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第二章 直线与圆的方程单元测试（基础版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·天津河西·高二期中）直线的倾斜角是
A． B． C． D．
2．（2021·天津河西·高二期中）已知直线在轴上的截距是，在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）A． B． C． D．
3．（2021·天津河西·高二期中）实数x，y满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2021·天津河西·高二期中）直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是
A．或 B．或 C． D．
5．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）已知直线，.当时，的值为（ ）A．1 B． C．或1 D．
8．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）已知点，，直线：（其中），若直线与线段有公共点，则直线的斜率的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
10．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）A．1 B． C．2 D．
11．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．已知点在圆上，则的最小值是
B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
C．已知点是圆外一点，直线l的方程是，则l与圆相交
D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是
12．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．过点(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5;
B．已知直线kx-y-k-1＝0和以M（-3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为;
C．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，直线m的方程是ax＋by＝r2，则m与圆相交;
D．若圆上恰有两点到点N（1，0）的距离为1，则r的取值范围是(4，6).
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知实数，满足，则的最大值为______．
14．（2021·天津河西·高二期中）若圆，与圆：相交于，，则公共弦的长为___________.
15．（2021·河北唐山·高二期中）经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程的一 般式为__________．
16．（2021·天津河西·高二期中）直线分别交轴 轴的正半轴于 两点，当面积最小时，直线的方程为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·天津河西·高二期中）已知圆C过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点且被圆C截得的线段长为，求l的方程．
18．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）已知圆：，直线：
（1）证明：不论实数为何值，直线与圆始终相交；
（2）若直线与圆相交与，两点，设集合，在集合中任取两个数，求这两个数都不小于8的概率.
19．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）已知圆.
（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
20．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）若直线的方程为（）．
(1)若直线与直线：平行，求的值；
(2)若直线在两轴上截距都存在且轴上截距是轴上截距的，求该直线的方程．
21．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆经过点，，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆交于、两点，求线段的长度．
22．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）已知直线与圆交于两点．
（1）求出直线恒过定点的坐标；（2）求直线的斜率的取值范围
（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
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第二章 直线与圆的方程单元测试（基础版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·天津河西·高二期中）直线的倾斜角是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.
【详解】化为，
斜率为，所以倾斜角为.
故选:D.
【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.
2．（2021·天津河西·高二期中）已知直线在轴上的截距是，在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由直线的截距式方程直接得出答案.
【详解】直线在轴上的截距是，在轴上的截距是
所以直线的方程为，即
故选：A
【点睛】本题考查直线的截距式方程，属于基础题.
3．（2021·天津河西·高二期中）实数x，y满足，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，则与圆由交点在根据圆心到直线的距离小于等于半径列式，解不等式可得．
【详解】解：设，则与圆由交点，
圆心到直线的距离，
解得．
故选C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
4．（2021·天津河西·高二期中）直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，画出图象，要使直线与曲线有且仅有一个交点，从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于和另一个点，及与曲线交于点，分别求出，则的范围可得．
【详解】解：曲线有即，
表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），
如图，设、、，
当直线经过点时，，求得，
此时只有一个公共点，符合题意；
当直线经过点、点时，，求得，
此时有2个公共点，不符合题意；
当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，
可得，求得或（舍去），
即：时，只有一个公共点，符合题意，
综上得，实数的范围为或，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，可用数形结合的方法较为直观.
5．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，圆心C的坐标为，可得以线段为直径的圆N的方程，两圆方程作差，得两圆公共弦的方程可得答案．
【详解】因为P为直线l上的动点，所以可设，
由题意可得圆心C的坐标为，
以线段为直径的圆N的圆心为，半径为，
所以方程为，两圆方程作差，
即得两圆公共弦的方程为，，
所以直线过定点．
故选：A.
6．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先求出直线经过定点，圆的圆心为，根据直线与圆的位置关系可知，当时弦最短，根据求出的值，即可求出直线的方程.
【详解】解：由题得，，
，解得：，
所以直线过定点，
圆的圆心为，半径为2，
当时，弦最短，此时，
由题得，，
所以，，
所以直线的方程为：.
故选：B.
【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.
