2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.3 相似多边形同步练习 （word、含答案）

北师大版九上 4.3 相似多边形
一、选择题（共11小题）
1. 下列说法正确的是
A. 所有的矩形都相似 B. 所有的等腰三角形都相似
C. 所有的正方形都相似 D. 所有的梯形都相似
2. 下列说法正确的是
A. 所有菱形都相似 B. 所有矩形都相似
C. 所有正方形都相似 D. 所有平行四边形都相似
3. 将图形Ⅰ通过放大得到图形Ⅱ，那么在图形Ⅰ与图形Ⅱ的对应量中，没有被放大的是
A. 图形的边长 B. 图形的周长 C. 图形的面积 D. 图形的角度
4. 下列说法中正确的是
A. 所有的矩形都相似 B. 所有的等腰三角形都相似
C. 角相等的四边形都相似 D. 等边三角形都相似
5. 下列说法正确的是
A. 两个矩形一定相似 B. 两个菱形一定相似
C. 两个等腰三角形一定相似 D. 两个等边三角形一定相似
6. 如图，在矩形 中，， 分别是 ， 的中点，若矩形 与矩形 是相似的矩形，则 等于
A. B. C. D.
7. 下列图形中，不是相似图形的是
A. B.
C. D.
8. 矩形的两边长分别为 和 ，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则 的值为
A. B. C. D.
9. 如图，有三个矩形，其中是相似形的是
A. 甲与乙 B. 甲与丙 C. 乙与丙 D. 以上都不对
10. 两个相似多边形的一组对应边别是 和 ，如果它们的面积之和是 ，那么较大的多边形的面积是
A. B. C. D.
11. 下列图形中，是相似形的是　　
A. 所有平行四边形 B. 所有矩形
C. 所有菱形 D. 所有正方形
二、填空题（共5小题）
12. 观察下列图形，请找出其中相似形： ．
13. 给出下列四组四边形：
①有一个对应角相等的两个菱形；②对应边长比为 的两个矩形；
③边长比为 的两个正方形；④对应边长比为 的两个平行四边形．
其中每组中的两个四边形不相似的是 （填序号）．
14. 如图，教室的窗户分为相同的三部分，中间部分固定，两边可推拉．当两边都向中间推拉，使得各留下一半通风时，通风部分恰好与原矩形窗户相似，则原矩形窗户的长与宽的比为 ．
15. 把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为 ，宽为 的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 ．
16. 下列图形中， 与 相似.
三、解答题（共7小题）
17. 在下图中，把互为相似的两图形用直线连起来．
18. 如图， 是正方形 对角线 上一点，作 ，，垂足分别为点 ，．求证：四边形 与四边形 相似．
19. 已知矩形中，，．
若把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形与矩形相似．求：的值；
若在矩形内不重叠地放两个长是宽的3倍的小长方形，且每个小长方形的每条边与矩形的边平行，求这两个小长方形周长和的最大值．
20. 如图所示，在给出的方格内通过放大或缩小画出已给图形的相似图形．
21. 已知格点 ，请在下图中画出与 相似的格点 ，并使 的对应边是 的 倍（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．友情提示：请在画出的三角形的项点处标上相对应的字母！）．
22. 在宽 、长 的矩形花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，都是 ，如图（）所示，那么小路四周所围成的矩形 和矩形 相似吗 请说明理由．
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为 ，，如图（）所示，则小路的宽 与 的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形 和矩形 相似
23. 某矩形场地长 ，宽 ．
（1）如图①，在场地中央建有一矩形草坪，沿草坪四周外围有 宽的小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗
（2）如果矩形场地中矩形草坪的变化如图②所示，它们相似吗
（3）如果变化如图③所示，它们能相似吗 若能相似，求 ， 满足的关系；
（4）如果变化如图④所示，矩形 与矩形 能否相似 若能相似，求 的值（其中 ）．
答案
1. C
2. C 【解析】 相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
所有正方形都是相似多边形，
故选：C．
3. D
4. D
5. D
6. B
7. C
8. B
9. B
10. D
【解析】设较大多边形与较小多边形的面积分别是 ，．则 ．所以 ．
根据面积之和是 ．得到 ．解得 ．
11. D
【解析】【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解析】解：、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．
故选：．
【点评】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．
12. （1）与（7）；（2）与（10）
13. ④
14.
【解析】设原矩形窗户的长为 ，宽为 ，则通风部分的长为 ，宽为 ，
通风部分与原矩形窗户相似，
，即 ，
，，
，
．
故原矩形窗户的长与宽的比为 ．
15.
16. ①，④
17.
18. 四边形 是正方形，
，．
又 ，，
，且 ，，
，又 ，
四边形 为正方形，
四边形 与四边形 相似．
19. 同解析
【解析】【分析】设，再根据矩形与矩形相似即可求出的值，进而得出：的值；
由于小矩形放置的位置不确定，故应分三种情况讨论：
①两个小矩形都“竖放”；②两个小矩形都“横放”；③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”．
【解析】解：设，
矩形与矩形相似，，，
，即，解得，
：：：9；
解：两个小矩形的放置情况有如下几种：
①两个小矩形都“竖放”，如图，在这种放法下，周长和最大的两个小矩形，边长分别为1和，
故此时周长和的最大值为．
②两个小矩形都“横放”，如图及图所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是
[]．
③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如图，这时两个小矩形的周长和为
，
因为，即，故当时，此时两个小矩形的周长和最大为，
综上三种情形，知所求的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例，解答此题时要注意分类讨论．
20. 如图所示（答案不唯一）．
21. 所作图形如下：
22. （1） 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形 和矩形 不相似．理由如下：
设四周的小路的宽为 ，
，，
，
小路四周所围成的矩形 和矩形 不相似．
（2） 由题知 ，
解得 ，
与 的比值为 时，能使小路四周所围成的矩形 和矩形 相似．
23. （1） ，，，，
，．
，
．
小路内外边缘所成的矩形不相似．
（2） ，
，
．
如果两个矩形相似，那么有 ，即 ，
解得 ，不符合题意．
两个矩形不相似．
（3） 能．
当 时，解得 ．
当 时，解得 ．
当 或 时，两个矩形相似．
（4） 假设矩形 与矩形 相似，
则 ，即 ，解得 ．
矩形 与矩形 能相似，．