高县县中2022-2023学年高二上学期9月开学考试
文科数学 解析版
一 选择题：本愿共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若ac＜bc，则a＜b B. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C. 若a＞b＞0，则a2＞b2 D. 若a＜b，c＜d，则a-c＜b-d
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可.
【详解】对于A，因为ac＜bc，所以c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；
对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，才有ac＞bd，所以B错误；
对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；
对于D，由a＜b，c＜d，得出-d＜-c，能推出a-d＜b-c，但原命题不一定成立，所以D错误.
故选:C
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据两向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】若，则有，解得：，
故选：A
3. 已知m、n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则且
C. 若，，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对A，若，，则，可能平行，相交，异面，故A错误；
对B，若，，则可能，故B错误；
对C，若，，，则，可能平行，相交，异面，故C错误；
对D，若，则存在，且，又，则，所以，故D正确，
故选：D
4. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理，可直接求出值.
【详解】中，由正弦定理得，所以，
故选A.
【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题．
5. 在等差数列中，若，，则的值为（ ）
A. -5 B. 0 C. -10 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据，，求得公差d，再利用通项公式求解.
【详解】在等差数列中，，，
所以，
，
故选：B
6. 在△ABC中，B＝，AB＝2，D为AB中点，△BCD的面积为，则AC等于（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出即可.
【详解】因为S△BCD＝BD·BCsin B＝×1×BCsin，所以BC＝3，
由余弦定理得AC2＝4＋9－2×2×3cos，所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.
7. 函数的最小值是( )
A. 2＋2 B. 2－2 C. 2 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先将函数变形可得y==（x﹣1）++2，再利用基本不等式可得结论．
【详解】y==（x﹣1）++2
∵x＞1，∴x﹣1＞0
∴（x﹣1）+≥2（当且仅当x=+1时，取等号）
∴y=≥2+2
故选A．
【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
8. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.
【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.
故选:D.
【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.
9. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是：.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.
10. 已知各顶点都在一个球面上正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】正四棱柱底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
即，
11. 如图，为等腰直角三角形，为斜边上的高，点在射线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，进而根据，结合二次函数最值，向量数乘运算的及其运算律求解即可得答案.
【详解】解：由，设，
则，
所以当时，取得的最小值为.
故选：B .
12. 已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.
【详解】因为数列的前n项和，
当时，；
当时，满足上式，
所以，
又，恒成立，所以，恒成立；
令，
则对任意，显然都成立，
所以单调递增，
因此，即的最小值为，
所以，即实数的最大值是.
故选：C
【点睛】思路点睛：
根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.
二 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填在答题卡相应横线上.
13. 若数列的前项和为，且，则___________.
【答案】18
【解析】
【分析】由等差数列的定义可得数列等差，结合的值利用等差中项计算即可.
【详解】因为，所以数列等差且公差为2，
所以.
故答案为：18.
14. 已知变量，满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用线性约束条件作出可行域，平移目标函数求得最大值.
【详解】作出约束条件，表示的可行如图所示，由可得，平移直线，可知当直线过点时，取得最大值，为．
故答案为：4.
15. 如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是__．
【答案】90°
【解析】
【分析】取中点，连接，利用三角形全等证明即可得出答案．
【详解】
取中点，连接，
由于分别为的中点，，且
为平行四边形
由于分别为的中点
且
故△≌△D′DN
可知∠CDM′＝∠DD′N，
∴∠CDM′+∠D′ND＝∠DD′N+∠D′ND＝90°，
∴DM′⊥D′N，
∴AM⊥D'N，
∴异面直线AM与D'N所成的角为90°．
故答案为：90°．
16. 在中，角A B C所对的边分别为a b c，，向量，且，面积的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量垂直可得，再通过角的变换，得出角A，由余弦定理和基本不等式可求出，从而得出面积的取值范围.
【详解】由得：，
而，代入上式展开得：
，
又，化简得：，又，所以，
由余弦定理可得：，
代入数据得：，
又因为，可得：，
当且仅当时， 有最大值4，
所以面积的最大值为：，
故面积的取值范围是：
三 解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明 证明过程成演算步骤.
17 已知向量，，求：
（1）；
（2）向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先用坐标表示，再利用模长的坐标表示，即得解；
（2）先用坐标表示，再计算，由，即得解
【小问1详解】
由题意，，
故
【小问2详解】
由题意，
故
，
故
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知c cosB+（b-2a）cosC=0
（1）求角C的大小
（2）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【详解】试题分析：
(1)由题意首先利用正弦定理边化角，据此求得，则角C的大小是；
(2)由题意结合余弦定理可得，然后利用面积公式可求得△ABC的面积为.
