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突破2.5 直线与圆、圆与圆位置关系
A组 基础巩固
1.(2022·河南·高三开学考试)若直线与圆交于A,B两点,则当周长最小时,k=( )
A. B. C.1 D.-1
【答案】C
【分析】由直线方程可得直线恒过定点,由圆的几何性质可得当时,周长最小,由此可求的值.
【详解】直线的方程可化为
所以直线恒过定点,
因为
所以点在圆内,
由圆的性质可得当时,最小,周长最小,
又,
所以,此时.
故选:C.
2.(2022·全国·高二课时练习)若直线与曲线有两个交点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形,数形结合分析即可.
【详解】由题意,直线的方程可化为,所以直线恒过定点,,可化为其表示以为圆心,半径为2的圆的一部分,如图.
当与该曲线相切时,点到直线的距离,解得.
设,则.由图可得,若要使直线与曲线有两个交点,则.
故选:C.
3.(2022·陕西汉中·高一期末)直线l:被圆C:截得的弦长为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【分析】求出圆心到直线l:的距离,根据圆心距和圆的半径以及弦长之间的关系,即可求得答案.
【详解】由题意得圆心到直线l:的距离为,
故直线l:被圆C:截得的弦长为,
故选:B
4.(2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末)直线分别与x轴,y轴交于两点,点在圆,则面积的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】由题意首先求得的长度,然后确定圆上的点到直线的距离,最后确定三角形面积的取值范围.
【详解】解:因为,所以.
圆的标准方程,圆心,
圆心到直线的距离为,
所以,点到直线的距离的取值范围为:,
所以.
故选:C.
5.(2023·全国·高三专题练习)若直线始终平分圆的周长,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】分析可知直线过圆心,则,且有且,将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】圆的圆心为,由题意可知,直线过圆心,则,
因为,则且,
因此,,
当且仅当时,等号成立,故的最小值为.
故选:A.
6.(2023·全国·高三专题练习)已知圆,P为抛物线上的动点,过点P作圆的切线,则切线长的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.3
【答案】C
【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径,设,利用距离公式求出,根据二次函数的性质求出的最小值,即可求出切线长最小值;
【详解】解:圆的圆心为,半径,
因为为抛物线上的动点,设,
则,
所以当时,过点作圆的切线,此时切线长最小,最小为;
故选:C
7.(2022·上海市虹口高级中学高二期末)直线与圆相切,则实数m等于( )
A.2 B. C.或 D.
【答案】D
【分析】根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径求解即可
【详解】因为直线与圆相切,故,即,故
故选:D
8.(2021·甘肃平凉·高二期末(理))在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A. B.2 C.或 D.1或
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离公式,及弦心距计算即可得出结果.
【详解】圆心到直线的距离为,
又,解得:或.
故选:C
9.(2022·全国·高三专题练习)已知圆,点M为直线上一个动点,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则四边形周长的最小值为( )
A.8 B. C. D.
【答案】A
【分析】根据圆的切线性质,结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】圆的圆心坐标为,半径为,
因为过点M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,
所以有,,
因此有,
要想四边形周长最小,只需最小,即当时,
此时,此时,
即最小值为,
故选:A
【点睛】关键点睛:利用圆切线性质是解题的关键.
10.(2022·全国·高二单元测试)已知圆与圆,若圆与圆有且仅有一个公共点,则实数r等于( )
A.7 B.3 C.3或7 D.5
【答案】C
【分析】根据两圆内切或外切即可求解.
【详解】,
因为圆与圆有且仅有一个公共点,
所以圆与圆相内切或外切,
所以或,
所以或,
故选:.
11.(2022·全国·高二课时练习)在一个半圆中有两个互切的内切半圆,由三个半圆弧围成“曲线三角形”,作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块,且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的,如图,若,则阴影部分与最大半圆的面积比为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】设,则,,建立直角坐标系,根据已知条件求出各点坐标,由圆O与圆内切,解得,由圆O与圆内切,解得,分别求出阴影部分与最大半圆的面积,即可求出答案.
【详解】设,则,,以C为坐标原点,
建立如图所示的坐标系,则C(0,0),,,.
设,,则
(圆,外切与勾股定理结合),得,所以.
由圆O与圆内切,得,解得.
同理(圆,外切与勾股定理结合),
得,由圆O与圆内切,得,
解得.设阴影部分的面积为,最大半圆的面积为,
,
所以.
故选:B.
12.(2022·全国·高三专题练习)“a=3”是“圆与圆相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当两圆外切时,a=-3或a=3;当两圆内切时,a=1或a=-1.再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】解:若圆与圆相切,
当两圆外切时,,所以a=-3或a=3;
当两圆内切时,,所以a=1或a=-1.
当时,圆与圆相切,
所以“a=3”是“圆与圆相切”的充分条件.
当圆与圆相切时,不一定成立,
所以“a=3”是“圆与圆相切”的不必要条件.
