
【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径，可解得斜率的值，则由另一个圆的圆心到直线的距离，与半径比较，可得答案.
【详解】由圆C的方程知其圆心C（2，1），半径为．
因为直线l与圆C相切，所以，解得．
由圆D的方程知其圆心D（2，0），半径，圆心D到直线l的距离．
当时，，即，此时直线l与圆D相离；
当时，，即，此时直线l与圆D相交．
综上所述，直线l与圆D相交或相离．
故选：AC.
36．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.
【详解】解：圆，即，则圆心为，半径为1，易知点在圆外，
显然是其中一条切线.
当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为.综上，切线方程为或.
故选：BC.
37．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】AB
【分析】由圆的半径和弦长求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离列方程可求出a的值
【详解】由圆的方程可知圆心坐标为，半径.
又直线被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离.
又，
所以，解得或.
故选：AB
38．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）直线与圆相交于A，B两点，则线段的长度可能为（ ）
A． B． C．12 D．14
【答案】BC
【分析】直线过定点，在圆内，易知直线与垂直时弦长最短，直线过圆心时弦长最长．
【详解】直线过圆C内一定点，当直线经过圆C的圆心时，有最大值12；当为线段中点时，有最小值，所以．故选：BC．
39．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选题）已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得直线与圆相切
B．若直线与圆交于两点，则的最小值为
C．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为
D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
【答案】BCD
【分析】根据直线经过的定点在圆内，可判断A不正确；
根据圆心到直线的距离的最大值求出的最小值，可判断B正确；
根据圆心到直线的距离，可判断C正确；
将曲线的方程化为，可判断D正确.
【详解】对于A，因为直线过定点，且，即定点在圆内，所以不存在，使得直线与圆相切，故A不正确；
对于B，因为圆心到直线的距离的最大值为，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，因为圆心到直线的距离，所以，
所以对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为，故C正确；
对于D，当时，直线，曲线，即就是过直线与圆的交点的曲线方程，故D正确.
故选：BCD.
40．（2022·江苏·高二阶段练习）（多选题）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AD
【分析】对于AB，两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB所在直线的方程，对于C，求出圆心到公共弦的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出公共弦的长，对于D，点P到直线AB距离的最大值为
【详解】由与作差可得，
即公共弦AB所在直线的方程为，故A正确，B错误；
对于C，圆心到直线的距离为，圆的半径，
所以，故C错误；
对于D，点P为圆上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：AD.
41．（2022·全国·高二单元测试）（多选题）已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆内切，则r＝9
B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
【答案】ABC
【分析】根据两圆内，外切切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.
【详解】圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距．
对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确；
对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，
（圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心）
分别设两圆的圆心为,则
如图，所以，解得r＝3，故C正确；
对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误．
故选：ABC
42．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【答案】ACD
【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点O对称，即可知有两条公切线过原点O，另两条公切线与直线MN平行，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出直线方程，从而解出．
【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．
故选：ACD．
43．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（ ）
A．－4 B．－2 C． D．3
【答案】AD
【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解．
【详解】圆心，半径，圆心，半径．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距，所以，解得或．
故选：AD．
44．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交
【答案】ACD
【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可
【详解】由，得，则圆心，半径，
所以A正确，
对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，
对于C，因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆的圆心为，半径，
因为，，
所以圆与圆C相交，所以D正确，
故选：ACD
45．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．若圆C关于直线l对称，则
C．若，则或 D．若A，B，C，O四点共圆，则
【答案】ACD
【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线过点，
圆，即①，
圆心为，半径为，
由于，所以在圆内.，
所以，此时，所以A选项正确.
若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误.
设，则，此时三角形是等腰直角三角形，
到直线的距离为，即，
解得或，所以C选项正确.
对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，
的中点为，，
所以的垂直平分线为，则②，
圆的方程为，
整理得③，
直线是圆和圆的交线，
由①-③并整理得，
将代入上式得，④，
由②④解得，
所以直线即直线的斜率为，D选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断.
46．（2022·江苏·高二单元测试）（多选题）点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交
【答案】ABC
【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心分别为、，半径分别为、r=1；根据两点间距离公式求出圆心距，与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系，判断选项D；的最小值为可判断A；的最大值为可判断B；根据经过两点直线斜率计算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率，从而判断C.
