解三角形应用举例[上学期]
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课件17张PPT。解三角形应用举例故宫角楼平阴县第一中学 赵延忠解三角形应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念：
在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图 1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三子角形，求得数学模型的解。
4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 实际问题→数学问题（三角形）
→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：测量问题：1、水平距离的测量①两点间不能到达，
又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
可求得AB的长。 ②两点能相互看到，但不能到达。 需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理，
可求边AB的长。
③两点都不能到达第一步:在△ACD中，测角∠DAC，
由正弦定理 求出AC的长； 第二步:在△BCD中求出角∠DBC，
由正弦定理 求出BC的长； 第三步:在△ABC中,由余弦定理 求得AB的长。 例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中，
∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC）
=180°－(75°+45°+30°)=30°
∴AC=CD=
在△BCD中，
∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC）
=180°－（45°+45°+30°）=60° 由正弦定理 ， 得在△ABC中由余弦定理， ∴所求A、B两地间的距离为 米。 测量垂直高度 1、底部可以到达的； 测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。 2、底部不能到达的 测量边CD，测量∠C和∠ADB，
例题2：在山顶铁塔上 处测得地面上一点 的俯角 ，在塔底 处测得点 的俯角 ，已知铁塔 部分高 米，求山高 。
解：在△ABC中，∠ABC=30°，
∠ACB =135°，
∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC)
=180°－(135°+30°)=15°
又BC=32, 由正弦定理 ,
得 在等腰Rt△ACD中，故 ∴山的高度为 米。 例题3：2004年雅典奥运会上，在垒球比赛前，某国教练为自己的球队布置了如下战术：击球手沿着本垒与游击手所在的直线夹角成 的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常的情况下，球速为游击手最快速度的4倍。请你用数学的知识来判断游击手能否接到球？并说明理由。 解：假设游击手能接到球，如图在 中，设击球点为O，落球点为B，游击手在点A，设从球击出到球被接住的时间为，球的速度为 在 中，由正弦定理，得与 相矛盾。 例题4：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 ，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？
（角度精确到 ）例题5：如图:点A表示某山区一移动电话信号发射塔的位置(塔高不计), 为一条东北走向的公路,技术人员为测试该发射塔信号的覆盖范围,自A点正西方向的B处骑自行车沿公路出发,约经过6分钟,发现手机开始有信号.已知AB=4，车速10，能否根据以上信息,测算出该塔信号的覆盖半径以及手机持续显示信号的时间.
例题6：某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里每小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里每小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？
1、仰角、俯角的概念：
在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图 1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三子角形，求得数学模型的解。
4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 实际问题→数学问题（三角形）
→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：测量问题：1、水平距离的测量①两点间不能到达，
又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
可求得AB的长。 ②两点能相互看到，但不能到达。 需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理，
可求边AB的长。
③两点都不能到达第一步:在△ACD中，测角∠DAC，
由正弦定理 求出AC的长； 第二步:在△BCD中求出角∠DBC，
由正弦定理 求出BC的长； 第三步:在△ABC中,由余弦定理 求得AB的长。 例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中，
∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC）
=180°－(75°+45°+30°)=30°
∴AC=CD=
在△BCD中，
∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC）
=180°－（45°+45°+30°）=60° 由正弦定理 ， 得在△ABC中由余弦定理， ∴所求A、B两地间的距离为 米。 测量垂直高度 1、底部可以到达的； 测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。 2、底部不能到达的 测量边CD，测量∠C和∠ADB，
例题2：在山顶铁塔上 处测得地面上一点 的俯角 ，在塔底 处测得点 的俯角 ，已知铁塔 部分高 米，求山高 。
解：在△ABC中，∠ABC=30°，
∠ACB =135°，
∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC)
=180°－(135°+30°)=15°
又BC=32, 由正弦定理 ,
得 在等腰Rt△ACD中，故 ∴山的高度为 米。 例题3：2004年雅典奥运会上，在垒球比赛前，某国教练为自己的球队布置了如下战术：击球手沿着本垒与游击手所在的直线夹角成 的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常的情况下，球速为游击手最快速度的4倍。请你用数学的知识来判断游击手能否接到球？并说明理由。 解：假设游击手能接到球，如图在 中，设击球点为O，落球点为B，游击手在点A，设从球击出到球被接住的时间为，球的速度为 在 中，由正弦定理，得与 相矛盾。 例题4：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 ，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？
（角度精确到 ）例题5：如图:点A表示某山区一移动电话信号发射塔的位置(塔高不计), 为一条东北走向的公路,技术人员为测试该发射塔信号的覆盖范围,自A点正西方向的B处骑自行车沿公路出发,约经过6分钟,发现手机开始有信号.已知AB=4，车速10，能否根据以上信息,测算出该塔信号的覆盖半径以及手机持续显示信号的时间.
例题6：某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里每小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里每小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？