高中数学人教A版（2019）必修第一册 5.1.2弧度制教案

第五章 三角函数
5.1任意角和弧度制
第2课时弧度制
【课程标准】
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
掌握并能熟练运用弧长公式和扇形面积公式。
【知识要点归纳】
1．角度制：用度作为单位度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
2.．弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
3.单位圆：半径为1的圆叫做单位圆
4．角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)
5．弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
注解：
(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.
【经典例题】
例1．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。
【解析】（1）如下图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即，
而rad，∴所求集合为。
（2）如上图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即，
而rad，∴所求集合为。
例2．设角，，，。
（1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）将，用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角。
【解析】（1），。
所以在第二象限，在第一象限。
（2），设=k·360°+（k∈Z），
因为－720°≤＜0°，所以－720°≤k·360°+108°＜0，解得k=―2或k=―1，
所以在―720°～0°间与有相同终边的角是―612°和―252°。
同理=―420°，在―720°～0°间与有相同终边的角是－60°。
例3．已知一扇形的圆心角为（＞0），所在圆的半径为R．
（1）若=60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该扇形的面积；
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解析】（1）设弧长为l，弓形面积为S，则，
R=10，（cm），设扇形面积为S，
（2）设扇形的半径为R，弧为为l，
则l+2R=20，即l=20－2R，（0＜R＜10）．
∴扇形的面积．
∴当R=5 cm时，S有最大值25 cm2，
此时l=10 cm，．
因此，当=2 rad时，扇形的面积取最大值
【变式1】扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，求扇形的圆心角的弧度数及弦AB的长。
【解析】设长为cm，扇形半径为R cm，则由题意，
得，解得 或 （不合题意，舍去）。
∴（rad）。
∴弦（cm）。
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．　　
A． B． C． D．
2．化成弧度是　　
A． B． C． D．
3．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长是　　
A． B． C． D．
4．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
5．已知扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为　　．
6．已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为　　．
三．解答题（共2小题）
7．已知扇形的周长为8．
（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长．
8．已知扇形的圆心角为，半径为．
（1）若，，求圆心角所对的弧长．
（2）若扇形的周长是，面积是，求和．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．　　
A． B． C． D．
【分析】利用弧度，1弧度即可求得答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题主要考查了弧度和角度的互化，考查了转化思想，属于基础题．
2．化成弧度是　　
A． B． C． D．
【分析】根据，计算即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了弧度与角度的计算问题，是基础题．
3．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长是　　
A． B． C． D．
【分析】连接圆心与弦的中点，可得半弦长，，解得半径为2，代入弧长公式求弧长即可．
【解答】解：连接圆心与弦的中点，
则由题意可得，，，
在中，半径，
由弧长公式可得所求弧长．
故选：．
【点评】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，属基础题．
4．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，由已知利用扇形的面积公式，三角形的面积公式可求弓形的面积，由于外侧的圆弧以为直径，可求半圆的面积，即可求解月牙形的面积．
【解答】解：由已知可得，的外接圆半径为1，
由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，
则弓形的面积为，
外侧的圆弧以为直径，
所以半圆的面积为，
则月牙形的面积为．
故选：．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，三角形的面积公式的综合应用，考查了数形结合扇形和转化思想，属于中档题．
二．填空题（共2小题）
5．已知扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为　1　．
【分析】利用扇形的弧长公式、面积公式，即可得出结论．
【解答】解：扇形的圆心角为2弧度，半径为，
扇形的弧长，扇形的面积为．
故答案为：1．
【点评】本题考查扇形的弧长公式、面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
6．已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为　　．
【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解．
【解答】解：由弧长公式可得．
故答案为：
【点评】本题主要考查了弧长公式的简单应用，属于基础试题．
三．解答题（共2小题）
7．已知扇形的周长为8．
（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长．
【分析】设扇形的半径为，中心角为，则．，．
（1）由题意可得：，又．联立解得．
（2），利用基本不等式的性质、直角三角形的边角关系即可得出．
【解答】解：设扇形的半径为，中心角为，则．，．
（1）由题意可得：，又．
联立解得或．
（2），
当且仅当．．
．
【点评】本题考查了弧长公式、扇形计算公式、直角三角形的边角关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于较易题．
8．已知扇形的圆心角为，半径为．
（1）若，，求圆心角所对的弧长．
（2）若扇形的周长是，面积是，求和．
【分析】（1）利用弧长公式即可得出．
（2）由题意可得：，，联立解得即可得出．
【解答】解：（1），弧长．
（2）由题意可得：，，联立解得．
【点评】本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．