2022—2023学年苏科版数学八年级上册1.3 探索全等三角形的条件 同步强化提优训练 （word、含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上
《1.3 探索全等三角形的条件》同步强化提优训练（综合）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(　　)
A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. BD＝CE D. BE＝CD
第1题图 第2题图 第3题图 第5题图
2. 如图所示，已知AB∥DE，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝32°，∠A＝78°，则∠F等于(　　)
A．55° B．65° C．60° D．70°
3. 如图，李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是带哪块玻璃去(　　)
A．只带① B．只带② C．只带③ D．带①和②
4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是(　　)
A．AC＝DF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，∠B＝∠E
C．AB＝DE，AC＝DF D．AB＝DE，∠A＝∠D
5. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是(　　)
A.∠1=∠EFD 　 B.BE=EC C.BF=CD D.FD∥BC
6. 现已知线段a，b(a小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.
小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.
则下列说法中正确的是 (　　)
A.小惠的作法正确，小雷的作法错误 B.小雷的作法正确，小惠的作法错误
C.两人的作法都正确 D.两人的作法都错误
7. 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条图中的AB，CD两根木条，这样做是运用了三角形的（ ）
A.全等性 B. 灵活性 C. 稳定性 D. 对称性
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8. 如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（　　）
A. ∠A=∠C B. AB=AD C. AD∥BC D. AB∥CD
9. 如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　）
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
10.如果，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件是(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
二．填空题(30分)
11. 如图所示，D，E，F分别为ΔABC三边中点，则与ΔDEF全等的三角形有___个
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有___个
13. 如图所示，AB＝CD，AD，BC相交于点O，要使ΔABO≌ΔDCO，应添加的条件为________.(只需写一个)
14. 如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是_____（只写一个条件即可）．
15. 如图K－10－10，CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，AC与DE相交于点F，ED与AB相交于点G.若∠ACD＝40°，则∠AGD＝________°.
16. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17. 如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则∠B＝________°.
即∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.∵∠BAC＝80°，∠BDC＝120°，∴∠B＝∠C＝20°.
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF＝5 cm，则AE＝________cm.
19．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝20cm，则△DEB的周长为　　cm．
20.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，连接CE.有下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③AB=AC+CD；④D为BC的中点；⑤AD被CE垂直平分.其中正确的个数为（ ）
三。解答题（60分）
21．（5分）已知：如图，AD＝AE，∠B＝∠C，∠BAE＝∠CAD，BD与CE相于点F.
求证：AB＝AC.
22．（5分）如图，王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺(AC＝CB，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
23．（6分）已知：如图，B是CE的中点，AD＝CB，AB＝CD，DE交AB于点F.
求证：(1)AD∥BC； (2)AF＝BF.
24（8分）如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF.
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为所有正确的命题(用序号写出命题，书写形式：“如果**，那么*”)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
25. （8分）如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，作EC⊥AD于点C，FB⊥AD于点B，且AE=DF. (1)求证:EF平分线段BC;
(2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立 请说明理由.
26. （8分）(1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE.
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝CA，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，则结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
27 （10分）在四边形ABCD中，AB＝AD.
(1)如图①，若∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD.请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：____________．
(2)如图②，若∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图③，若∠B＋∠ADC＝180°，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，请直接写出EF，BE，FD三者的数量关系．
28.（12分）【拓展运用】学习了三角形全等的判定方法(“S.A.S.” “A.S.A.”“A.A.S.”“S.S.S.”)和直角三角形全等的判定方法(“H.L.”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后对∠B进行分类,可分为∠B是“直角、钝角、锐角”三种情况探究.
【深入探究】
第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据　　　　可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况,当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是钝角.
求证:△ABC≌△DEF.
第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,请你在图中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)∠B还满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF 请你写出结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角.若　　　　　　,则△ABC≌△DEF.
