（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题9.2空间点、直线、平面间的位置关系

9.2 空间点、直线、平面间的位置关系
课标要求 考情分析 核心素养
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实和定理； 2.理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 新高考3年考题 题号 考点 数学运算 逻辑推理 直观想象
2020(Ⅰ、II)卷 4 线面角
2022(Ⅰ)卷 9 异面直线所成的角，线面角 19(1) 点到平面的距离
2022(Ⅰ)卷 9 异面直线所成的角，线面角
1．基本事实1－3
基本事实1 基本事实2 基本事实3
文字 语言 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形 语言
符号 语言 A，B，C三点不共线 有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
作用 ①确定平面； ②证明点、线共面； ③证明两个平面重合 判断直线是否在平面内 ①判断两个平面是否相交； ②证明点共线和线共点问题
2．基本事实3的三个推论
自然语言 图形语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
3．空间中直线与直线的位置关系
(1) 位置关系分类
(2) 异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：0°<θ≤90°.
(3) 基本事实4
自然语言 图形语言 符号语言 作用
平行于同一条直线的两条直线平行 a∥b且b∥c a∥c 判断两条直线是否平行
(4) 等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
5．空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点 (在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
6. 直线与平面所成的角
①平面的一条与平面交于点,于点,即为直线在平面上的射影，直线与其投影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角，
直线与平面平行，所成角为0，直线与平面垂直，所成角为.
②范围：[0°，90°].
③最小角定理：平面的斜线与其在平面内的投影所成角是这条斜线和这个平 面内任何一条直线所成角中最小的角.
7.二面角
①在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内 分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的,叫做二面角的平面角.平面角为直角的二面角为直二面角.
②范围：[0°，180°]．
8. 点到平面的距离与直线到平面的距离
①从平面外一点引这个平面的垂线，这个点到垂足的距离叫做点到这个平面的距离.
②线面间距离、面面间距离与线线间、点线间距离常常可以相互转化。解决这些问题的特点是：计算过程常常伴有论证，求解过程一般是通过论证所求元素转化到某个三角形或其他平面图形中，再通过解三角形或其他平面图形来获得结果.
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的2个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
1．【P132 习题5】空间中三个平面最少把空间分成 部分；最多把空间分成 部分．
2．【P132 习题9】（多选）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是( )
A. 与平行
B. 与是异面直线
C. 与是异面直线
D. 与是异面直线
考点一　平面的基本性质及应用
【方法储备】
共面、共线、共点问题的证明
【典例精讲】
例1. (2022·安徽·单元测试) 如图，正方体中，，，分别在棱，，上，且，相交于点，求证：，，三线共点．
【名师点睛】
证明“三线共点”问题的思路
（1）第一步：证明直线,又有，得,
（2）第二步：，由基本事实3得：.
【靶向训练】
练1-1. (2022·湖南·单元测试) 如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：、、三点共线．
练1-2.(2022·江苏省·单元测试) 如图所示，在正方体中，，分别是和的中点．求证：
，，，四点共面；
，，三线共点．
考点二　空间线、面的位置关系
【方法储备】
空间中两直线位置关系的判定方法
【典例精讲】
例2. (2022·浙江省·单元测试)（多选）下列四个结论中假命题的是( )
A. 垂直于同一直线的两条直线互相平行
B. 平行于同一直线的两直线平行
C. 若直线，，满足，，则
D. 若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线
【名师点睛】
对于空间点、线、面的位置关系的判定，基本策略有：应用平面的基本性质及其相关推论；或采用穷举法，即对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观作用；或应用线、面平行或垂直的判定或性质定理进行判断，注意其使用的前提条件.
【靶向训练】
练2-1. (2022·江苏省·入学测验) 已知，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则直线平行于平面内的无数条直线
B. 若，，则
C. 若，，，则与是异面直线
D. 若，，则，一定相交
练2-2. (2022·湖南省株洲市·期末考试) 如图，这是一个正方体的平面展开图，，，，分别是棱，，，的中点，则在该正方体中( )
A.