7．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）已知直线，.当时，的值为（ ）
A．1 B． C．或1 D．
【答案】B
【分析】利用两直线平行的充要条件即得.
【详解】由直线，，
∴，得.
故选：B.
8．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.
【详解】画家曲线得，画出图像如图：
当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以.
当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时.
由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.
故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）已知点，，直线：（其中），若直线与线段有公共点，则直线的斜率的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】BC
【分析】由题意可得直线恒过定点，所以要直线与线段有公共点，必须满足，从而可求出斜率的取值范围，进而可得答案
【详解】由，得，
因为
所以，解得，所以直线恒过定点，
因为点，，直线与线段有公共点，
所以直线的斜率满足：，即，
得，
故选：BC
10．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】AC
【分析】讨论直线过原点和直线不过原点两种情况可求.
【详解】若直线过原点，则，解得；
若直线不过原点，则在轴上的截距为，在轴上的截距为，则，可得，
综上，的值可能是1或2.
故选：AC.
11．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．已知点在圆上，则的最小值是
B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
C．已知点是圆外一点，直线l的方程是，则l与圆相交
D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是
【答案】CD
【分析】A. 令，即，根据题意，由圆心到直线的距离求解判断；B.根据直线恒过定点（1,-1），求得判断；C.由点是圆外一点，得到判断；D.由圆与圆相交求解判断.
【详解】A. 令，即，因为点在圆上，则圆心到直线的距离，即，解得或，所以无最小值，故错误；
B.因为直线恒过定点（1,-1），则，因为 以为端点的线段相交，所以或，故错误；
C.因为点是圆外一点，所以，圆心到直线l的，则l与圆相交，故正确；
D. 圆，圆，圆心距为，因为圆上恰有两点到点的距离为1，所以两圆相交，则，解得，故正确；
故选：AC
12．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．过点(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5;
B．已知直线kx-y-k-1＝0和以M（-3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为;
C．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，直线m的方程是ax＋by＝r2，则m与圆相交;
D．若圆上恰有两点到点N（1，0）的距离为1，则r的取值范围是(4，6).
【答案】CD
【分析】A选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；B选项中直线kx-y-k-1＝0恒过点，计算即可求解；C选项中利用圆心到直线距离及点P在圆外即可判断；D选项根据以N为圆心，1为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解.
【详解】A中直线过原点时，由两点式易得，直线方程为，故错误；
B中直线kx-y-k-1＝0可化为，所以直线恒过定点，，直线与线段相交，所以或，故错误；
C中圆心到直线的距离，而点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，所以
，所以，所以直线与圆相交，故正确.
D中与点N（1，0）的距离为1的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足，解得，故D正确.
故选：CD
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，点到直线的距离公式，斜率公式，直线过定点，考查计算能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知实数，满足，则的最大值为______．
【答案】36
【分析】先求出的圆心和半径，从几何意义求解的最大值，即圆心与点距离加上半径，从而求出最终结果.
【详解】整理为：，圆心为，半径为1，故可以看做圆上一点与点距离的平方，则最大值为圆心与点距离加上半径后的平方，故最大值为
故答案为：36
14．（2021·天津河西·高二期中）若圆，与圆：相交于，，则公共弦的长为___________.
【答案】
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.
【详解】由题意所在的直线方程为：，即，
因为圆心到直线的距离为1，所以.
故答案为：
15．（2021·河北唐山·高二期中）经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程的一 般式为__________．
【答案】或
【详解】当截距为0时，设直线方程为y=kx，
则4k=2，∴
∴直线方程为
当截距不为0时，设直线方程为
由题意，，∴a=．
∴．
综上，或．
16．（2021·天津河西·高二期中）直线分别交轴 轴的正半轴于 两点，当面积最小时，直线的方程为___________.
【答案】
【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求.