教师样卷
一．选择题(30分）
1. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(　　)
A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. BD＝CE D. BE＝CD
【答案】D　【解析】A.当∠B＝∠C时，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD(ASA)；B.当AD＝AE时，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD(SAS)；C.当BD＝CE时，∵AB＝AC，∴AD＝AE，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD(SAS)；D.当BE＝CD时，在△ABE与△ACD中，有AB＝AC，BE＝BD，∠A＝∠A，只满足两边及一对角对应相等的两个三角形不一定全等．故选D.
第1题图 第2题图 第3题图 第5题图
2. 如图所示，已知AB∥DE，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝32°，∠A＝78°，则∠F等于(　　)
A．55° B．65° C．60° D．70°
【答案】D　[解析] 因为AB∥DE，所以∠B＝∠DEF.由条件BE＝CF知BC＝EF.结合条件AB＝DE，可由“SAS”判定△ABC≌△DEF，所以∠F＝∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(78°＋32°)＝70°.
3. 如图，李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是带哪块玻璃去(　　)
A．只带① B．只带② C．只带③ D．带①和②
【答案】C　[解析] 由“ASA”的判定方法可知只带③去就可以配出一块和以前一样(全等)的三角形玻璃．
4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是(　　)
A．AC＝DF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，∠B＝∠E
C．AB＝DE，AC＝DF D．AB＝DE，∠A＝∠D
【答案】B　[解析] 选项A，D均可由“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，选项C可由“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，只有选项B不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF.
5. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是(　　)
A.∠1=∠EFD 　 B.BE=EC C.BF=CD D.FD∥BC
【答案】D　[解析] 在△AFD和△AFB中，∴△AFD≌△AFB.∴∠ADF=∠ABF.
∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ABC=90°.∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°.∴∠ADF=∠ABF=∠C.∴FD∥BC.
6. 现已知线段a，b(a小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.
小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.
则下列说法中正确的是 (　　)
A.小惠的作法正确，小雷的作法错误 B.小雷的作法正确，小惠的作法错误
C.两人的作法都正确 D.两人的作法都错误
【答案】A　[解析] AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.
7. 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条图中的AB，CD两根木条，这样做是运用了三角形的（ ）
A.全等性 B. 灵活性 C. 稳定性 D. 对称性
【答案】C【详解】解：三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变，故这样做是运用了三角形的稳定性．故选：C．
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8. 如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（　　）
A. ∠A=∠C B. AB=AD C. AD∥BC D. AB∥CD
【答案】B【详解】∵在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠CDB，∠A=∠C∴AD∥BC，AB∥CD，∴A、C、D选项正确.故选：B.
9. 如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　）
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
【答案】B【详解】根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．故选B．
10.如果，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件是(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【答案】A 【解析】增加①AB＝AE，则△ABC≌△AED(SAS)；增加③∠C＝∠D，则△ABC≌△AED(ASA)；增加④∠B＝∠E，则△ABC≌△AED(AAS)
二．填空题(30分)
11. 如图所示，D，E，F分别为ΔABC三边中点，则与ΔDEF全等的三角形有___个
【答案】3【详解】：已知D，E， F分别为△ABC三边的中点，∴EF∥BC，DF∥AC，
∴四边形DCEF，四边形BDEF，四边形DEAF平行四边形，故△FDB≌△DEF，△EDC≌△DEF，△AEF≌△DEF.
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有___个
【答案】3【详解】解：∵∴，即，当①时；在和中，
∴，故①符合条件；当②时在和中，
不能判定全等，故②不符合条件；当③时；在和中，∴，故③符合条件；当④时在和中，∴，故④符合条件；故①③④都符合条件，
13. 如图所示，AB＝CD，AD，BC相交于点O，要使ΔABO≌ΔDCO，应添加的条件为________.(只需写一个)
【答案】∠B＝∠C(或∠A＝∠D或AB∥CD或AD与BC互相平分)
【详解】试题解析：根据图形可得到 已知AB=CD，可添加 ∴≌ 故答案为（答案不唯一）
14. 如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是_____（只写一个条件即可）．
【答案】∠B=∠C（答案不唯一） 【详解】由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS、ASA进行全等的判定，答案不唯一：添加∠B=∠C，可由AAS判定△ABE≌△ACD；添加AB=AC或DB=EC可由SAS判定△ABE≌△ACD；添加∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB，可由ASA判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B=∠C
15. 如图K－10－10，CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，AC与DE相交于点F，ED与AB相交于点G.若∠ACD＝40°，则∠AGD＝________°.