B. 与是异面直线
C. ，，相交于一点
D.
考点三　异面直线所成的角
【方法储备】
用平移法求异面直线所成的角的三步法：
【典例精讲】
例3. (2021·湖北省·期末考试)九章算术是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体如图，其中四边形为矩形，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为 ．
【名师点睛】
利用平移法，将异面问题化归为共面问题来解决
（1）平移：①利用图中已有的平行线平移；
②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；
③补形平移.
（2）认定：确定异面直线所成的角或其补角；
（3）计算：在三角形中，用余弦定理求角的余弦.
（4）当所求角为钝角时，应取其补角作为两条异面直线所成的角.
【靶向训练】
练3-1. (2021·安徽省合肥市·单元测试) 如图所示，在正三棱柱中，是的中点，：：，则异面直线与所成的角为 ．
练3-2. (2021·江苏·期末考试) 如图，矩形是圆柱的轴截面，且，其中在平面同侧，则异面直线与所成的角为( )
A. B.
C. D.
考点四　直线与平面所成的角
【方法储备】
1. 定义法求直线与平面所成角
2.公式法求直线与平面所成角
(其中h为斜线上除斜足外的任意一点到所给平面的距离，l为该点到斜足的距离，为斜线与平面所成的角)
【典例精讲】
例4. (2021·山西省·单元测试) 在三棱锥中，三条棱，，两两互相垂直，且，是边的中点，则与平面所成角的正切值是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
先根据已知条件，通过论证，找到线面角，然后再进行求值，
【靶向训练】
练4-1. (2022·江苏省南通市·期末考试) 在正三棱锥中，是棱上的点，且设，与平面所成的角分别为，，则( )
A. B. C. D.
练4-2. (2021·河北省邯郸市·入学测验) 如图，在正方体中，是棱的中点，是四边形内一点包含边界平面，当线段长度最大时，与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
考点五　二面角
【方法储备】
求二面角的方法
定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线的夹角即为二面角的平面角；
垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即为二面角的平面角；
三垂线法：利用三垂线定理可找出二面角的平面角或其补角；
利用射影面积公式：，该方法可用于解决无棱二面角大小的计算；
向量法：后面专题讲到.
【典例精讲】
例5. (2021·全国·单元测试) 在三棱台中，底面为等腰直角三角形，，侧面是等腰梯形且与底面垂直，，，，设二面角的大小为，则 ．
【名师点睛】
先通过作垂线，构造出二面角，并利用线面垂直的判定定理或性质定理论证二面角就是所求的角，然后通过解三角形求出二面角的正切值，体现一作二证三求的解题思路.
【靶向训练】
练5-1. (2022·浙江省·模拟题) 我国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”在如图所示的“堑堵”中，，则二面角的正切值为( )
A. B. C. D.
练5-2. (2021·福建省福州市·期末考试) 三棱锥中，，，，，两两垂直，为中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ；取中点，则二面角的大小是 ．
考点六　点到平面的距离
【方法储备】
求点面距一般有以下三种方法：
(1)直接法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离，论证过程可以结合线线垂直、线面垂直等性质定理和判定定理;
(2)间接法：等体积法，特殊值法等转化求解．
(3)向量法：其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．后面专题会讲到.
【典例精讲】
例6. (2022·全国·月考试卷) 正三棱锥的高为，侧棱与底面所成的角为，则点到侧面的距离是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
过该点作平面的垂线，通过解直角三角形，求得距离；或者存在过该点的直线与平面平行，转化为求平行线上的其他点到平面的距离.
