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突破2.5 直线与圆、圆与圆位置关系
一、考情分析
二、考点梳理
一、直线与圆的位置关系
设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d= ,
由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二、圆的切线
1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线;
2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点;
3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.
4.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法
(1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率为- ;若
斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.
(2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即
可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).
5.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论
(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;
(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;
(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D·
+E·+F=0.
三、圆的弦长的方法
1.交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解.
2.弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=.
(3)几何法:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l=
四、利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法
1.由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关
知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有:
①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率;
②关于x、y的一次式常转化为直线的截距;
③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离等.
2.转化成函数解析式,利用函数的性质解决.
3.利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目
标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.
五、圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系
外离、外切、相交、内切和内含.
2.两圆的位置关系的判定
(1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=
0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断.
(2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断.
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点个数 0 1 2 1 0
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0
d与的关系
公切线条数 4 3 2 1 0
3.两圆的公共弦所在直线方程的求法
设☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
若两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.
故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的方程.
当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.
当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程. 若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.
三、题型突破
重难点突破01 直线与圆的位置关系
例1．（1）、（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
（2）、（2021·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））若直线与圆相切，则的值为（ ）
A．0或2 B．2 C． D．4
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切
【变式训练1-2】．（2021·新疆昌吉·高一期末）若直线与圆相切，则
A． B． C． D．
重难点突破02 与圆的弦长有关问题（垂径定理）
例2.（1）、（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2020·抚顺市第十二中学高二期中）（多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为
C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为
【变式训练2-1】．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【变式训练2-2】、（2022·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
重难点突破03 圆的切线问题
例3．（1）、（2022·安徽蚌埠·一模）过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2020·重庆复旦中学高二月考）（多选题）点是直线上的动点，由点向圆：作切线，则切线长可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】．（多选题）（2020山东泰安一中高二期中）若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是( )
A.-1 B.- C. D.
【变式训练3-2】．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））若圆与圆有3条公切线，则正数（ ）
A．3 B．3 C．5 D．3或3
重难点突破04 圆与圆的位置关系
例4.（1）、（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆外切，则m的值为（ ）
A．1 B．9 C．10 D．16
（2）、（2022·全国·高二课时练习）已知圆和，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【变式训练4-1】．（2021·全国）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____．
【变式训练4-2】．（2022·广东·中山一中高三阶段练习）已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.
重难点突破05 两圆的公切线与公共弦问题与圆的最值问题
例5.（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．的最小值为4
C．的取值范围为
D．当最小时，其余弦值为
【变式训练5-1】．（2022·江苏·高二单元测试）已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】．（2022·全国·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点，，点，则的最大值为______．
重难点突破06 圆的综合问题
例6、（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知圆和直线相切于点.
(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；
(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
例7、（2021·江苏高二课时练习）已知点在圆上运动.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
例8．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆，过点O及点的圆N与圆M外切．
(1)求圆N的标准方程．
(2)直线MN上是否存在点B，使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为P，Q（不重合），满足？若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．
例9、（2019·湖北黄石·）已知点在圆上.
（1）求的取值范围；
（2）求的最大值和最小值.
四、题型分析
1．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
2．（2020·湖南·平江县第三中学高一期中）圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
3．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的公共弦长为（ ）
A．6 B． C．4 D．
4．（2022·河北沧州·二模）（多选题）已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则直线恒过定点
B．若，则圆可能过点
C．若，则圆关于直线对称
D．若，则直线与圆相交所得的弦长为2
5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，若直线被圆截得的弦长为1，则_______.
6（2022·全国·高二课时练习）已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____．
7．（2022·全国·高二课时练习）已知关于x，y的方程为．
(1)若该方程表示圆，且点不在圆内，求m的最小值；
(2)在（1）的条件下，当圆的面积最大时记圆为，若圆与圆相交，求实数a的取值范围．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知直线过定点，且与圆交于、两点．
(1)求直线的斜率的取值范围．
(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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突破2.5 直线与圆、圆与圆位置关系
一、考情分析
二、考点梳理
一、直线与圆的位置关系
设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d= ,
由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二、圆的切线
1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线;
2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点;
3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.
