2022-2023学年北师大版七年级数学上册2.11有理数的混合运算—定义运算 专题训练（word、含解析）

2022-2023学年北师大版七年级数学上册《2.11有理数的混合运算—定义运算》
专题训练（附答案）
一．选择题
1．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定a☆b＝ab﹣b2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C． D．﹣
2．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．则（1，2）★（3，4）＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．5
3．规定一种新运算：a b＝a2﹣3b，若2 [1 （﹣x）]＝10，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
4．现规定一种新运算“*”：a*b＝﹣|b﹣a|，则（﹣3）*2的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3
5．用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　）
A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8
6．对于有理数a，b，规定一种运算：a b＝a2﹣ab．如1 2＝12﹣1×2＝﹣1，则计算﹣5 [3 （﹣2）]的值是（　　）
A．﹣100 B．100 C．﹣1 D．90
7．对有理数a、b，规定运算如下：a※b＝a+ab，则﹣2※3的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2
8．规定：若4△3＝43﹣4×3＝52，1△2＝12﹣1×2＝﹣1；4☆3＝34﹣（3+4）＝74，3☆2＝23﹣（2+3）＝3；则5☆（2△3）的值是（　　）
A．6 B．15 C．25 D．117
二．填空题
9．现在规定两种新的运算“*”和“◎”：a*b＝a2+b2；a◎b＝2ab，如（2*3）（2◎3）＝（22+32）（2×2×3）＝156，则[3*（﹣1）]+[3◎（﹣1）]＝　 　．
10．规定[a，b，c]＝ac﹣b2，请你按照这种运算的规定，计算[1，﹣3，5]＝　 　．
11．规定一种新的运算：a△b＝a×b﹣a﹣b+1，如3△4＝3×4﹣3﹣4+1，则2△5＝　 　．
12．我们规定一种新运算：a△b＝（﹣）÷，例如：2△3＝（﹣）÷＝﹣，则（2△7）△4的值为 　 　．
13．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a，如1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．则（﹣2）☆3的值为　 　．
14．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，则计算3※（﹣5）＝　 　．
15．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝ab﹣a+b，如1※3＝1×3﹣1+3＝5，若|x﹣4|+3|y+1|＝0，那么 （﹣）※（x※y）的值是 　 　．
16．规定：a▽b＝﹣|b|，a△b＝﹣a，如当a＝3，b＝4时，a▽b＝﹣|4|＝﹣4，a△b＝﹣3，根据以上规定，则3▽（﹣5）　 　3△（﹣5）（填“＞”，“＝”或“＜”）．
三．解答题
17．我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：1*2＝12﹣2+1×2＝1
（1）求2*3的值．
（2）求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值．
18．洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键再输入“b”，就可以得到运算a★b＝|2﹣a2|﹣+1．
（1）按此程序（﹣3）★2＝　 　；
（2）若淇淇输入数“﹣1”加“★”键再输入“x”后，电脑输出的数为1，求x的值；
（3）嘉嘉同学运用淇淇设置的在这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行，”你能说出嘉嘉在什么地方出错了吗？
19．定义一种新的运算：x★y＝（x+2）×（y+2）．
（1）计算（﹣3）★（﹣4）与（﹣4）★（﹣3），此运算满足乘法交换律吗？
（2）计算[（﹣3★（4）]★（﹣5）与（﹣3）★[（﹣4）★（﹣5）]，此运算满足乘法结合律吗？