等体积法：构造三棱锥，换不同的点作为顶点，体积表示2次，求出点到平面的距离；
【靶向训练】
练6-1.(2022·山西省晋中市·月考试卷) 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为 ( )
A. B. C. D.
练6-2. (2022·全国·单元测试) 如图，在三棱柱中底面为正三角形，平面，，，是边的中点．
证明：平面平面．
求点到平面的距离．
核心素养系列 直观想象——立体几何中的动点问题
立体几何中的动点问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度或动角的范围等．
一般是根据线、面平行，线、面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程)．
【典例精讲】
例7. (2022·湖北省·模拟题) 在四棱锥中，平面，，点是矩形内含边界的动点，且，，直线与平面所成的角为记点的轨迹长度为，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
以立体几何为载体的轨迹问题，将立体几何与解析几何巧妙地结合在一起，综合性强，解答这类问题的关键是将空间问题转化为平面问题，一般可以从两方面考虑：一是利用曲线的定义，二是利用解析法求出轨迹方程．
练7-1. (2021·湖北·月考)如图，已知正方体的棱长为，则线段上的动点到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
练7-2. (2022·山东省日照市·模拟题) 如图，二面角的平面角的大小为，，是上的两个定点，且，，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部包括边界，则点的轨迹的长度等于 ．
易错点1.对异面直线的概念理解不到位，忽略异面直线所成的角的范围．
例8. (2021·江苏省无锡市·期中考试) 已知正四棱柱中，，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ．
易错点2．对等角定理条件认识不全．
例9. (2021·福建省福州市·周练) 若，，则下列结论：
；
；
或．
一定成立的是 ．
易错点3．要注意各个基本事实的前提条件，如确定平面时，三点不共线，一条直线以及直线外的一点等．
例10. (2022·湖北省·单元测试)下面各图的正方体中，，，，分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是 把正确图形的序号都填上．
易错点4．在判断空间中线线、线面、面面位置关系时，要根据定理全面考虑所有可能情况．
例11.(2021·云南省·月考)，，是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
若，，则；
若与相交，与相交，则与相交；
若平面，平面，则，一定是异面直线；
若，与成等角，则．
其中，正确的命题是 填序号
答案解析
【教材改编】
1.【解析】当三个平面两两平行时，可以把空间分成四部分，
当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成部分，
故答案为：；
2.【解析】将正方体的展开图还原为正方体，如图所示，
可得与是异面直线；与平行；与是异面直线；与是异面直线．
故选CD．
【考点探究】
例1.【解析】证明：因为，
所以，，
又平面，平面，
所以平面，平面，
因为平面平面，
所以在上，
所以，，三线共点．
练1-1.【解析】证明：如图，连接，，则，因为，
所以四边形为平行四边形，
又，平面，则平面，
因为平面平面，所以．
即、、三点共线．
练1-2.【解析】如图，连结，，B.
，分别是，的中点，
．又，
，
，，，四点共面．
，，
与必相交，
设交点为，如图所示．则由，平面，得平面．同理平面．
又平面平面，
直线，
，，三线共点．
例2.【解析】垂直于同一个直线的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，显然命题是假命题；
由基本事实4可知命题是真命题；
将直线平移到的位置，由于，故而，故命题是真命题；
在直线上取点，在直线上取点，，则，都与，相交，
显然，相交，故命题是假命题．
故选AD．
练2-1.【解析】对于，由已知在内有无数条直线和平行，根据平行公理直线平行于平面内的无数条直线，故正确；
对于，若，，根据面面平行的性质可以得出，故正确；
对于，若，，，则与是异面直线或是平行，故错误；
对于，若，，则，，可能相交或平行，故错误．
故选AB．
练2-2.【解析】将正方体的平面展开图还原，得到如图所示的正方体，
因为，，，分别是棱，，，的中点，所以与是异面直线，，．
设，相交于点，所以平面平面，所以，即，，相交于一点．