【详解】根据题意，圆，其圆心，半径，
圆，即，其圆心，半径，圆心距>R+r，故两圆外离，故D错误；
则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确；
对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C正确.
故选：ABC.
47．（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）已知圆：，直线：，点．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．
【答案】(1)相交
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；
（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；
（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.
（1）
因为直线：过定点，
又，所以在圆内，
所以直线与圆相交；
（2）
设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为；
（3）
设，，因为，所以，
所以，化简得． ①
又消去并整理得，
所以②，． ③
由①②③联立，解得，
所以直线的方程为或．
48．（2022·全国·高二单元测试）已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径可求解.
（2）分直线l与圆有公共点和无公共点两种情况讨论，再结合，则点P在以MN为直径的圆上，由两圆有公共点即可求解.
（1）
当时．圆心O到直线l的距离为，则r＝2，
所以圆O的方程为．
（2）
圆心O到直线l的距离
①当直线l与圆O有公共点，即，解得，
若点P与点M（或N）重合，则满足，符合题意．
②当直线l与圆O无公共点，即，解得或，
由，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为，
则圆Q的方程为，
又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径 ，圆O的半径，
则，
只需点O到直线l的距离，
所以或．
综上，实数k的取值范围为．
49．（2022·全国·高二课时练习）已知定点，动点满足，设动点P的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的轨迹方程．
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线QM，QN，切点分别为，判断直线是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)直线过定点．
【分析】（1）设点，根据两点间的距离公式即得；
（2）设，由题可得以线段为直径的圆的方程，进而可得直线的方程，即得.
（1）
设点的坐标为，
因为，
所以，
化简，得，
所以曲线的轨迹方程为；
（2）
由题意，可知，，
所以点都在以线段为直径的圆上，
又是直线上的动点，设，
所以以线段为直径的圆心为，
所以圆的方程为，即，
因为点在曲线上，
所以，可得，
所以直线的方程为，即，
由，得，
所以直线过定点．
50．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C相切，求圆D的方程．
【答案】(1)或；
(2)或或或．
【分析】(1)设的直线方程为(可以避开斜率为0和不存在情况)，再用圆心到直线距离等于半径找出关系即可；
(2)讨论圆D与圆内切还是外切，分别计算出两种情况时的圆心坐标即可.
（1）
圆的圆心，半径，
因为直线过定点，所以可设直线的方程为，
因为直线与圆C相切，所以，整理得，则或，
当时，直线的方程为；
当时，直线的方程为．所以直线的方程为或.
（2）
因为圆D的圆心在直线上，所以可设，则．
当圆D与圆C外切时，，
即，解得或，所以圆D的方程为或．
当圆D与圆C内切时，，即，解得或，所以圆D的方程为或．
综上，圆D的方程为或或或．
51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；
（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；
（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为，根据得到方程，即可求出，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.
（1）
证明：圆：化为标准方程为，
，
圆的圆心坐标为，半径为，
，
，两圆相交；
（2）
解：由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，
即两圆公共弦所在直线的方程为；
（3）
解：由，解得，
则交点为，，
圆心在直线上，设圆心为，
则，即，解得，
故圆心，半径，
所求圆的方程为．
52．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解方程即得解；
（2）解方程即得解.
（1）
解：由圆，可得，
则圆心，半径，
由圆，可得圆心，半径，
因为两圆外切，
则，
解得．
（2）
解：圆的圆心坐标为，半径为．
圆心到直线的距离，
又直线与圆相交所得的弦长为，
，解得．
的值为．
53．（2023·全国·高三专题练习）已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程；
（2）设点，由已知可得，分析可知圆与圆有公共点，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
(1)
解：联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为.
若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合乎题意；
所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，解得或.
故所求切线方程为或，即或.
(2)
解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，
设点，由可得，
整理可得，
由题意可知，圆与圆有公共点，所以，，
即，解得.
所以，圆心的横坐标的取值范围是.
54．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【答案】(1)x－2y＋4＝0
(2)
(3)
【分析】（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；
（2）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程；
（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.