20．阅读以下内容，完成下列题目．
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 （加乘）运算．”然后他写出了一些按照 （加乘）运算的法则进行运算的算式：（+5） （+2）＝+7；（﹣3） （﹣5）＝+8；（﹣3） （+4）＝﹣7；（+5） （﹣6）＝﹣11；0 （+8）＝|+8|＝8；（﹣6） 0＝|﹣6|＝6．
小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的 （加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也看明白了吗？请完成下列问题：
（1）请联想回顾有理数运算法则，归纳 （加乘）运算的运算法则：　 　；
（2）计算：（﹣2） [0 （﹣4）]＝　 　．（括号的作用同在有理数运算中的作用）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在 （加乘）运算中是否适用？并举例验证．
21．规定一种新运算法则：a b＝a2﹣ab．例如：2 3＝22﹣2×3＝﹣2．请用上述规定计算下面各式的值．
（1）（﹣4） （﹣3）；
（2）（2 9） 4．
22．定义“※”运算，观察下列运算：
（+2）※（+13）＝15，（﹣10）※（﹣12）＝22；
（﹣5）※（+13）＝﹣18，（+8）※（﹣10）＝﹣18；
0※（+13）＝﹣13，（﹣10）※0＝10．
（1）请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：
两数进行“※”运算时，同号 　 　，异号 　 　，并把绝对值 　 　；
特别地，0和任何数进行“※”运算或任何数和0进行“※”运算，都得这个数的 　 　．
（2）计算：（﹣15）※[0※（﹣7）]．
（3）若（2※a）×3+2＝4a，求a的值．
23．定义新运算“ ”与“ ”：a b＝，a b＝．
（1）计算[3 （﹣2）]﹣[（﹣2） （﹣1）]的值；
（2）若A＝[3b （﹣a）]+[a （2﹣3b）]，B＝[a （﹣3b）]+[（﹣a） （﹣2﹣9b）]，比较A和B的大小．
24．【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作a ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2②＝　 　；（﹣）③＝　 　；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　．
（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33．
参考答案
一．选择题
1．解：根据题中的新定义得：原式＝（﹣2）﹣1﹣（﹣1）2＝﹣﹣1＝﹣．
故选：D．
2．解：∵（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．
∴（1，2）★（3，4）
＝2×3﹣1×4
＝6﹣4
＝2．
故选：A．
3．解：∵a b＝a2﹣3b，
∴1 （﹣x）＝12﹣3×（﹣x）＝1+3x，
∵2 [1 （﹣x）]＝10，
∴2 （1+3x）＝10，
∴22﹣3（1+3x）＝10，
解得：x＝﹣1．
故选：D．
4．解：∵a*b＝﹣|b﹣a|，
∴（﹣3）*2
＝﹣|2﹣（﹣3）|
＝﹣|2+3|
＝﹣5，
故选：A．
5．解：根据题中的新定义得：
﹣4※2
＝﹣4×2+22
＝﹣8+4
＝﹣4．
故选：A．
6．解：根据题中的新定义得：
原式＝﹣5 [32﹣3×（﹣2）]
＝﹣5 15
＝（﹣5）2﹣（﹣5）×15
＝25+75
＝100．
故选：B．
7．解：∵a※b＝a+ab，
∴﹣2※3＝（﹣2）+（﹣2）×3＝﹣2﹣6＝﹣8．
故选：A．
8．解：由题意可得：5☆（2△3）
＝5☆（23﹣2×3）
＝5☆2
＝25﹣（2+5）
＝32﹣7
＝25．
故选：C．
二．填空题
9．解：根据题中的新定义得：
原式＝32+（﹣1）2+2×3×（﹣1）
＝9+1﹣6
＝4．
故答案为：4．
10．解：根据题意，得：[1，﹣3，5]＝1×5﹣（﹣3）2
＝5﹣9
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
11．解：2△5＝2×5﹣2﹣5+1
＝10﹣2﹣5+1
＝4，
故答案为：4．
12．解：（2△7）△4
＝（÷）△4
＝（﹣）△4
＝÷
＝7÷2
＝．
故答案为：．
13．解：∵a☆b＝ab2+2ab+a，
∴（﹣2）☆3
＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）