所以“a=3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件.
故选:A
13.(2023·全国·高三专题练习)已知两圆分别为圆和圆,这两圆的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.内切 D.外切
【答案】B
【分析】先求出两圆圆心和半径,再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.
【详解】由题意得,圆圆心,半径为7;圆,圆心,半径为4,
两圆心之间的距离为,因为,故这两圆的位置关系是相交.
故选:B.
14.(2023·全国·高三专题练习)圆与圆的位置关系为( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.相离
【答案】A
【分析】根据两圆的位置关系的判定方法,即可求解.
【详解】由与圆,
可得圆心,半径,
则,且,
所以,所以两圆相交.
故选:A.
15.(2023·全国·高三专题练习)已知直线与圆交于两个不同点,则当弦最短时,圆与圆的位置关系是( )
A.内切 B.相离 C.外切 D.相交
【答案】D
【分析】由直线过定点且定点在圆内,当弦最短时直线垂直,根据斜率乘积为求出,进而求出圆的方程,再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.
【详解】易知直线过定点,弦最短时直线垂直,
又,所以,解得,
此时圆的方程是.
两圆圆心之间的距离,
又,所以这两圆相交.
故选:D.
16.(2022·上海中学东校高二期末)已知圆截直线所得的弦长为.则圆M与圆的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【答案】B
【分析】根据垂径定理可得参数的值,再利用几何法判断两圆的位置关系.
【详解】由,即,
故圆心,半径,
所以点到直线的距离,
故,即,
解得:;
所以,;
又,圆心,,
所以,
且,
即圆与圆相交,
故选:B.
17.(2022·山东·东营市第一中学高二期中)已知直线与圆交于A、B两点,直线垂直平分弦AB,则a的值为______.
【答案】4
【分析】由题意可得直线与垂直,可求出的值,再由直线垂直平分弦AB,可得直线过圆心,可求出.
【详解】因为直线与垂直,
所以,得,
由,得,则圆心为,
因为直线垂直平分弦AB,
所以直线过圆心,
所以,解得,
故答案为:4
18.(2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习)已知圆,则过原点且与相切的直线方程为______.
【答案】或
【分析】分斜率存在与不存在,利用由圆心到切线的距离等于半径,求解即得.
【详解】圆的圆心坐标,半径,
当切线的斜率不存在时,,显然到圆心的距离等于半径,故而是圆的一条切线;
当切线的斜率存在时,设斜率为,,
由圆心到切线的距离等于半径得,解得,
所以直线方程为.
故答案为:或.
19.(2022·河南·郑州四中高三阶段练习(文))已知圆,点P是直线上的动点,过P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则的最小值为______.
【答案】##
【分析】根据圆的切线的性质,结合三角形面积与,化简可得,进而得到,根据最短时,最短求解即可
【详解】圆,即,
由于PA,PB分别切圆C于点A,B,则,
,,所以,
因为,所以,
又,所以,
所以,即,
所以最短时,最短,
点C到直线的距离即为的最小值,
所以,所以的最小值为
故答案为:
20.(2023·全国·高三专题练习)过圆外一点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B.若△PAB为等边三角形,则过D(2,1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.
【答案】
【分析】先根据∠APC=30°,可得P点轨迹方程为圆,再数形结合可知当l与CD垂直时,l被圆所截得的弦长最短,结合垂径定理计算即可
【详解】由题意知,连接PC,因为△PAB为等边三角形,所以∠APC=30°,所以,所以P点轨迹的方程为.因为,所以点D(2,1)在圆(x-1)2+y2=4的内部.连接CD,结合图形可知,当l与CD垂直时,l被圆所截得的弦长最短,最短弦长为
故答案为:
21.(2022·云南昆明·高二期末)已知直线l:与圆C:相交于A,B两点,则______.
【答案】
【分析】先计算圆心到直线的距离,然后代入公式计算.
【详解】已知圆心为,半径为,
圆心到直线的距离为,
所以.
故答案为:
22.(2023·全国·高三专题练习)已知直线与圆相切,则实数a的值为_________.
【答案】
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可求解的值.
【详解】解:由题可得圆的圆心为,半径为,
因为直线与圆相切,
所以圆心到直线的距离,
即,解得.
故答案为:.
23.(2022·全国·高一)已知圆,过点的直线被圆截得的弦长的最小值为_________
【答案】
【分析】圆心为,过的弦中与垂直的弦的长度最小,由此计算可得.
【详解】圆标准方程为,圆心为,半径为,
,与垂直的弦的弦长为,即为所求弦长的最小值.
故答案为:.
24.(2022·全国·高三专题练习)直线l过点截圆所得的弦长等于,则直线l的方程是___________.
【答案】或
【分析】讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,利用圆心到直线的距离等于半径进行计算即可得到答案.