【答案】40　[解析] 在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC(SSS)．∴∠A＝∠D.又∵∠AFG＝∠DFC，∴∠AGD＝∠ACD＝40°.
16. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．
【答案】2　[解析] ∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE.在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AD＝CF＝3.∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17. 如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则∠B＝________°.
【答案】20　[解析] 如图，过点D作射线AF.在△BAD和△CAD中，
∴△BAD≌△CAD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C.∵∠BDF＝∠B＋∠BAD，∠CDF＝∠C＋∠CAD，∴∠BDF＋∠CDF＝∠B＋∠BAD＋∠C＋∠CAD，
即∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.∵∠BAC＝80°，∠BDC＝120°，∴∠B＝∠C＝20°.
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF＝5 cm，则AE＝________cm.
【答案】3　[解析] ∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＋∠BCD＝90°.∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°.∴∠ECF＝∠B.在△ABC和△FCE中，∴△ABC≌△FCE(ASA)．
∴AC＝FE.∵AE＝AC－CE，BC＝2 cm，EF＝5 cm，∴AE＝5－2＝3(cm)．
19．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝20cm，则△DEB的周长为　　cm．
【答案】20 【解答】解：∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝∠ECD∵DE⊥BC于E，∴∠DEC＝∠A＝90°在△ACD与△ECD中，∵，∴△ACD≌△ECD（ASA），∴AC＝EC，AD＝ED，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°∴BE＝DE∴△DEB的周长为：DE+BE+BD＝AD+BD+BE＝AB+BE＝AC+BE＝EC+BE＝BC＝20cm．故答案为：20．
20.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，连接CE.有下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③AB=AC+CD；④D为BC的中点；⑤AD被CE垂直平分.其中正确的个数为（ ）
【答案】3　【解答】AD是角平分线，所以CD=DE，①正确.△ACD≌△AED，所以DA平分∠CDE，②正确.因为AC=BC，又因为∠B=45°，DE⊥AB，所以CD=DE=BE，所以AB=AC+CD.易知DB>CD，④错误.CE被AD垂直平分，⑤错误.所以，正确的个数有三个.
三。解答题（60分）
21．（5分）已知：如图，AD＝AE，∠B＝∠C，∠BAE＝∠CAD，BD与CE相于点F.
求证：AB＝AC.
证明：∵∠BAE＝∠CAD，(已知)∴∠BAE＋∠EAD＝∠CAD＋∠DAE，(等式性质)即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∵∴△ABD≌△ACE.(AAS)∴AB＝AC.(全等三角形的对应边相等)
22．（5分）如图，王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺(AC＝CB，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
解：由题意，得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°.∴∠ACD＋∠ECB＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°.∴∠BCE＝∠DAC.在△ADC和△CEB中，
∵∴△ADC≌△CEB.(AAS)由题意，得AD＝EC＝6 cm，DC＝BE＝14 cm，∴DE＝DC＋CE＝20 cm.答：两堵木墙之间的距离为20 cm.
23．（6分）已知：如图，B是CE的中点，AD＝CB，AB＝CD，DE交AB于点F.
求证：(1)AD∥BC； (2)AF＝BF.
证明：(1)在△ABD和△CDB中，∵∴△ABD≌△CDB.(SSS)
∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.