4.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法
(1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率为- ;若
斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.
(2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即
可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).
5.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论
(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;
(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;
(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D·
+E·+F=0.
三、圆的弦长的方法
1.交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解.
2.弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=.
(3)几何法:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l=
四、利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法
1.由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关
知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有:
①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率;
②关于x、y的一次式常转化为直线的截距;
③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离等.
2.转化成函数解析式,利用函数的性质解决.
3.利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目
标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.
五、圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系
外离、外切、相交、内切和内含.
2.两圆的位置关系的判定
(1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=
0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断.
(2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断.
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点个数 0 1 2 1 0
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0
d与的关系
公切线条数 4 3 2 1 0
3.两圆的公共弦所在直线方程的求法
设☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
若两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.
故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的方程.
当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.
当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程. 若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.
三、题型突破
重难点突破01 直线与圆的位置关系
例1．（1）、（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
【答案】B
【解析】由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1，则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B
（2）、（2021·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））若直线与圆相切，则的值为（ ）
A．0或2 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】由圆心到直线的距离等于半径可得参数值．
【详解】由已知且，解得．
故选：B．
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断.
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为.
因为圆心到直线的距离为
，
所以直线和圆相交.
故选：A
【变式训练1-2】．（2021·新疆昌吉·高一期末）若直线与圆相切，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解.
【详解】
由题得圆的圆心坐标为（0,0），
所以.
故选C
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
重难点突破02 与圆的弦长有关问题（垂径定理）
例2.（1）、（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．
【详解】解：圆的圆心为，半径，
又直线，直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距为．
所截得的最短弦长：．
故选：C．
（2）．（2020·抚顺市第十二中学高二期中）（多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为
C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为
【答案】ABC
【分析】
求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断．
【详解】
直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确；
在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确；
，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确；
直线被圆截得弦最长时，直线过圆心，则，，直线方程为，即．D错．
故选：ABC．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．（1）直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒等式知识可得定点坐标．（2）直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆内，则直线与圆相交，若定点在圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．（3）直线过圆心时弦长最长，直线所过定点是弦中点时，弦长最短．
【变式训练2-1】．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】B
【解析】圆心，，设圆心到直线的距离为，
∴，，∴，
∴．
【变式训练2-2】、（2022·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
【答案】4
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.
【详解】解：圆C：，其圆心坐标为，半径为3．
圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，
则．
故答案为:4.
重难点突破03 圆的切线问题
例3．（1）、（2022·安徽蚌埠·一模）过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要切线长最小，就要直线上的点到圆心的距离最小，则此最小值为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出切线长的最小值.
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为圆心到直线的距离，
所以切线长最小值为.
故选：B
（2）、（2020·重庆复旦中学高二月考）（多选题）点是直线上的动点，由点向圆：作切线，则切线长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
首先根据公式先求，再根据数形结合求，再比较选项.
【详解】
是圆的切线，是切点，连结，
所以，当最小时，取最小值，
由图可知，原点到直线的距离是的最小值，此时，
，所以切线长.
故选：AD
【点睛】
本题考查切线长的的最小值，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
【变式训练3-1】．（多选题）（2020山东泰安一中高二期中）若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是( )
A.-1 B.- C. D.
【答案】BC
【解析】由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0).半径r=1.直线与圆有公共点,需≤1,所以|2k|≤,得k2≤,所以-≤k≤,对照选项知B,C适合.
【变式训练3-2】．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））若圆与圆有3条公切线，则正数（ ）
A．3 B．3 C．5 D．3或3
【答案】B
【分析】由题可知两圆外切，然后利用两点间的距离公式即得.
【详解】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，
，
∴，又，
∴.
故选：B.
重难点突破04 圆与圆的位置关系
例4.（1）、（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆外切，则m的值为（ ）
A．1 B．9 C．10 D．16
【答案】B
【分析】直接利用圆心距等于两圆的半径之和列方程即可求解.
