（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题9.3空间几何中的平行和垂直

9.3 空间几何中的平行和垂直
课标要求 考情分析 核心素养
1.从基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系； 2.理解空间中线面平行垂直的有关性质和判定定理； 3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形的平行关系和垂直关系的简单命题． 新高考3年考题 题号 考 点 逻辑推理 直观想象
2020(Ⅰ)卷 20(1) 线面垂直的判定
2020(Ⅱ)卷 20(1) 线面垂直的判定
2021(Ⅰ)卷 20（1） 面面垂直的性质
2021(Ⅱ)卷 10 线面垂直的性质
2021(Ⅱ)卷 19(1) 面面垂直的判定
2022(Ⅰ)卷 19(2) 面面垂直的性质
2022(Ⅱ)卷 20(1) 线面平行的判定
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”)
性 质 定 理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行 线线平行”)
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”)
性 质 定 理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
3.直线与平面垂直的判定定理和性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
性 质 定 理 垂直于同一个平面的两条直线平行
4．平面与平面垂直的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
性 质 定 理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
1. 与平行有关的几个结论
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5) 同一条直线与两个平行平面所成角相等．
(6) 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
(7) 垂直于同一条直线的两个平面平行
(8) 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．
2. 与垂直有关的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
3. 三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
1．【P142 练习3】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
求证：平面平面；
若平面，求证：为的中点．
2．【P163 习题5】如图，在直三棱柱中，，，求证：．
考点一　线面平行的判定与性质
【方法储备】
判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3)利用面面平行的定义(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)．
【典例精讲】
例1. (2021·福建省莆田市·期中考试) 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：BC；
求证：平面；

【名师点睛】
应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助线或辅助平面来确定交线．
【靶向训练】
练1-1. (2021·湖北·月考) 已知三棱柱中，是的中点，是上的动点，且，若平面，则的值为 ( )
A. B.
C. D.
练1-2. (2021·全国·期中考试) 如图，棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点．
平面与直线交于点，求的值；
点为线段上靠近点的四等分点，求证：面．
考点二　面面平行的判定与性质
【方法储备】
1.证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．
2.三种平行关系的转化
【典例精讲】
例2. (2022·湖南·月考试卷) 如图所示，正方体的棱长为，分别为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为( )
A.
B.
C.
D.
【名师点睛】
本题考查立体几何中的动点轨迹问题，先通过线面平行的证明得出面面平行的结论，分析动点运动中不变特征，归纳出轨迹，再求其长度.
【靶向训练】
练2-1. (2022·全国·月考试卷) 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
练2-2. (2022·广东省·期末) 如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．
求证：
是线段的中点，证明：．
考点三　线面垂直的判定与性质
【方法储备】
1. 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．
2. 证明线线垂直的基本方法
(1)证明一条直线垂直于经过另一直线的平面，称之为线面垂直法．
(2)计算两条直线所成角等于90°，称之为计算角度法
3. 面面垂直判定的2种方法与1个转化
(1)2种方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
(2)1个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
【典例精讲】
例3. (2021·安徽省·单元测试) 如图，平面，底面为矩形，，，垂足分别为、．
求证：平面．
设平面交棱于点，求证：．
【名师点睛】
本题多次考查线面垂直的判定和性质，注意线面垂直判定定理中两条相交直线的条件，防止出错.
【靶向训练】
练3-1. (2022·全国·同步练习) 如图所示，在四棱锥中，底面 ，，，，，是的中点，证明：
；
平面．
练3-2 (2020·湖南省·期中考试) 如图，在正四棱柱中，是的中点．
求证：
若平面，求的值．
考点四　面面垂直的判定与性质
【方法储备】
(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化
①两种方法：
(ⅰ)面面垂直的定义；
(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
②一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
(2)面面垂直性质的应用
①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
（3）三种垂直关系的转化
【典例精讲】
例4. (2021·贵州省黔西南布依族苗族自治州·期末考试) 如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点．
求证：平面；
若，求证：平面平面；
【名师点睛】
证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
【靶向训练】
练4-1. (2020·广东省·其他类型) 如图，在直角梯形中，，，平面，，
求证：平面平面；
设的中点为，当为何值时，能使？请给出证明．
练4-2. (2020·江苏省·单元测试) 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面．
求证：；
若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面请证明你的结论．
核心素养系列 直观想象——平行、垂直的综合应用
【方法储备】
折叠问题
（1）将平面图形沿着一条或多条线折起，变为立体图形.将折叠前的条件，转化到折叠后的几何体中，分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变，
（2）“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，“折痕”两侧的点、线、面之间的位置和数量关系改变.
（3）与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不变；与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不变.
【典例精讲】
例5. (2021·江苏省苏州市·期中考试)如图，在矩形中，，，是的中点；如图，将沿折起，使折后平面平面．
若平面与平面的交线为，求证：；
求证：平面；
【名师点睛】
翻折问题的2个解题策略
确定翻折前后变与不变的关系 一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
确定翻折后关键点的位置 翻折过程中运动变化的点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的位置关系与数量关系发生变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算．
练5-1. (2021·湖南省·月考试卷)如图，五边形中，四边形为长方形，三角形为边长为的正三角形，将沿折起，使得点在平面上的摄影恰好在上

