2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册1.1集合的概念 教案

1.1集合的概念
一、新课引入
同学们讨论分析：
1.方程是否有解？
2.所有到定点距离等于定长1的点组成何种图形？
强调研究对象，明确研究范围。
引出问题：
如何简洁、准确地表述数学对象以及研究范围呢？
过渡到集合的含义
一、知识点
1.集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母表示．把研究对象（元素）组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．
说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2.集合相等
两个集合中的元素是完全一样的
记法：
3.常用数集以及对应的记法
(1)全体自然数(Natural number)组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
(2)所有非负整数组成的集合称为正整数集，记作或；
注意：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，
(3)全体整数(Integer)(Zahlen)组成的集合称为整数集，记作Z；
(4)全体有理数(Quotient)组成的集合称为有理数集，记作Q；
(5)全体实数(Real number)组成的集合称为实数集，记作R．
4.集合中元素的特性
(1)确定性：
集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．
(2)互异性：
给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：
集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
5.元素与集合的关系
如果是集合的元素，就说属于集合，记作；
如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作．
注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．
5.集合的表示方法
(1)自然语言
(2)列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：
（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．
（2）“{ }”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．
(3)描述法
用集合所含元素的共同特性表示集合的方法称为描述法．
具体操作方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特性．
说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．
(4)图示法(Venn图法)
我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
思考一下：这几种集合的表示方法的不同之处以及分别适合表示什么样的集合？
二、典例分析
例1.能够组成集合的是__________
（1）与2非常数接近的全体实数
（2）清华附中高一年级长得漂亮的男同学
（3）某教室内的全体桌子
（4）与无理数π相差很小的数
（5）直角坐标系中横、纵坐标相等的点
（6）一切很大的数
（7）高中数学必修第一册书中的难题
例2.下列四个集合中不同于另外三个集合的是（ ）
A.{y | y=2} B.{x=2} C.{2} D.{x|x2-4x+4=0}
例3.用符号“”或“”填空
（1）______， ______， ______
（2）___________Q
（3）________
例4.下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
自主探究：已知，则
(1)若，则____(填“”或者“”)
(2)____(填“”或者“”)
(3)已知，请分析与A的关系
例5.已知集合，且，则_________
例6.用描述法表示下列集合：
（1）{0，2，4，6，8}；
（2）{3，9，27，81，…}；
（3）；
（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合；
（5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合.
例7.（1）已知，用列举法表示集合.
（2）已知集合，用列举法表示集合A．
例8.用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
例9.设，集合，则_______.
例10.如果集合中只有一个元素，则a的值是______
例11.已知集合A={x|x23x4a=0，x∈R}.
（1）当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素；　
（2）当A中有两个元素时，求a满足的条件；
（3）当A中至少有一个元素时，求a满足的条件.
自主探究：已知集合．
（1）若A为单元素集合，求的值；
（2）若A中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围.
三、本课小结
四、课后练习
（一）单选题
1.下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0; ②-a N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2; ④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（ ）
A．0 B．2019 C．1 D．0或2019
3.已知集合，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
4.集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
5.下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
6.设集合，若,则的值为
A． B． C． D．
7.已知集合，若，则实数的取值范围为______.
（二）多选题
1.下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（ ）
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x=0的解构成的集合
（三）解答题
1.不等式的解集为_________
2.下列各组中的两个集合相等的有__________.
A、，；
B、，；
C、，.
D．，
E．，
F．，
3.定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________
4.定义．已知，，，用列举法表示________．
5.已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为_________.
6.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1 A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
7.已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
8.由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么.
（1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.