余弦定理[下学期]

(共19张PPT)
高一数学
课题 余弦定理
授课人：肖俊妮
（1）已知两角及一边；
（2）已知两边和其中一边的对角；
（3）已知两边及夹角；
（4）已知三边.
A
B
C
a
b
c
2. 余弦定理
∵ a－b＝c，
∴ (a－b)·(a－b)＝c·c ，
∴ |a|2 ＋|b|2 －2a·b＝|c|2,
即 c2=a2＋b2－2abcosC.
A
B
C
a
b
c
c2=a2＋b2－2abcosC;
b2=c2＋a2－2cacosB;
a2=b2＋c2－2bccosA.
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其
他两边平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍.
b2＋c2－a2
2bc
cosA＝
c2＋a2－b2
2ca
cosB＝
a2＋b2－c2
2ab
cosC＝
;
;
.
利用余弦定理，可以解决：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及夹角，求第三边和
其他两个角.
A
B
C
a
b
c
c2=a2＋b2－2abcosC.
a2＋b2－c2
2ab
cosC＝
例 1：在 ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，求A、B和C.
解：
b2＋c2－a2
2bc
∵ cosA＝ ＝0.725，
∴ A≈44°
a2＋b2－c2
2ab
∵ cosC＝ ＝0.8071，
∴ C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
∵sinC＝ ≈0.5954,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
c sinA
a
(
)
例 2：在 ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解：
由 c2=a2＋b2－2abcosC,
得 c≈4.297.
b2＋c2－a2
2bc
∵ cosA＝ ≈0.7767，
∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
a sinC
c
∵sinA＝ ≈0.6299，
∴ A=39°或141°(舍).
(
)
解：
在 AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61,
∴ |a – b|＝√61.
例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
a－b
a＋b
B
b
A
C
a
120°
O
∴ a＋b ＝√21.
∴ ∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.
∵ cos∠COA＝ ≈0.6546,
a 2＋ a＋b 2 – b 2
2 a a＋b
例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
a－b
a＋b
B
b
A
C
a
120°
O
在 OAC中，
∵ |a + b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos60°
＝21,
例5 已知四边形ABCD的四边长为AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30°, 求C.
解: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB·ADcosA
≈ 2.60,
cosC = = – 0.30,
DC2 + BC2 – BD2
2DC·BC
A
30°
D
C
B
C ≈ 107.5°.
思考：若A= θ, 怎样用θ表示四边形ABCD的面积？
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；
√13
14.6°
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = ______.
104.5°
（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.
小结
1.余弦定理是解三角形的又一重要工具
c2=a2＋b2－2abcosC;
b2=c2＋a2－2cacosB;
a2=b2＋c2－2bccosA;
b2＋c2－a2
2bc
cosA＝
c2＋a2－b2
2ca
cosB＝
a2＋b2－c2
2ab
cosC＝
2.余弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知三边；
（2）已知两边及夹角.
;
;
.
今日作业
P131 练习
第3、4题；
习题5.9
第6、7题.
研究题
总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？