【详解】因为圆的半径为2,弦长为,所以圆心到直线l的距离,
当直线l斜率不存在时,,满足题意;
当直线l斜率存在时,设,由圆心到直线距离为1得解得,所以l的方程为或.
故答案为:或.
25.(2022·江苏·高二单元测试)已知动点到点的距离是到点的距离的2倍,记点的轨迹为,直线交于,两点,,若的面积为2,则实数的值为___________.
【答案】或1##1或
【分析】先求得点的轨迹的方程,再利用的面积为2列出关于实数的方程,进而求得实数的值
【详解】设,则有
整理得,即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆
点到直线的距离
直线交于,两点,则
则的面积
解之得或
故答案为:或1
26.(2022·全国·模拟预测)已知直线与圆相切,则直线被圆截得的弦长为______.
【答案】
【分析】根据直线与圆相切可得,即,由此可知圆心到直线的距离,再根据勾股定理即可得到结果.
【详解】由直线与圆相切可得,得,
则圆心到直线的距离为,
所以直线被圆截得的弦长为.
故答案为:.
27.(2022·全国·高二专题练习)过点且与圆相切的直线的方程是______.
【答案】或
【分析】当直线斜率不存在时,可得直线,分析可得直线与圆相切,满足题意,当直线斜率存在时,设斜率为k,可得直线l的方程,由题意可得圆心到直线的距离,即可求得k值,综合即可得答案.
【详解】当直线l的斜率不存在时,因为过点,
所以直线,
此时圆心到直线的距离为1=r,
此时直线与圆相切,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设斜率为k,
所以,即,
因为直线l与圆相切,
所以圆心到直线的距离,解得,
所以直线l的方程为.
综上:直线的方程为或
故答案为:或
28.(2022·全国·高二课时练习)已知圆与圆有四条公切线,写出一个实数a的可能取值是______.
【答案】4(答案不唯一)
【分析】根据圆的标准方程,确定圆心和半径,由四条公切线,确定圆与圆的位置关系为外离,可得答案.
【详解】圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,因为两圆有四条公切线,所以两圆外离,又两圆的圆心距,所以,解得或,所以实数a的可能取值为4.
故答案为:4(答案不唯一)
29.(2022·全国·高二课时练习)若圆与圆相切,则实数a的值为___________.
【答案】或
【分析】由已知可得圆心距或,根据两点距离公式列方程求a的值.
【详解】圆的圆心为,半径为r,
圆的圆心为,半径为2r.
当两圆外切时,有,此时;
当两圆内切时,有,此时.
综上,实数a的值为或.
故答案为:或
30.(2022·江苏·高二单元测试)已知圆与圆外切,此时直线被圆所截的弦长_________.
【答案】
【分析】将圆的方程写成标准形式,然后根据两圆外切,可得圆心距离为半径之和,可得,接着计算到直线的距离,最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
【详解】由题可知:
,即
且
由两圆向外切可知,解得
所以
到直线的距离为,设圆的半径为
则直线被圆所截的弦长为
故答案为:
31.(2023·全国·高三专题练习)圆与圆的公共弦长为______.
【答案】
【分析】先求两圆公共弦方程,再利用弦心距,弦长,半径之间的关系求解
【详解】设圆:与圆:交于,两点
把两圆方程相减,化简得
即:
圆心到直线的距离,又
而,所以
故答案为:
32.(2021·北京·人大附中高二阶段练习)圆与圆内切,则实数的值为___________.
【答案】1
【分析】求出两圆的圆心和半径,然后根据圆心距离等于半径差列式计算即可.
【详解】圆的标准式为,其圆心为,半径为6,
圆的圆心为,半径为,
由于在圆的内部,又两圆内切,
则,解得
故答案为:1.
33.(2021·江苏·高二专题练习)圆:与圆:的位置关系是_______.
【答案】外离
【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径,利用两点间的距离公式,求出两圆心的距离d,即可求出结果.
【详解】圆:的标准方程为,
圆:的标准方程为,
圆心坐标分别为和,半径分别为和,
所以两圆心之间的距离,
又,
所以两圆的位置关系是外离.
故答案为:外离
B组 能力提升
34.(2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试)(多选题)已知直线与圆,则下列结论正确的是( )
A.直线必过定点 B.与可能相离
C.与可能相切 D.当时,被截得的弦长为
【答案】AC
【分析】将直线方程化为,由,得,从而判断A;
由直线过定点,而点在圆上,判断B,C;
根据直线与圆相交时的弦长公式计算出弦长从而判断D.
【详解】解:对于A,由可得,由,得,
所以直线过定点,故A正确;
对于B,因为直线过定点,而点在圆上,所以直线与不可能相离,故B错误;
对于C,因为直线过定点,而点在圆上,所以直线与可能相切,故C正确;
对于D,当时,直线的方程为:,设圆心到直线的距离为,则,
所以被截得的弦长为:,故D错误.
故选:AC.
