四川省绵阳市盐亭县中2022-2023学年高二上学期9月入学考试数学试题（Word版含答案）

盐亭县中2022-2023学年高二上学期9月入学考试
（理科）(数学)
地区: 四川 总分: 150分 年级: 高二 类型: 月考试卷
1. 设 是正方形 的中心, 则向量 是 ( )
A.相等向量 B.平行向量
C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
2. 若 , 且 , 则下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知数列 满足 , 则 （ ）
A.2 B. C. D.
4. 某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图．圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为( )
A. B. C. D.1
5. 在 中, 角 所对的边分别为 , 若 , 则 ( )
A. B.
C. 或 D. 或
6. 已知向量 满足 , 则 的夹角是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在我国古代数学名著《九章算术》中, 将底面为直角二角形, 且侧棱垂直于底面的棱柱称为 堑堵. 已知在堑堵 中, , 若直线 与直线 所 成角为 , 则 （ ）
A. B. 2 C. D.
8. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 ( )
A.0 B.2 C. D.3
9. 设 是等比数列 的前 项和, , 则首项 （ ）
A. B.12
C.1 或 D.3 或12
10. 已知 是球 的球面上两点, 为该球面上动点, 若三棱锥 体积的最大值为 , 则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知数列 满足 为 的前 项和, 则 （ ）
A.300 B.320 C.340 D.360
12. 在锐角 中, 角 的对边分别为 的面积为 , 若 , 则 的取值范围为 ( )
A.
B.
C.
D.
13. 满足不等式 的 取值范围是_______________.
14. 如图, 从气球 上测得正前方的河流的两岸 的俯角分别为 , 此时气球的高 是 , 则河流的龟度 约等于_____________ . (用四舍五入法将结果精确到个位.
参考数据: )
15. 中, 的平分线 交边 于 , 已知 , 且 , 则 的长为__________________.
16. 如图, 已知圆 的直径 长为 2 , 上半圆圆弧上有一点 , 点 是劣弧 上的动点, 点 是下半圆弧上的动点, 现以 为折线, 将上、下半圆所在的平面折成直二面角, 连接 . 则三棱锥 的最大体积为________________.
17. 已知 三个顶点的直角坐标分别为 .
（Ⅰ）若 , 求 的值;
（Ⅱ）若 , 求 的值.
18. 已知数列 的前 项和为 , 且 .
（Ⅰ ) 求数列 的通项公式 ;
（Ⅱ) 设 , 求数列 的前 项和 .
19. 解答题（12分）
已知函数 , 其中 为实常数.
（Ⅰ）解关于 的不等式 ;
（Ⅱ ) 若不等式 对任意 恒成立, 求 的取值范围.
20. 解答题（12分）
在 中, 分别是内角 的对边, .
(Ⅰ)若 , 求 的值;
(Ⅱ) 若 是边 中点, 且 , 求边 的长.
21. 解答题（12分）
如图, 是 的直径, 垂直于 所在的平面, 是圆周上不同于 的一 动点.
(Ⅰ) 证明: 是直角三角形;
(Ⅱ) 若 , 且当直线 与平面 所成角的正切值为 时, 求直线 与平面 所成角的正弦值.
22. 解答题（12分）
已知等差数列 中, 公差 是 与 的等比中项, 设数列 的 前 项和为 , 满足 .
(Ⅰ) 求数列 与 的通项公式;
(Ⅱ)设 , 数列 的前 项和为 , 若 对任意的 恒成立, 求实数 的取值范围.
参考答案及解析
1. 【答案】D
【解析】
如图
向量 是模相等的向量。
故选D.
2. 【答案】C
【解析】
根据c , 且 , 取 , , 则可排除 .
故选: C.
3. 【答案】C
【解析】
根据题意, 当 时, 有 , ;
当 时, 有 .
故选: C.
4. 【答案】B
【解析】
根据几何体的三视图：
如图所示：
由于底面周长为 8 ,
得到: ,
解得: ,
所以：点 到 在下地面上的射影的弧长为 ,
所以： 的最小值为
.
故选: B.
5. 【答案】D
【解析】
在 中, 角 所对的边分别为 , 若 , ,
利用正弦定理： ,
整理得 ,
所以 或 ,
当 时, ,
当 时, .
故选: D.
6. 【答案】A
【解析】
设向量 的夹角为 , 由 , ,
所以 , 即 ,
解得 ;
又 ,
所以 ;
即 的夹角是 .
故选: A.
7. 【答案】B
8. 【答案】B
【解析】
作出约束条件
对应的平面区域如图阴影部分所示;
由 得 , 平移直线 ,
由图象可知当直线 经过点 时, 直线 的截距最大,
此时 最大; 由 , 解得 ,
即
代入目标函数 得 , 即目标函 数 的最大值为 2 .
故选: B.
9. 【答案】D
【解析】
是等比数列 的前 项和, , ,
当公比 时， ,
当公比 时, ，
解得 或 ,
首项 的值为 3 或12.
故选: D.
10. 【答案】B
【解析】
如图所示,
当点 位于垂直 于面 的直径端点时, 三棱锥 的体积最 大,
球 的半径为 , 此时
解得 , 则球 的表面积为 ,
故选: B..
11. 【答案】C
【解析】
因为 ,
所以当 为偶数时，有
,
,