(1)
将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
(2)
设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为．
(3)
由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．
故面积最小的圆的方程为．
55．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）．
(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；
(2)圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12 若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x-y=0或x-y-4=0
(2)存在，点P的个数为2
【分析】（1）根据l∥AB，可得直线l的斜率为1，设直线l的方程为x-y+m=0，根据圆的弦长公式，结合题意，即可求得m值，即可得答案.
（2）设P（x，y），则，根据题意，化简可得x2+（y-1）2=4，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案.
（1）
圆C的标准方程为，所以圆心C（2，0），半径为2．
因为l∥AB，且A（-1，0），B（1，2），
所以直线l的斜率为．
设直线l的方程为x-y+m=0，
则圆心C到直线l的距离为．
因为，
而，所以，
解得m=0或m=-4，
所以直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0．
（2）
假设圆C上存在点P，设P（x，y），则，
所以PA2+PB2=，
整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4．
因为，
所以圆（x-2）2+y2=4与圆x2+（y-1）2=4相交，
所以点P的个数为2．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破2.5 直线与圆、圆与圆位置关系
A组 基础巩固
1．（2022·河南·高三开学考试）若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（ ）
A． B． C．1 D．－1
2．（2022·全国·高二课时练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西汉中·高一期末）直线l:被圆C：截得的弦长为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）直线与圆相切，则实数m等于（ ）
A．2 B． C．或 D．
8．（2021·甘肃平凉·高二期末（理））在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为2，则实数a的值为（ ）
A． B．2 C．或 D．1或
9．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
10．（2022·全国·高二单元测试）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数r等于（ ）
A．7 B．3 C．3或7 D．5
11．（2022·全国·高二课时练习）在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·高三专题练习）“a＝3”是“圆与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（2023·全国·高三专题练习）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
14．（2023·全国·高三专题练习）圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
15．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
16．（2022·上海中学东校高二期末）已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
17．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知直线与圆交于A、B两点，直线垂直平分弦AB，则a的值为______．
18．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知圆，则过原点且与相切的直线方程为______.
19．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．
20．（2023·全国·高三专题练习）过圆外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.
21．（2022·云南昆明·高二期末）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则______.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切，则实数a的值为_________．
23．（2022·全国·高一）已知圆，过点的直线被圆截得的弦长的最小值为_________
24．（2022·全国·高三专题练习）直线l过点截圆所得的弦长等于，则直线l的方程是___________．
25．（2022·江苏·高二单元测试）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.
26．（2022·全国·模拟预测）已知直线与圆相切，则直线被圆截得的弦长为______．
27．（2022·全国·高二专题练习）过点且与圆相切的直线的方程是______．
28．（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆有四条公切线，写出一个实数a的可能取值是______．
29．（2022·全国·高二课时练习）若圆与圆相切，则实数a的值为___________.
30．（2022·江苏·高二单元测试）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．
31．（2023·全国·高三专题练习）圆与圆的公共弦长为______．
32．（2021·北京·人大附中高二阶段练习）圆与圆内切，则实数的值为___________.
33．（2021·江苏·高二专题练习）圆：与圆：的位置关系是_______．
B组 能力提升
34．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）（多选题）已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）
A．直线必过定点 B．与可能相离
C．与可能相切 D．当时，被截得的弦长为
35．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
36．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
37．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
38．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）直线与圆相交于A，B两点，则线段的长度可能为（ ）
A． B． C．12 D．14
39．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选题）已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得直线与圆相切
B．若直线与圆交于两点，则的最小值为
C．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为
D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
40．（2022·江苏·高二阶段练习）（多选题）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
41．（2022·全国·高二单元测试）（多选题）已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆内切，则r＝9
B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
42．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
43．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（ ）
A．－4 B．－2 C． D．3
44．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交
45．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．若圆C关于直线l对称，则
C．若，则或 D．若A，B，C，O四点共圆，则
46．（2022·江苏·高二单元测试）（多选题）点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交
47．（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）已知圆：，直线：，点．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．
48．（2022·全国·高二单元测试）已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．
49．（2022·全国·高二课时练习）已知定点，动点满足，设动点P的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的轨迹方程．
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线QM，QN，切点分别为，判断直线是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
50．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C相切，求圆D的方程．
51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
52．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．
53．（2023·全国·高三专题练习）已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
54．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
55．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）．
(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；
(2)圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12 若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