【详解】因为圆C与圆O外切，所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和，即，解得．
故选：B．
（2）、（2022·全国·高二课时练习）已知圆和，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】C
【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.
【详解】由题意，知圆的圆心，半径.
圆的方程可化为，则其圆心，半径.
因为两圆的圆心距，故两圆外切.
故选：C.
【变式训练4-1】．（2021·全国）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____．
【答案】
【详解】
试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为．
考点：相交弦所在直线的方程
【变式训练4-2】．（2022·广东·中山一中高三阶段练习）已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.
【详解】由，得，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆，所以圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，
即，解得，
所以的值为.
故答案为：.
重难点突破05 两圆的公切线与公共弦问题与圆的最值问题
例5.（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用面积相等求出.设，得到.利用几何法分析出，即可求出的最小值.
【详解】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B
（2）、（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．的最小值为4
C．的取值范围为
D．当最小时，其余弦值为
【答案】ABC
【分析】A.直线方程变形为，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦的中点时，此时最短；C.根据向量数量积公式，转化为求的最值；D.根据C即可判断.
【详解】A.直线，即，直线恒过点，故A正确；
B.当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确；
C.当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时最大，，此时，所以的取值范围为，故C正确；
D.根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误.
故选：ABC
【变式训练5-1】．（2022·江苏·高二单元测试）已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当取得最小值时，最大，的值最小，当时，取得最小值，进而可求此时
【详解】圆是以为圆心，2为半径的圆，由题可知，当最小时，的值最小. ，当取得最小值时，最大，最小，点到直线的距离，故当时，最大，且最大值为，此时，则.
故选：A
【变式训练5-2】．（2022·全国·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点，，点，则的最大值为______．
【答案】##
【分析】联立直线与圆的方程,利用韦达定理得出两点横坐标之间的关系式，利用两点间距离公式进行求解.
【详解】解 由，得．
设，，则，，
因为，所以
．
令，则，，
所以
，
当且仅当时等号成立．
所以的最大值为．
故答案为：.
重难点突破06 圆的综合问题
例6、（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知圆和直线相切于点.
(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；
(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将点的坐标代入圆的方程，求出实数的值，可得出圆的标准方程，求出直线的斜率，由圆的几何性质可得，可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可；
（2）分析可知直线过圆心，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
（1）
把点代入圆的方程，可得，解得，
得的方程为，即，
圆心为，所以，直线的斜率为，
由圆的几何性质可知，则直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）
由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心，
且直线的斜率为，直线的方程为，即．
例7、（2021·江苏高二课时练习）已知点在圆上运动.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）设，转化为直线，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解；
（2）设，转化为，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解.
【详解】
（1）由题意，点在圆上运动，
设，整理得，则表示点与点连线的斜率，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
又由，解得，所以
所以的最大值为.
（2）设，整理得，
则表示直线在轴上的截距，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
由，解得，所以
所以的最小值为.
例8．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆，过点O及点的圆N与圆M外切．
(1)求圆N的标准方程．
(2)直线MN上是否存在点B，使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为P，Q（不重合），满足？若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）先根据题意判断圆心N在直线上，设，再根据两圆外切则圆心距等于半径之和列式求解即可；
（2）设，根据，根据相切的性质结合勾股定理可得，再联立直线MN与求解即可.
（1）
由题意知，圆N的圆心N在直线上（圆心N在线段OA的垂直平分线上）.
设，圆N的半径为r．因为圆N与圆M外切，且圆M的圆心M（2，4），半径为.
所以，即，①
又，即，②
由①②得，
即，故，即.
再代入②可得，
解得或，又，得，所以．
故所求圆N的标准方程为．
（2）
设，由可知，
即，所以，
即，
整理得．①
又直线MN的方程为，②
所以由①②解得，，或，，
由于P，Q两点不重合，故，不合题意，舍去．
故存在点B（6，8）符合题意．
例9、（2019·湖北黄石·）已知点在圆上.