,
,

当 为奇数时, 有 ,







.
故选: C.
12. 【答案】D
【解析】
在 中, ,
,
,
, 即 ,
由余弦定理可得， ,
故 ,
由正弦定理可得, ,
化简整理可得, ,
故 或 (舍去),
则 ,
为锐角三角形,
,
解得 ,
故 ,

故选D.
13. 【答案】

【解析】
由不等式 ,
可得 或 ,

故不等式的解集为 ,
14. 【答案】
120
【解析】
如图所示
, 垂足为 , 在 中, , ,
所以 , 在 中,

,
根据正弦定理
得


所以河流的宽度 约等于 .
15. 【答案】

【解析】
如图所示, 因为 三点共线,
所以 , 即 .
在 上取一点, 使 , 在 上取一点 使 , 由 ,
可知四边形 为平行四边形,
又 , 所以 平行四边形 为菱形.
因为 ,
所以菱形的边长为 2 .
在 中, ,
所以 .
16. 【答案】

【解析】
如图
要使三棱锥 的体积最大, 即三棱锥 的体积最大,
需要 的面积最大且 到平面 的 距 最大.

当 时, 最大值为 ,
平面 平面 , 要使 到 的距 离最大, 则 为半圆弧 的中点,
此时 到平面 距离的最大值为 1 .
三棱锥 的最大体积为 。
17. 【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ） .
【解析】
(Ⅰ) 由 .
得到: , 则 ,
解得
(Ⅱ) 当 时, , 则 ,
根据余弦定理得: ,
由 , 得到 .
18. 【答案】
(Ⅰ)
(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ) , 当 时, ,
两式相减得 .
为从第二项开始的等比数列,

(Ⅱ)
①当 时,
.
②当 时, , 满足 ,
综上所述： .
19. 【答案】
（Ⅰ）见解析
（Ⅱ） .
【解析】
(Ⅰ) 由题意,
①当 时, 不等式的解集为
②当 时，不等式的解集为
③当 时, 不等式的解集为
(Ⅱ) 不等式 对任意 恒成立,
即 对任意 恒成立 将参数 分离出来, 即
由于 , 所以

所以 ) 的最小值为 2 , 当且仅当 时, 取得最小值.
所以 .
20. 【答案】
(Ⅰ) .
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅱ) ,
由余弦定理: ,
又 , 所以 ,
由正弦定理: ,
得 .
( Ⅱ ) 以 为邻边作如图所示的平行四边形 , 如图,
则 , 在 中,
由余弦定理: .
即 ,
解得: .
在 中, ,
即 .
21. 【答案】
(Ⅰ)见解析
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ) 证明 是 的直径, 是圆周上不同于 的一动点 ,
平面 ,
又 平面 ,
平面 ,
是直角三角形
(Ⅱ) 如图,
过 作 于 ,
平面 ,
,
又 平面 ,
平面 ,
是直线 与平面 所成的角,
平面 ,
是直线 与平面 所成的角,
, 又 ,
在 中, ,
在 中, ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 。
22. 【答案】
(Ⅰ) ; ;
(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ) ,
则 ,
解得 或 （舍去),

当 时, , 则 ，
当 时, , 则 , 即 ,
则数列 是以首项 , 公比为 的等比数列,

(Ⅱ) ,
,
,
两式相减得:

,
对任意的 恒成立,
即 对任意的 恒成立,
①当 是奇数时, 任意的 恒成立,
对任意的 恒成立;
②当 是偶数时, 对任意的 恒成立,
对任意的 恒成立,
令 ,
对任意的 恒成立, 为递增数列,
故①当 是奇数时, , 即 ,
②当 是偶数时, 剟 ,
即 的取值范围是 .