余弦定理[下学期]
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文档简介
余弦定理
广昌一中 贺国平
一：教学目标：
（一）基础性目标
（1）掌握余弦定理及其推导过程 （2）应用余弦定理及斜三角形 （3）了解向量知识的应用。
（二）发展性目标，通过三角函数，余弦定理向量积等多处知识间的联系来体现事物之间的普通联系与辩证统一。
二：教学重点：余弦定理的证明及其应用
三：教学难点：向量知识证余弦定理时的应用。
四：教学方法：启发引导式
（1）已知两边及夹角如何解斜三角形？导出余弦定理
（2）启发学生在推导余弦定理时与向量的数量积产生联系，在构造向量时尽量使其点相同，便于确定其夹角，在应用时注意让学生体会，三角函数、余弦定理的变形公式，求角时与正弦定理比较体会其优越性。
五：教学过程：
（一）、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。
==＝2R
（1）边角互化
（2）解三角形 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？
2．在Rt△ABC中(若C=90)有： 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？
（二）： 引入新课，板书课题：
1．余弦定理的向量证明：
设△ABC三边长分别为a, b, c
由学生任意选定已知的两边及其夹角。
若已知a 、c、B求b ？
提问1：长为b的向量如何用长为a、c的向量表示。
选以、为基底（特征： 夹角为，定关系 =+
选以、为基底（特征： 夹角为B，定关系
问题2：目的是用已知的a、c及B表示b如何由上述的向量关系向数量关系转化呢？ 。
如=+
=(+) (+)=2+2 +2
=| |2+2|| ||cos(180- B)+||2=
即：
同理可得：
提问：由学生归纳向量法证明正余弦定理的方法。
（1）选基底 （2）定向量关系 （3）取数量积
2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
3．强调几个问题：1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等
2变形：
3当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
4知三求一
（三）、余弦定理的应用
能解决的问题：1．已知三边求角、已知三边和它们的夹角求第三边
2．合理选用余弦定理
3、正余弦定理综合使用
例一、 在△ABC中，已知a=2, b=, c= 求B
解略
例二、 在△ABC中，已知a=, c=2 、B=1500求b
解略
例三、在△ABC中，已知a=8, b=、B=300求c
解略
练1：在△ABC中，已知求A
练2、设=(x1, y1) =(x2, y2) 与的夹角为 （0≤≤），求证：
x1x2+ y1y2=||||cos
证：如图：设, 起点在原点，终点为A，B
则A=(x1, y1) B=(x2, y2) =
在△ABC中，由余弦定理
||2=||2+||22|||| cos
∵||2=||2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2
||2=x12+y12 ||2= x22+y22
∴(x2-x1)2+( y2-y1)2= x12+y12+ x22+y222|||| cos
∴x1x2+ y1y2=||||cos 即有 = x1x2+ y1y2=||||cos
（四）、小结：
（2）解三角形
正（余）弦定理 余弦定理
（五）、作业：P131练习 P132 习题5.9 余下部分
A
B
O
b
a
c
C
B
A
广昌一中 贺国平
一：教学目标：
（一）基础性目标
（1）掌握余弦定理及其推导过程 （2）应用余弦定理及斜三角形 （3）了解向量知识的应用。
（二）发展性目标，通过三角函数，余弦定理向量积等多处知识间的联系来体现事物之间的普通联系与辩证统一。
二：教学重点：余弦定理的证明及其应用
三：教学难点：向量知识证余弦定理时的应用。
四：教学方法：启发引导式
（1）已知两边及夹角如何解斜三角形？导出余弦定理
（2）启发学生在推导余弦定理时与向量的数量积产生联系，在构造向量时尽量使其点相同，便于确定其夹角，在应用时注意让学生体会，三角函数、余弦定理的变形公式，求角时与正弦定理比较体会其优越性。
五：教学过程：
（一）、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。
==＝2R
（1）边角互化
（2）解三角形 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？
2．在Rt△ABC中(若C=90)有： 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？
（二）： 引入新课，板书课题：
1．余弦定理的向量证明：
设△ABC三边长分别为a, b, c
由学生任意选定已知的两边及其夹角。
若已知a 、c、B求b ？
提问1：长为b的向量如何用长为a、c的向量表示。
选以、为基底（特征： 夹角为，定关系 =+
选以、为基底（特征： 夹角为B，定关系
问题2：目的是用已知的a、c及B表示b如何由上述的向量关系向数量关系转化呢？ 。
如=+
=(+) (+)=2+2 +2
=| |2+2|| ||cos(180- B)+||2=
即：
同理可得：
提问：由学生归纳向量法证明正余弦定理的方法。
（1）选基底 （2）定向量关系 （3）取数量积
2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
3．强调几个问题：1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等
2变形：
3当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
4知三求一
（三）、余弦定理的应用
能解决的问题：1．已知三边求角、已知三边和它们的夹角求第三边
2．合理选用余弦定理
3、正余弦定理综合使用
例一、 在△ABC中，已知a=2, b=, c= 求B
解略
例二、 在△ABC中，已知a=, c=2 、B=1500求b
解略
例三、在△ABC中，已知a=8, b=、B=300求c
解略
练1：在△ABC中，已知求A
练2、设=(x1, y1) =(x2, y2) 与的夹角为 （0≤≤），求证：
x1x2+ y1y2=||||cos
证：如图：设, 起点在原点，终点为A，B
则A=(x1, y1) B=(x2, y2) =
在△ABC中，由余弦定理
||2=||2+||22|||| cos
∵||2=||2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2
||2=x12+y12 ||2= x22+y22
∴(x2-x1)2+( y2-y1)2= x12+y12+ x22+y222|||| cos
∴x1x2+ y1y2=||||cos 即有 = x1x2+ y1y2=||||cos
（四）、小结：
（2）解三角形
正（余）弦定理 余弦定理
（五）、作业：P131练习 P132 习题5.9 余下部分
A
B
O
b
a
c
C
B
A