(2)∵AD∥BC，∴∠A＝∠FBE.∵B是CE的中点，∴BE＝BC＝AD.在△AFD和△BFE中，
∵∴△AFD≌△BFE.(AAS)∴AF＝BF.
24（8分）如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF.
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为所有正确的命题(用序号写出命题，书写形式：“如果**，那么*”)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
解：(1)如果①②，那么③；如果①③，那么②.
(2)若选择“如果①②，那么③”，理由：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D.∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝DB.在△ACE和△DBF中，∵∴△ACE≌△DBF.(AAS)∴CE＝BF.
若选择“如果①③，那么②”，理由：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D.在△ACE和△DBF中，
∵∴△ACE≌△DBF.(AAS)∴AC＝DB.∴AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD.
25. （8分）如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，作EC⊥AD于点C，FB⊥AD于点B，且AE=DF. (1)求证:EF平分线段BC;
(2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立 请说明理由.
解:(1)证明:∵EC⊥AD，FB⊥AD，∴∠ACE=∠DBF=90°.∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB.
在Rt△ACE和Rt△DBF中，∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL).∴EC=FB.在△CEG和△BFG中，∴△CEG≌△BFG(AAS).∴CG=BG，即EF平分线段BC.
(2)EF平分线段BC仍成立.理由:∵EC⊥AD，FB⊥AD，∴∠ACE=∠DBF=90°.∵AB=CD，∴AB-BC=CD-BC，即AC=DB.在Rt△ACE和Rt△DBF中，∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL).
∴EC=FB.在△CEG和△BFG中，∴△CEG≌△BFG(AAS).∴CG=BG，即EF平分线段BC.
26. （8分）(1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE.
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝CA，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，则结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
解：(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠AEC＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∴∠CAE＝∠ABD.在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA(AAS)．∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)成立．证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠EAC＝180°－α.∴∠DBA＝∠EAC.在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS)．∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
27 （10分）在四边形ABCD中，AB＝AD.
(1)如图①，若∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD.请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：____________．
(2)如图②，若∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图③，若∠B＋∠ADC＝180°，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，请直接写出EF，BE，FD三者的数量关系．
解：(1)EF＝BE＋FD(2)(1)中的结论EF＝BE＋FD仍然成立．
证明：如图，延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABG＋∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D.在△ABG与△ADF中，∴△ABG≌△ADF(SAS)．∴AG＝AF，∠1＝∠2.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF.又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠1＋∠3＝∠BAD＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF.在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF.∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋FD.
(3)EF＝BE－FD.
28.（12分）【拓展运用】学习了三角形全等的判定方法(“S.A.S.” “A.S.A.”“A.A.S.”“S.S.S.”)和直角三角形全等的判定方法(“H.L.”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后对∠B进行分类,可分为∠B是“直角、钝角、锐角”三种情况探究.
【深入探究】
第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据　　　　可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况,当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是钝角.
求证:△ABC≌△DEF.
第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,请你在图中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)∠B还满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF 请你写出结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角.若　　　　　　,则△ABC≌△DEF.
.解:(1)H.L. (2)证明:如图①,过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于点G,过点F作FH⊥DE,交DE的延长线于点H.∵CG⊥AB,FH⊥DE,∴∠G=∠H=90°.∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC,∠DEF都是钝角,∴180°-∠ABC=180°-∠DEF,即∠CBG=∠FEH.在△CBG和△FEH中,∵∠CBG=∠FEH,∠G=∠H=90°,BC=EF,∴△CBG≌△FEH(A.A.S.),∴CG=FH.
在Rt△ACG和Rt△DFH中,∵AC=DF,CG=FH,∴Rt△ACG≌Rt△DFH(H.L.),∴∠A=∠D.在△ABC和△DEF中,∵∠A=∠D,∠ABC=∠DEF,AC=DF,∴△ABC≌△DEF(A.A.S.).
(3)如图②所示,△DEF和△ABC不全等. (4)∠B≥∠A