连接因为与不垂直，所以与不垂直．
例3.【解析】如图，在平面 中，过 作 交 于 ，连接 ，
则 或其补角为异面直线 与 所成的角．
设 ，则 ， ．
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ， ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
即异面直线与所成角的大小为．
练3-1.【解析】取的中点，连接，
是的中点，
，即为异面直线与所成的角．
连接，设，则，
，，
，
．
故答案为
练3-2.【解析】在底面上取一点使得，连接，，，
易得，所以为异面直线与所成的角或其补角，
平面平面1,
平面，,
由，，，得，，
所以，则为等边三角形，即，
在直角中，，所以，
所以，即异面直线与所成的角为，故选A．
例4.【解析】三条棱，，两两互相垂直，且，
，，平面，
，平面．
又是边的中点，，．
又，平面，
平面，平面平面．
即为与平面所成角．
不妨设，则．
在中，．
故选：．
练4-1.【解析】设点在平面内的射影为点，连接，，
因为，与平面所成的角分别为，，且．
则，，
所以，
故选D．
练4-2.【解析】设正方体的棱长为，如图所示，取的中点，连接，过作，与交于点，
则点，当长度最大时，点与点重合，
所以，，
所以，
则当线段长度最大时，与平面所成角的余弦值为．
故选：．
例5.【解析】如图，因为侧面是等腰梯形且与底面垂直，过作，
因为平面平面，平面，
所以底面，过作，连接，
平面，则平面，
则，
所以为二面角的平面角，大小为，
又，，，是等腰梯形，则，，
又，所以，所以．
故答案为．
练5-1.【解析】由及题意知，，取中点，连接，，则，
由直三棱柱得，，，平面，
平面，平面，
，则即为二面角的平面角，
设，则，
．
故选D．
练5-2. 【解析】由题设，连接中位线，则，即异面直线与所成角的平面角为，
，，，，两两垂直，
，则，且，
在中，，
过作于，易知是的中点，若为的中点，连接、，
，，而，
面，故是二面角的平面角，
，，两两垂直，易知面、面、面两两垂直，
又面面，面
面，面，即，
在中，，，则，．
故答案为：，
例6【解析】作底面，交面于点，连接并延长交于点，
正三棱锥的高为，侧棱与底面所成的角为，
，，，
，，，
设，则，
由勾股定理得，解得，
，．
，．
，设点到面的距离为，
，解得．
点到面的距离为．
故选：．
练6-1.【解析】由题意可知图形如图：
是面积为的等边三角形，可得，
，设为三角形的外接圆圆心，外接圆的半径为，
可得： ，
设球半径为，球的体积 ，解得，即．
所以到平面的距离为．
故选A．
练6-2.【解析】证明：，为的中点，．
又平面，平面，．
又，，平面，平面C.
又平面，平面平面
解：由知，平面，平面，，
因为，，所以，
，，
．
设点到平面的距离为，
由，得，
即，，
即点到平面的距离为．
【素养提升】
例7.【解析】如图，因为平面，垂足为，
则为直线与平面所成的角，
所以，因为，所以，
所以点位于底面矩形内的以点为圆心，为半径的圆上，
记点的轨迹为圆弧连接，则．
因为，，所以，
则弧的长度，所以．
练7-1.【解析】线段上的动点到直线的距离的最小值等价于异面直线、间的距离，
因为与平面平行，故等于到平面的距离，
由可得，
，
解得．
故选：．
练7-2.【解析】如图所示：因为与平面所成的角为，点在平面上的射影，，
所以，
所以的轨迹为直角三角形绕斜边旋转所形成的轨迹，
在直角中，作，垂足为，
因为，可得，
即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆弧，
又因为二面角的平面角的大小为，
所以点的轨迹的长度等于．
故答案为：．
【易错点归纳】
例8.【解析】在正四棱柱中，连结，
根据四棱柱的性质，，
故四边形为平行四边形，
，
则即为异面直线与所成角或其补角，
设，则，
为的中点，，，，
在中，利用余弦定理求得：，
即异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
例9.【解析】利用等角定理：空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故选项一定成立．
故选．
例10.【解析】图中易得，所以，，，四点共面．
连接，过作的平行线与的延长线交于一点，故，，，四点共面．
图中易得，所以，，，四点共面．
图中直线与直线异面，所以四点不共面．
故答案为．
例11【解析】根据空间直线平行的平行公理可知，若，，则，所以正确．
在空间中，直线相交不具备传递性，所以错误．
满足条件的两条直线，，可能平行，可能相交，也可能是异面直线，所以错误．
若，与成等角，则，的关系不确定，比如等腰三角形，两腰相交，所以错误．
故答案为
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