35.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)若直线与圆相切,则直线与圆的位置关系可能是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
【答案】AC
【分析】根据直线与圆相切,由圆心到直线的距离等于半径,可解得斜率的值,则由另一个圆的圆心到直线的距离,与半径比较,可得答案.
【详解】由圆C的方程知其圆心C(2,1),半径为.
因为直线l与圆C相切,所以,解得.
由圆D的方程知其圆心D(2,0),半径,圆心D到直线l的距离.
当时,,即,此时直线l与圆D相离;
当时,,即,此时直线l与圆D相交.
综上所述,直线l与圆D相交或相离.
故选:AC.
36.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)过点作与圆相切的直线l,则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【分析】将圆的方程配成标准式,即可得到圆心坐标与半径,再分斜率存在与不存在两种情况讨论,分别求出切线方程.
【详解】解:圆,即,则圆心为,半径为1,易知点在圆外,
显然是其中一条切线.
当切线斜率存在时,设切线方程为,则,解得,
所以切线方程为.综上,切线方程为或.
故选:BC.
37.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)若直线被圆所截得的弦长为,则实数a的值为( )
A.0 B.4 C. D.
【答案】AB
【分析】由圆的半径和弦长求出圆心到直线的距离,再利用点到直线的距离列方程可求出a的值
【详解】由圆的方程可知圆心坐标为,半径.
又直线被圆截得的弦长为,
所以圆心到直线的距离.
又,
所以,解得或.
故选:AB
38.(2023·全国·高三专题练习)(多选题)直线与圆相交于A,B两点,则线段的长度可能为( )
A. B. C.12 D.14
【答案】BC
【分析】直线过定点,在圆内,易知直线与垂直时弦长最短,直线过圆心时弦长最长.
【详解】直线过圆C内一定点,当直线经过圆C的圆心时,有最大值12;当为线段中点时,有最小值,所以.故选:BC.
39.(2022·湖南·长沙一中模拟预测)(多选题)已知直线和圆,则下列说法正确的是( )
A.存在,使得直线与圆相切
B.若直线与圆交于两点,则的最小值为
C.对任意,圆上恒有4个点到直线的距离为
D.当时,对任意,曲线恒过直线与圆的交点
【答案】BCD
【分析】根据直线经过的定点在圆内,可判断A不正确;
根据圆心到直线的距离的最大值求出的最小值,可判断B正确;
根据圆心到直线的距离,可判断C正确;
将曲线的方程化为,可判断D正确.
【详解】对于A,因为直线过定点,且,即定点在圆内,所以不存在,使得直线与圆相切,故A不正确;
对于B,因为圆心到直线的距离的最大值为,
所以的最小值为,故B正确;
对于C,因为圆心到直线的距离,所以,
所以对任意,圆上恒有4个点到直线的距离为,故C正确;
对于D,当时,直线,曲线,即就是过直线与圆的交点的曲线方程,故D正确.
故选:BCD.
40.(2022·江苏·高二阶段练习)(多选题)圆和圆的交点为A,B,则有( )
A.公共弦AB所在直线的方程为
B.公共弦AB所在直线的方程为
C.公共弦AB的长为
D.P为圆上一动点,则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AD
【分析】对于AB,两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB所在直线的方程,对于C,求出圆心到公共弦的距离,然后利用弦心距,弦和半径的关系可求出公共弦的长,对于D,点P到直线AB距离的最大值为
【详解】由与作差可得,
即公共弦AB所在直线的方程为,故A正确,B错误;
对于C,圆心到直线的距离为,圆的半径,
所以,故C错误;
对于D,点P为圆上一动点,则点P到直线AB距离的最大值为,故D正确.
故选:AD.
41.(2022·全国·高二单元测试)(多选题)已知两圆的方程分别为,,则下列说法正确的是( )
A.若两圆内切,则r=9
B.若两圆的公共弦所在直线的方程为8x-6y-37=0,则r=2
C.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=3
D.若两圆有三条公切线,则r=2
【答案】ABC
【分析】根据两圆内,外切切的条件可确定AD的正误,由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误,根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距,半径可构成直角三角形即可判断D.
【详解】圆的圆心为(0,0),半径为4,圆的圆心为(4,-3),半径为r,两圆的圆心距.
对于A,若两圆内切,则,则r=9,故A正确;
对于B,联立两圆的方程可得,令,得r=2,故B正确;对于C,若两圆在交点处的切线互相垂直,则一个圆的切线必过另一个圆的圆心,
(圆的切线与经过切点的半径垂直,又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点,所以两切线分别与另一圆的半径重合,半径经过圆心,所以此时两切线经过圆心)
分别设两圆的圆心为,则
如图,所以,解得r=3,故C正确;
对于D,若两圆有三条公切线,则两圆外切,则,得r=1,故D错误.
故选:ABC
42.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)已知圆,圆,则下列是M,N两圆公切线的直线方程为( )
A.y=0 B.3x-4y=0 C. D.