（1）求的取值范围；
（2）求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）先由圆的方程得到圆心和半径，表示圆上的点与定点连线的斜率，结合图形，得到当过点的直线与圆相切于点时，斜率最大，求出此时切线斜率，即可得出结果；
（2）设，根据题意，得到直线与圆有交点，由此列出不等式求解，即可得出的范围，求出最值.
【详解】
（1）由得，
则圆心为，半径为；
而表示圆上的点与定点连线的斜率，
由图像可得，当过点的直线与圆相切于点时，斜率最大，无最小值；
设切线的方程为：，即，
则圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
因此的取值范围是；
（2）设，
因为点在圆上，
所以直线与圆有交点，
因此只需圆心到直线的距离小于等于半径，
即，解得，
因此的最大值为，最小值为.
【点睛】
本题主要考查求圆上的点与定点连线斜率的范围，考查由直线与圆的位置关系求参数，属于常考题型.
四、题型分析
1．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系即可.
【详解】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径
圆心到直线2x+y+1＝0的距离
由，可得圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
2．（2020·湖南·平江县第三中学高一期中）圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【分析】由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系可得.
【详解】将圆的方程化为标准方程：，
得圆心坐标为，半径
则圆心到直线的距离
因为，所以圆与直线相离.
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的公共弦长为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据圆与圆的方程相减得公共弦的方程，再根据垂径定理求解即可.
【详解】圆与圆的方程相减得，即．又到直线的距离为1，所以公共弦长为．
故选：A
4．（2022·河北沧州·二模）（多选题）已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则直线恒过定点
B．若，则圆可能过点
C．若，则圆关于直线对称
D．若，则直线与圆相交所得的弦长为2
【答案】ACD
【分析】A.验证即可；B. 将点代入求解即可；C. 由直线恒过圆的圆心判断；D.由弦长公式求解判断.
【详解】当时，点恒在上，故选项正确；
当时，将点代入，得，该方程无解，故选项错误；
当时，直线恒过圆的圆心，故选项C正确；
当时，与相交所得的弦长为2，故选项D正确.
故选：ACD
5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，若直线被圆截得的弦长为1，则_______.
【答案】
【分析】将圆一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出的值.
【详解】解：将化为标准式得，故半径为1；
圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得.
故答案为：.
6（2022·全国·高二课时练习）已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____．
【答案】
【分析】易知四边形MACB的面积为，然后由最小，可得直线的方程，与的方程联立，得到点坐标及的值，进而得到以为直径的圆的方程，与的方程作差可得直线的方程.
【详解】：的标准方程为，
则圆心，半径．
因为四边形的面积，
要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直，
直线的方程为，即，
联立，解得．则,
则以为直径的圆的方程为，
与的方程作差可得直线的方程为．
故答案为：.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知关于x，y的方程为．
(1)若该方程表示圆，且点不在圆内，求m的最小值；
(2)在（1）的条件下，当圆的面积最大时记圆为，若圆与圆相交，求实数a的取值范围．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）由方程表示圆可得，由点不在圆内，可得，得到关于m的不等式组，求出m的范围，从而可求出m的最小值，
（2）先将圆方程转化为标准方程可得当时，圆的面积最大，从而可得圆的方程，再由圆与相交，可得关于a的不等式，从而可求出a的范围.
（1）
由题意可得，解得，
即m的最小值为4．
（2）
∵方程可化为，
∴当时，圆的面积最大，即圆．
由得，
又，∴圆的圆心为，半径为．
若圆与相交，则必有成立，
所以，
解得，
∴实数a的取值范围为．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知直线过定点，且与圆交于、两点．
(1)求直线的斜率的取值范围．
(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值为
【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的不等式，解之即可；
（2）设，，设直线的方程为，将该直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可计算得出的值.
（1）
解：圆的标准方程为，圆心为，半径为.
若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由题意可得，解得.
因此，直线的斜率的取值范围是.
（2）
解：设，，设直线的方程为.
联立，得，其中，
所以，，
则，
所以为定值.
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