【详解】∵直线，
∴，由，得，
∴直线恒过定点，
可设直线方程为，则，，
又，即，当且仅当时取等号，
∴，
当面积最小时，直线的方程为，即.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·天津河西·高二期中）已知圆C过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点且被圆C截得的线段长为，求l的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）设圆C的圆心为，半径为r，结合题意得，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案．
（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案．
(1)
根据题意，设圆C的圆心为，半径为r，则圆C方程为，
又圆C过，，且圆心C在直线上，
∴，解得：，，，
故圆C的方程为．
(2)
根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，则，
设D是线段MN的中点，则，
∴，．
在中，可得．
当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，满足题意，
当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l为：，即．
由C到直线MN的距离公式：，解得：，
此时直线l的方程为．
综上，所求直线l的方程为或．
18．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）已知圆：，直线：
（1）证明：不论实数为何值，直线与圆始终相交；
（2）若直线与圆相交与，两点，设集合，在集合中任取两个数，求这两个数都不小于8的概率.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由直线方程可知过定点P，判断定点与圆的位置关系，即可知直线与圆的关系；
（2）由点线距离公式知，讨论与直线CP的位置关系确定d的最值，进而得到集合M，利用列举法求概率即可.
【详解】（1）证明：直线：，
由得，所以直线过定点，
又，所以点在圆内，
所以不论实数为何值，直线与圆始终相交.
（2）设圆心到直线到距离为，因为，
∴当最大时最小，最小时最大，又
即当与直线垂直时，，所以，，
∴，，从6，7，8，9，10中任取两数的基本事件有(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，基本事件共有10种，两数都不小于8的有3种，
∴在集合中任取两个数，这两个数都不小于8的概率为.
【点睛】思路点睛：
1、利用直线过定点，借助点与圆的关系确定直线与圆的关系.
2、由点线距表示弦长，根据圆心与直线定点所成直线与直线关系确定的范围，进而得到的范围，即可得集合.
3、应用列举法求概率.
19．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）已知圆.
（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
【答案】（1）或；（2）最大值2，直线的方程为或.
【解析】（1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况；
（2）圆心到直线的距离为，然后利用的面积求得最值得到及k，求得答案.
【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径，
直线被圆截得的弦长为，由勾股定理得到圆心到直线的距离
①当直线的斜率不存在时，，显然满足；
②当直线的斜率存在时，设，即，
由圆心到直线的距离得：，解得，故；
综上所述，直线的方程为或
（2）直线与圆相交，的斜率一定存在且不为0，设直线方程：，
即，则圆心到直线的距离为，
又的面积
当时，取最大值2，由，得或，
直线的方程为或.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的最值及直线的方程.
20．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）若直线的方程为（）．
(1)若直线与直线：平行，求的值；
(2)若直线在两轴上截距都存在且轴上截距是轴上截距的，求该直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直线与直线平行，可得，解得．
（2）分直线过坐标原点与不过坐标原点两种情况讨论求解即可.
(1)
解：将化为斜截式方程得，
因为直线与直线平行，
所以且，解得．
(2)
解：当直线过坐标原点时，，解得，
此时直线的方程为，此时满足条件；
当直线不过坐标原点时，由于直线在两轴上截距都存在，则且，
故令得，令得，
因为直线在轴上截距是轴上截距的，
所以，解得，此时直线方程为.
综上，直线的方程为或.
21．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆经过点，，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆交于、两点，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的标准方程，将点代入方程，解方程组即可求解.
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据即可求解.
(1)
设圆的标准方程，
由题意可得，解得，
所以圆的标准方程为.
(2)
由（1）可知圆心，，
所以圆心到直线：的距离
，
所以.
22．（2021·山东·高青县第一中学高二期中）已知直线与圆交于两点．
（1）求出直线恒过定点的坐标
（2）求直线的斜率的取值范围
（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）为定值.
【分析】（1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标；
（2）设直线方程，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果；
（3）可设直线方程，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由整理可得定值.
【详解】（1）将直线方程整理为：，
令，解得：，直线恒过定点；
（2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即；
圆方程可整理为，则其圆心，半径，
直线与圆交于两点，圆心到直线距离，
即，解得：，即直线斜率的取值范围为；
（3）设，
当时，与圆仅有一个交点，不合题意，，
则直线，可设直线方程为，
由得：，由（2）知：；
，，
，
为定值.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆中的定值问题的求解，解题关键是能够将所求量表示成韦达定理的形式，通过韦达定理代入整理，消去变量即可得到定值.
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