【答案】ACD
【分析】先判断两圆的位置关系可知,两圆相离,公切线有四条,然后由圆的方程可知,两圆关于原点O对称,即可知有两条公切线过原点O,另两条公切线与直线MN平行,设出直线方程,再根据点到直线的距离公式求出直线方程,从而解出.
【详解】圆M的圆心为M(2,1),半径.圆N的圆心为N(-2,-1),半径.圆心距,两圆相离,故有四条公切线.又两圆关于原点O对称,则有两条切线过原点O,设切线方程为y=kx,则圆心到直线的距离,解得k=0或,对应方程分别为y=0,4x-3y=0.另两条切线与直线MN平行,而,设切线方程为,则,解得,切线方程为,.
故选:ACD.
43.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)已知圆与圆有四条公切线,则实数a的取值可能是( )
A.-4 B.-2 C. D.3
【答案】AD
【分析】根据题意可知,两圆外离,即圆心距大于两圆半径之和,解不等式即可得解.
【详解】圆心,半径,圆心,半径.因为两圆有四条公切线,所以两圆外离.又两圆圆心距,所以,解得或.
故选:AD.
44.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)已知,则下述正确的是( )
A.圆C的半径 B.点在圆C的内部
C.直线与圆C相切 D.圆与圆C相交
【答案】ACD
【分析】先将圆方程化为标准方程,求出圆心和半径,然后逐个分析判断即可
【详解】由,得,则圆心,半径,
所以A正确,
对于B,因为点到圆心的距离为,所以点在圆C的外部,所以B错误,
对于C,因为圆心到直线的距离为,
所以直线与圆C相切,所以C正确,
对于D,圆的圆心为,半径,
因为,,
所以圆与圆C相交,所以D正确,
故选:ACD
45.(2022·全国·高三专题练习)(多选题)已知直线l:与圆C:相交于A,B两点,O为坐标原点,下列说法正确的是( )
A.的最小值为 B.若圆C关于直线l对称,则
C.若,则或 D.若A,B,C,O四点共圆,则
【答案】ACD
【分析】判断出直线过定点,结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
【详解】直线过点,
圆,即①,
圆心为,半径为,
由于,所以在圆内.,
所以,此时,所以A选项正确.
若圆关于直线对称,则直线过两点,斜率为,所以B选项错误.
设,则,此时三角形是等腰直角三角形,
到直线的距离为,即,
解得或,所以C选项正确.
对于D选项,若四点共圆,设此圆为圆,圆的圆心为,
的中点为,,
所以的垂直平分线为,则②,
圆的方程为,
整理得③,
直线是圆和圆的交线,
由①-③并整理得,
将代入上式得,④,
由②④解得,
所以直线即直线的斜率为,D选项正确.
故选:ACD
【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目,首先要注意的是圆和直线的位置,是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断,也可以通过直线所过定点来进行判断.
46.(2022·江苏·高二单元测试)(多选题)点在圆上,点在圆上,则( )
A.的最小值为3 B.的最大值为7
C.两个圆心所在的直线斜率为 D.两个圆相交
【答案】ABC
【分析】根据题意,由圆的方程求出两个圆的圆心分别为、,半径分别为、r=1;根据两点间距离公式求出圆心距,与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系,判断选项D;的最小值为可判断A;的最大值为可判断B;根据经过两点直线斜率计算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率,从而判断C.
【详解】根据题意,圆,其圆心,半径,
圆,即,其圆心,半径,圆心距>R+r,故两圆外离,故D错误;
则的最小值为,最大值为,故A正确,B正确;
对于C,两个圆心所在的直线斜率,故C正确.
故选:ABC.
47.(2021·吉林油田高级中学高二开学考试)已知圆:,直线:,点.
(1)判断直线与圆的位置关系;
(2)设直线与圆交于不同的两点,求弦的中点的轨迹方程;
(3)在(2)的条件下,若,求直线的方程.
【答案】(1)相交
(2)
(3)或
【分析】(1)先求出动直线经过的定点,判断定点和圆的位置关系即可;
(2)连接圆心和弦的中点,利用垂径定理找出几何关系来解决;
(3)联立直线和圆的方程,利用韦达定理来解决.
(1)
因为直线:过定点,
又,所以在圆内,
所以直线与圆相交;
(2)
设,当与不重合,即时,连接,,则,根据勾股定理.则,化简得:();当与重合时,,也满足上式,故弦的中点的轨迹方程为;
(3)
设,,因为,所以,
所以,化简得. ①
又消去并整理得,
所以②,. ③
由①②③联立,解得,
所以直线的方程为或.
48.(2022·全国·高二单元测试)已知圆,直线,当时,直线l与圆O恰好相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若直线l上存在距离为2的两点M,N,在圆O上存在一点P,使得,求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径可求解.
(2)分直线l与圆有公共点和无公共点两种情况讨论,再结合,则点P在以MN为直径的圆上,由两圆有公共点即可求解.