＝﹣18﹣12﹣2
＝﹣32．
14．解：3※（﹣5）
＝3×（﹣5）+3﹣（﹣5）
＝﹣15+3+5
＝﹣7
故答案为：﹣7．
15．解：∵|x﹣4|+3|y+1|＝0，
∴x﹣4＝0且y+1＝0，
则x＝4，y＝﹣1．
∴（﹣）※（x※y）
＝（﹣）※[（4×（﹣1）﹣4+（﹣1））]
＝（﹣）※（﹣9）
＝（﹣）×（﹣9）﹣（﹣）+（﹣9）
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．解：由题意可得，
3▽（﹣5）＝﹣|﹣5|＝﹣5，
3△（﹣5）＝﹣3，
∵﹣5＜﹣3，
∴3▽（﹣5）＜3△（﹣5），
故答案为：＜．
三．解答题
17．解：（1）原式＝22﹣3+2×3
＝4﹣3+6
＝1+6
＝7；
（2）原式＝（﹣2）*[22﹣（﹣3）+2×（﹣3）]
＝（﹣2）*[4+3﹣6]
＝（﹣2）*1
＝（﹣2）2﹣1+（﹣2）×1
＝4﹣1﹣2
＝1．
18．解：（1）原式＝|2﹣（﹣3）2|﹣+1
＝|2﹣9|﹣+1
＝7﹣+1
＝7.5，
故答案为：7.5；
（2）根据题意得：|2﹣（﹣1）2|﹣+1＝1，
解得：x＝1；
（3）嘉嘉输入的第二个数为0，导致没有意义，
所以该操作无法进行．
19．解：（1）此运算满足乘法交换律，理由如下：
（﹣3）★（﹣4）
＝（﹣3+2）×（﹣4+2）
＝（﹣1）×（﹣2）
＝2；
（﹣4）★（﹣3）
＝（﹣4+2）（﹣3+2）
＝（﹣2）×（﹣1）
＝2．
故此运算满足乘法交换律．
（2）运算不满足乘法结合律，理由如下：
[（﹣3）★（﹣4）]★（﹣5）
＝[（﹣3+2）（﹣4+2）]★（﹣5）
＝2★（﹣5）
＝（2+2）（﹣5+2）
＝4×（﹣3）
＝﹣12；
（﹣3）★[（﹣4）★（﹣5）]
＝（﹣3）★[（﹣4+2）（﹣5+2）]
＝（﹣3）★6
＝（﹣3+2）（6+2）
＝﹣1×8
＝﹣8．
故此运算不满足乘法结合律．
20．解：（1）由题意可得：
归纳 （加乘）运算的运算法则：①两数进行 （加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算，都等于这个数的绝对值；
故答案为：①两数进行 （加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算，都等于这个数的绝对值；
（2）（﹣2） [0 （﹣4）]
＝（﹣2） 4
＝﹣6，
故答案为：﹣6；
（3）加法交换律和加法结合律在有理数的 （加乘）运算中适用．
由 （加乘）运算的运算法则可知：（+5） （+2）＝+7，（+2） （+5）＝+7，
所以（+5） （+2）＝（+2） （+5），
即加法交换律在有理数的 （加乘）运算中适用．
21．解：（1）∵a b＝a2﹣ab，
∴（﹣4） （﹣3）
＝（﹣4）2﹣（﹣4）×（﹣3）
＝16﹣12
＝4．
（2）∵a b＝a2﹣ab，
∴（2 9） 4
＝（22﹣2×9） 4
＝（﹣14） 4
＝（﹣14）2﹣（﹣14）×4
＝196+56
＝252．
22．解：（1）观察发现：
两数进行※运算时，同号得正，并把绝对值相加；异号得负，并把绝对值相加；
特别地，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，得这个数的相反数．
故答案为：得正，得负，相加，相反数；
（2）（﹣15）※[0※（﹣7）]
＝（﹣15）※7
＝﹣（15+7）
＝﹣22；
（3）当a＞0时，3（2+a）+2＝4a，
∴6+3a+2＝4a，
解得a＝8，
当a＜0时，3（a﹣2）+2＝4a，
∴3a﹣6+2＝4a，
∴a＝﹣4，
综上所述，a的值是8或﹣4．
23．解：（1）由题意可知：
[3 （﹣2）]﹣[（﹣2） （﹣1）]
＝﹣
＝+
＝1；
（2）由题意可知：
∵A＝+
＝
＝3b﹣1，
B＝+
＝
＝3b+1，
∴A﹣B＝3b﹣1﹣（3b+1）＝3b﹣1﹣3b﹣1＝﹣2＜0，
则A＜B．
24．解：【初步探究】
（1）2②＝2÷2＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣2，
故答案为：1，﹣2；
【深入思考】
（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，
（）⑥＝÷÷÷÷÷＝×5×5×5×5×5＝54，
故答案为：（﹣）3，54；
（3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33
＝144÷（﹣3）2×（﹣）4﹣（﹣3）4÷27
＝144÷9×﹣81÷27
＝16×﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．