试题解析：
（1）∵c cosB+（b-2a）cosC=0，
由正弦定理化简可得：sinCcosB+sinBcosC-2sinAcosC=0，即sinA=2sinAcosC，
∵0＜A＜π， ∴sinA≠0． ∴cosC=． ∵0＜C＜π， ∴C=．
（2）由（1）可知：C=．
∵c=2，a+b=ab，即a2b2=a2+b2+2ab．
由余弦定理cosC==，
∴ab=（ab）2-2ab-c2．
可得：ab=4．
那么：△ABC的面积S=absinC=．
19. 已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用求解，
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法可求得结果.
【小问1详解】
当时，，即，
当时，，
因为满足上式，
所以，
【小问2详解】
由（1）得，
所以数列的前n项和为
20. 如图，在长方体中，底面四边形是正方形.
（1）求证：平面；
（2）若，求几何体的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用与，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由即可求解.
【小问1详解】
∵四边形是正方形，∴.
∵平面，平面,∴.
∵平面,
∴平面；
【小问2详解】
.
21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为的中点，平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）连接,利用线面平行的判定定理，证明即可；
（2）以点为原点，为轴，过点做平行于方向为轴，为轴建立坐标系，分别求平面和平面的法向量，证明两法向量垂直即可；
（3）求的方向向量和平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值即可.
【小问1详解】
如图所示，连接，
因为为平行四边形，是中点，所以是平行四边形的对角线，所以是中点，
又因为是中点，所以是中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平行四边形中，，所以,
过点作交于，所以,
又因为平面，平面，所以，即两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示坐标系，
由图可得
所以
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，令解得，
因为，所以平面平面.
【小问3详解】
由（2）得,
所以，设平面的法向量，直线与平面所成角为，
则.
22. 设函数.
（1）若不等式的解集为，求a，b的值；
（2）若时，，求的最小值；
（3）若，求不等式的解集.
【答案】（1），
（2）
（3）详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据方程的两个根，代入原方程即可求和；
（2）利用“”与基本不等式即可求得最小值；
（3）对分类讨论，再根据一元二次不等式的性质求解即可.
【小问1详解】
由题知：的两个根分别是，
代入方程得：，解得：.
【小问2详解】
时，，即，所以有：，
那么=
=，
此时，且，
即时，有最小值.
【小问3详解】
若，则，
，即，
①当时，即，解得：，
不等式解集为：
当时，令，解得：，
②当时， 若，不等式解集为：；
若，不等式解集为：
若，不等式解集为：
③当时，不等式解集为：高县县中2022-2023学年高二上学期9月开学考试
文科数学 原卷版
一 选择题：本愿共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若ac＜bc，则a＜b B. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C. 若a＞b＞0，则a2＞b2 D. 若a＜b，c＜d，则a-c＜b-d
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
3. 已知m、n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则且
C. 若，，，则
D. 若，，则
4. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则
A. B. 2 C. 3 D.
5. 在等差数列中，若，，则的值为（ ）
A. -5 B. 0 C. -10 D. 15
6. 在△ABC中，B＝，AB＝2，D为AB中点，△BCD面积为，则AC等于（ ）
A. 2 B. C. D.
7. 函数的最小值是( )
A. 2＋2 B. 2－2 C. 2 D. 2
8. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A. B. C. D.
9. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
10. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D.
11. 如图，为等腰直角三角形，为斜边上的高，点在射线上，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
12. 已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（ ）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
二 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填在答题卡相应横线上.
13. 若数列的前项和为，且，则___________.
14. 已知变量，满足约束条件，则的最大值为__________．
15. 如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是__．
16. 在中，角A B C所对的边分别为a b c，，向量，且，面积的取值范围是_________.
三 解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明 证明过程成演算步骤.
17. 已知向量，，求：
（1）；
（2）向量与夹角的余弦值．
18 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知c cosB+（b-2a）cosC=0
（1）求角C的大小
（2）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积．
19. 已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
20. 如图，在长方体中，底面四边形是正方形.
（1）求证：平面；
（2）若，求几何体的体积.
21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为的中点，平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值.
22. 设函数.
（1）若不等式的解集为，求a，b的值；
（2）若时，，求的最小值；
（3）若，求不等式的解集.