(1)
当时.圆心O到直线l的距离为,则r=2,
所以圆O的方程为.
(2)
圆心O到直线l的距离
①当直线l与圆O有公共点,即,解得,
若点P与点M(或N)重合,则满足,符合题意.
②当直线l与圆O无公共点,即,解得或,
由,可知点P在以MN为直径的圆上,设线段MN的中点为,
则圆Q的方程为,
又圆Q与圆O有公共点,设圆Q的半径 ,圆O的半径,
则,
只需点O到直线l的距离,
所以或.
综上,实数k的取值范围为.
49.(2022·全国·高二课时练习)已知定点,动点满足,设动点P的轨迹为曲线,直线.
(1)求曲线的轨迹方程.
(2)若,是直线上的动点,过作曲线的两条切线QM,QN,切点分别为,判断直线是否过定点.若过定点,写出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);
(2)直线过定点.
【分析】(1)设点,根据两点间的距离公式即得;
(2)设,由题可得以线段为直径的圆的方程,进而可得直线的方程,即得.
(1)
设点的坐标为,
因为,
所以,
化简,得,
所以曲线的轨迹方程为;
(2)
由题意,可知,,
所以点都在以线段为直径的圆上,
又是直线上的动点,设,
所以以线段为直径的圆心为,
所以圆的方程为,即,
因为点在曲线上,
所以,可得,
所以直线的方程为,即,
由,得,
所以直线过定点.
50.(2022·全国·高二课时练习)已知圆.
(1)若直线过定点,且与圆C相切,求直线的方程;
(2)若圆D的半径为3,圆心在直线上,且与圆C相切,求圆D的方程.
【答案】(1)或;
(2)或或或.
【分析】(1)设的直线方程为(可以避开斜率为0和不存在情况),再用圆心到直线距离等于半径找出关系即可;
(2)讨论圆D与圆内切还是外切,分别计算出两种情况时的圆心坐标即可.
(1)
圆的圆心,半径,
因为直线过定点,所以可设直线的方程为,
因为直线与圆C相切,所以,整理得,则或,
当时,直线的方程为;
当时,直线的方程为.所以直线的方程为或.
(2)
因为圆D的圆心在直线上,所以可设,则.
当圆D与圆C外切时,,
即,解得或,所以圆D的方程为或.
当圆D与圆C内切时,,即,解得或,所以圆D的方程为或.
综上,圆D的方程为或或或.
51.(2022·全国·高三专题练习)已知圆与圆.
(1)求证:圆与圆相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程;
(3)求经过两圆交点,且圆心在直线上的圆的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】(1)将两圆方程化成标准式,即可得到圆心坐标与半径,再求出圆心距,即可证明;
(2)将两圆方程作差,即可求出公共弦方程;
(3)首先求出两圆的交点坐标,设圆心为,根据得到方程,即可求出,从而求出圆心坐标与半径,从而得到圆的方程.
(1)
证明:圆:化为标准方程为,
,
圆的圆心坐标为,半径为,
,
,两圆相交;
(2)
解:由圆与圆,
将两圆方程相减,可得,
即两圆公共弦所在直线的方程为;
(3)
解:由,解得,
则交点为,,
圆心在直线上,设圆心为,
则,即,解得,
故圆心,半径,
所求圆的方程为.
52.(2022·全国·高三专题练习)已知圆C:,其中.
(1)已知圆C与圆:外切,求m的值;
(2)如果直线与C相交所得的弦长为,求m的值.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)解方程即得解;
(2)解方程即得解.
(1)
解:由圆,可得,
则圆心,半径,
由圆,可得圆心,半径,
因为两圆外切,
则,
解得.
(2)
解:圆的圆心坐标为,半径为.
圆心到直线的距离,
又直线与圆相交所得的弦长为,
,解得.
的值为.
53.(2023·全国·高三专题练习)已知在平面直角坐标系中,点,直线.设圆的半径为,圆心在直线上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)求出圆心的坐标,设出切线的方程,利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值,即可得出所求切线的方程;
(2)设点,由已知可得,分析可知圆与圆有公共点,可得出关于的不等式组,由此可解得实数的取值范围.
(1)
解:联立,解得,即圆心,所以,圆的方程为.
若切线的斜率不存在,则切线的方程为,此时直线与圆相离,不合乎题意;
所以,切线的斜率存在,设所求切线的方程为,即,
由题意可得,整理可得,解得或.
故所求切线方程为或,即或.
(2)
解:设圆心的坐标为,则圆的方程为,
设点,由可得,
整理可得,
由题意可知,圆与圆有公共点,所以,,
即,解得.
所以,圆心的横坐标的取值范围是.
54.(2022·江苏·高二专题练习)已知圆:与:相交于A、B两点.
(1)求公共弦AB所在的直线方程;
(2)求圆心在直线y=-x上,且经过A、B两点的圆的方程;
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程.
