椭圆双曲线离心率范围问题 专题讲义-2023届高三数学一轮复习备考（含答案）

椭圆双曲线离心率范围问题
离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
如：椭圆（以为例），则，
双曲线：（以为例），则（左支）（右支）
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：
典例讲解
例1：已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：在椭圆上的点与焦点连线所成的角中，当位于椭圆短轴顶点位置时，达到最大值。所以若椭圆上存在的点，则短轴顶点与焦点连线所成的角，考虑该角与的关系，由椭圆对称性可知，，所以，即，进而即，解得，再由可得
例2：已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线 离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
解：可得为直角三角形，且，结合可得，因为关于原点对称，所以即为的左焦半径。所以有，则 ，即关于的函数，在求值域即可：，
所以
答案：B
综合练习
1、已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是
A．， B． C．， D．，
2、已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，四边形的周长与面积满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3、已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为
A．， B． C．， D．
4、已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为
A． B． C． D．
5、已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
6、设椭圆的左、右焦点分别为、，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率取值范围是
A． B． C． D．
7、已知，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
8、已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围为
A． B． C． D．，
9、已知、分别为双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
10、已知、分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上任意一点，的最小值为，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．
椭圆双曲线离心率范围问题解析
离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
如：椭圆（以为例），则，
双曲线：（以为例），则（左支）（右支）
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：
典例讲解
例1：已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：在椭圆上的点与焦点连线所成的角中，当位于椭圆短轴顶点位置时，达到最大值。所以若椭圆上存在的点，则短轴顶点与焦点连线所成的角，考虑该角与的关系，由椭圆对称性可知，，所以，即，进而即，解得，再由可得
例2：已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线 离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
解：可得为直角三角形，且，结合可得，因为关于原点对称，所以即为的左焦半径。所以有，则 ，即关于的函数，在求值域即可：，
所以
答案：B
综合练习
1、已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是
A．， B． C．， D．，
【答案】C
【解析】设两切点分别为，，连接，，，依题意，、、、四点共圆，
，四边形为正方形，，，即，，即，，即．又，，椭圆的离心率的取值范围是，，故选：．
2、已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，四边形的周长与面积满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线的定义可知，又，，可知四边形是平行四边形，所以，联立解得，，又线段为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形为矩形，所以四边形的面积，又，所以，即，解得，由，得，即，即.故选：C.
3、已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为
A．， B． C．， D．
【答案】C
【解析】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，，设直线的方程，，，，，联立，整理得：，则，，由，则，解得：，，由，整理得：，则，即，椭圆的离心率，椭圆的离心率的取值范围，，故选：．
4、已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，，，则，，，又，，两式做差，得，，故．所以，．
5、已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】
如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，，．取，点到直线的距离不小于，，解得．．椭圆的离心率的取值范围是．
6、设椭圆的左、右焦点分别为、，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】点在椭圆的外部，所以，即，所以，由恒成立，，即，所以．又，
7、已知，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】椭圆上不存在点使，说明最大的角，小于，根据焦点三角形的性质，当时，角最大，取，又，，所以，，所以．
8、已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围为
A． B． C． D．，
【答案】A
【解析】由题意可设，，线段中点为，且，可得为的重心，设，，，，由重心坐标公式可得，，，即有的中点坐标，可得，，由题意可得中点在椭圆内，可得，由，可得，即有．故选：．
9、已知、分别为双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设点坐标为，则直线的方程为，右焦点到该直线的距离，所以，所以直线的方程为，与联立可得，因为在右支上，所以，所以，所以，即．
10、已知、分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上任意一点，的最小值为，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由定义知：，，，当且仅当，即时取得等号，设，，由焦半径公式得：，，，又双曲线的离心率，．