【答案】(1)x-2y+4=0
(2)
(3)
【分析】(1)两圆相减,可得公共弦所在直线方程;
(2)首先设圆系方程(为常数),根据圆心在直线上,求,即可求得圆的方程;
(3)面积最小的圆,就是以线段AB为直径的圆,即可求得圆心和半径.
(1)
将两圆方程相减得x-2y+4=0,此即为所求直线方程.
(2)
设经过A、B两点的圆的方程为(为常数),
则圆心坐标为;又圆心在直线y=-x上,故,
解得,故所求方程为.
(3)
由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小.两圆心所在直线方程为2x+y+3=0,
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为,由弦长公式可知所求圆的半径为.
故面积最小的圆的方程为.
55.(2023·全国·高三专题练习)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).
(1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,且MN=AB,求直线l的方程;
(2)圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12 若存在,求点P的个数;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)x-y=0或x-y-4=0
(2)存在,点P的个数为2
【分析】(1)根据l∥AB,可得直线l的斜率为1,设直线l的方程为x-y+m=0,根据圆的弦长公式,结合题意,即可求得m值,即可得答案.
(2)设P(x,y),则,根据题意,化简可得x2+(y-1)2=4,根据圆心距可得两圆的位置关系,即可得答案.
(1)
圆C的标准方程为,所以圆心C(2,0),半径为2.
因为l∥AB,且A(-1,0),B(1,2),
所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为x-y+m=0,
则圆心C到直线l的距离为.
因为,
而,所以,
解得m=0或m=-4,
所以直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0.
(2)
假设圆C上存在点P,设P(x,y),则,
所以PA2+PB2=,
整理得x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4.
因为,
所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,
所以点P的个数为2.
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突破2.5 直线与圆、圆与圆位置关系
A组 基础巩固
1.(2022·河南·高三开学考试)若直线与圆交于A,B两点,则当周长最小时,k=( )
A. B. C.1 D.-1
2.(2022·全国·高二课时练习)若直线与曲线有两个交点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.(2022·陕西汉中·高一期末)直线l:被圆C:截得的弦长为
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末)直线分别与x轴,y轴交于两点,点在圆,则面积的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.(2023·全国·高三专题练习)若直线始终平分圆的周长,则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.(2023·全国·高三专题练习)已知圆,P为抛物线上的动点,过点P作圆的切线,则切线长的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.3
7.(2022·上海市虹口高级中学高二期末)直线与圆相切,则实数m等于( )
A.2 B. C.或 D.
8.(2021·甘肃平凉·高二期末(理))在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A. B.2 C.或 D.1或
9.(2022·全国·高三专题练习)已知圆,点M为直线上一个动点,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则四边形周长的最小值为( )
A.8 B. C. D.
10.(2022·全国·高二单元测试)已知圆与圆,若圆与圆有且仅有一个公共点,则实数r等于( )
A.7 B.3 C.3或7 D.5
11.(2022·全国·高二课时练习)在一个半圆中有两个互切的内切半圆,由三个半圆弧围成“曲线三角形”,作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块,且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的,如图,若,则阴影部分与最大半圆的面积比为( )
A. B. C. D.
12.(2022·全国·高三专题练习)“a=3”是“圆与圆相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
13.(2023·全国·高三专题练习)已知两圆分别为圆和圆,这两圆的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.内切 D.外切
14.(2023·全国·高三专题练习)圆与圆的位置关系为( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.相离
15.(2023·全国·高三专题练习)已知直线与圆交于两个不同点,则当弦最短时,圆与圆的位置关系是( )
A.内切 B.相离 C.外切 D.相交
16.(2022·上海中学东校高二期末)已知圆截直线所得的弦长为.则圆M与圆的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
17.(2022·山东·东营市第一中学高二期中)已知直线与圆交于A、B两点,直线垂直平分弦AB,则a的值为______.
18.(2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习)已知圆,则过原点且与相切的直线方程为______.
19.(2022·河南·郑州四中高三阶段练习(文))已知圆,点P是直线上的动点,过P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则的最小值为______.
20.(2023·全国·高三专题练习)过圆外一点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B.若△PAB为等边三角形,则过D(2,1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.
21.(2022·云南昆明·高二期末)已知直线l:与圆C:相交于A,B两点,则______.
22.(2023·全国·高三专题练习)已知直线与圆相切,则实数a的值为_________.
23.(2022·全国·高一)已知圆,过点的直线被圆截得的弦长的最小值为_________
24.(2022·全国·高三专题练习)直线l过点截圆所得的弦长等于,则直线l的方程是___________.
25.(2022·江苏·高二单元测试)已知动点到点的距离是到点的距离的2倍,记点的轨迹为,直线交于,两点,,若的面积为2,则实数的值为___________.
26.(2022·全国·模拟预测)已知直线与圆相切,则直线被圆截得的弦长为______.
27.(2022·全国·高二专题练习)过点且与圆相切的直线的方程是______.
28.(2022·全国·高二课时练习)已知圆与圆有四条公切线,写出一个实数a的可能取值是______.
29.(2022·全国·高二课时练习)若圆与圆相切,则实数a的值为___________.
30.(2022·江苏·高二单元测试)已知圆与圆外切,此时直线被圆所截的弦长_________.
31.(2023·全国·高三专题练习)圆与圆的公共弦长为______.
32.(2021·北京·人大附中高二阶段练习)圆与圆内切,则实数的值为___________.
33.(2021·江苏·高二专题练习)圆:与圆:的位置关系是_______.
B组 能力提升
34.(2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试)(多选题)已知直线与圆,则下列结论正确的是( )
A.直线必过定点 B.与可能相离
C.与可能相切 D.当时,被截得的弦长为
35.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)若直线与圆相切,则直线与圆的位置关系可能是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
36.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)过点作与圆相切的直线l,则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.
37.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)若直线被圆所截得的弦长为,则实数a的值为( )
A.0 B.4 C. D.
38.(2023·全国·高三专题练习)(多选题)直线与圆相交于A,B两点,则线段的长度可能为( )
A. B. C.12 D.14
39.(2022·湖南·长沙一中模拟预测)(多选题)已知直线和圆,则下列说法正确的是( )
A.存在,使得直线与圆相切
B.若直线与圆交于两点,则的最小值为
C.对任意,圆上恒有4个点到直线的距离为
D.当时,对任意,曲线恒过直线与圆的交点
40.(2022·江苏·高二阶段练习)(多选题)圆和圆的交点为A,B,则有( )
A.公共弦AB所在直线的方程为
B.公共弦AB所在直线的方程为
C.公共弦AB的长为
D.P为圆上一动点,则P到直线AB距离的最大值为
41.(2022·全国·高二单元测试)(多选题)已知两圆的方程分别为,,则下列说法正确的是( )
A.若两圆内切,则r=9
B.若两圆的公共弦所在直线的方程为8x-6y-37=0,则r=2
C.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=3
D.若两圆有三条公切线,则r=2
42.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)已知圆,圆,则下列是M,N两圆公切线的直线方程为( )
A.y=0 B.3x-4y=0 C. D.
43.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)已知圆与圆有四条公切线,则实数a的取值可能是( )
A.-4 B.-2 C. D.3
44.(2022·全国·高二课时练习)(多选题)已知,则下述正确的是( )
A.圆C的半径 B.点在圆C的内部
C.直线与圆C相切 D.圆与圆C相交
45.(2022·全国·高三专题练习)(多选题)已知直线l:与圆C:相交于A,B两点,O为坐标原点,下列说法正确的是( )
A.的最小值为 B.若圆C关于直线l对称,则
C.若,则或 D.若A,B,C,O四点共圆,则
46.(2022·江苏·高二单元测试)(多选题)点在圆上,点在圆上,则( )
A.的最小值为3 B.的最大值为7
C.两个圆心所在的直线斜率为 D.两个圆相交
47.(2021·吉林油田高级中学高二开学考试)已知圆:,直线:,点.
(1)判断直线与圆的位置关系;
(2)设直线与圆交于不同的两点,求弦的中点的轨迹方程;
(3)在(2)的条件下,若,求直线的方程.
48.(2022·全国·高二单元测试)已知圆,直线,当时,直线l与圆O恰好相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若直线l上存在距离为2的两点M,N,在圆O上存在一点P,使得,求实数k的取值范围.
49.(2022·全国·高二课时练习)已知定点,动点满足,设动点P的轨迹为曲线,直线.
(1)求曲线的轨迹方程.
(2)若,是直线上的动点,过作曲线的两条切线QM,QN,切点分别为,判断直线是否过定点.若过定点,写出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
50.(2022·全国·高二课时练习)已知圆.
(1)若直线过定点,且与圆C相切,求直线的方程;
(2)若圆D的半径为3,圆心在直线上,且与圆C相切,求圆D的方程.
51.(2022·全国·高三专题练习)已知圆与圆.
(1)求证:圆与圆相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程;
(3)求经过两圆交点,且圆心在直线上的圆的方程.
52.(2022·全国·高三专题练习)已知圆C:,其中.
(1)已知圆C与圆:外切,求m的值;
(2)如果直线与C相交所得的弦长为,求m的值.
53.(2023·全国·高三专题练习)已知在平面直角坐标系中,点,直线.设圆的半径为,圆心在直线上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
54.(2022·江苏·高二专题练习)已知圆:与:相交于A、B两点.
(1)求公共弦AB所在的直线方程;
(2)求圆心在直线y=-x上,且经过A、B两点的圆的方程;
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程.
55.(2023·全国·高三专题练习)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).
(1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,且MN=AB,求直线l的方程;
(2)圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12 若存在,求点P的个数;若不存在,请说明理由.
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