当时，证明：平面平面；
当，求四棱锥的侧面积．
练5-2. (2021·福建省·期中考试) 在矩形中，，是的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥．
若平面平面，求四棱锥的体积；
若，求证：平面平面．
易错点1．根据平行的相关判定和性质判断空间线面位置关系时，一定要考虑全面．
例6. (2022·云南省·单元测试) 已知平面，和直线，，，且，，，，则与的位置关系是 ．
易错点2 在应用面面平行的判定或性质定理证明问题时，考虑不全．
例7. (2022·全国·单元测试) 已知平面平面，且夹在和间的两条线段长度相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是 ．
易错点3．在应用线面垂直的判定定理时，一定要保证平面内的两条直线相交．
例8. (2022·江苏省·单元测试) 如图，在三棱锥中，平面，，若过点作于点，连接，那么从，，，，这五个点中任取三点，共能构成 个直角三角形．
易错点4．不要把平面几何中的相交结论直接应用在立体几何中，有些平面中的结论在空间不成立．
例9. (2022·湖南省长沙市·期中考试) 下列说法不正确的是( )
A. 若直线，不共面，则，为异面直线
B. 若直线平面，则与内任何直线都平行
C. 若直线平面，平面平面，则
D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
答案解析
【教材改编】
1. 【解析】证明：如图，，分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
，分别为，的中点，，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，又，，平面，
平面平面．
平面与平面有公共点，平面，连接，
平面平面，
平面平面，平面平面，
，又 ，
，
为的中点，为的中点．
2.【解析】证明：如图连接．因为是直三棱柱，
所以平面，又平面，
所以．
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以．
又， 所以四边形是正方形，
所以．
由以及，平面，平面，得平面，
又平面，所以．
【考点探究】
例1. 【解析】证明：在四棱锥中，平面，平面，
平面ABCD平面PAD=AD，
．
取的中点，连接，，
是的中点，则为的中位线，
，．
又由可得，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
练1-1.【解析】 取的中点，连接，因为，分别是，的中点，所以，且因为 ，所以 ，即，所以，确定平面因为平面，平面，平面平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，即为的中点，因此．
故选B．
练1-2.【解析】延长、交于点，连接交棱于点，
点是棱的中点，，
是的中位线，点是的中点，
又，是的中位线，，
又点是棱的中点，，．
连接、，
，，
，，
又点为线段上靠近点的四等分点，，
，，
，，四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面．
例2.【解析】如图所示，取的中点，的中点，连接，，，，，
可得四边形是平行四边形，
有，平面，平面，
所以平面，
同理可得，平面，平面，
所以平面，
，，平面，
平面平面，
是正方形内的动点，若平面，
点在线段上，
点的轨迹长度为，
故选C．
练2-1.【解析】取，的中点分别为，，连接，，，，．
易知，，，
所以四边形为平行四边形，
则．
又和为平面内的两条相交直线，和为平面内的两条相交直线，
所以平面平面，即平面为平面．
由，，得四边形为梯形，其高．
所以平面截该正方体所得截面的面积为．
故答案为：．
练2-2.【解析】 证明：由四边形为正方形可知，
连接必与相交于中点，故，
面，面，
面，
由点分别为中点可得：，
面，面，
面，
由，面，面，得面，
，
平面平面．
例3.【解析】证明：平面，平面，，
又，，、平面，平面，
又平面，，
又，，、平面，平面，
又平面，，
又，，、平面，平面．
设平面交棱于点，
由知平面，平面，
又平面，平面，，，
又，、平面，平面，
又平面，．
练3-1.【解析】证明：底面，底面，
．
又，，面，面，
面，面，
．
，，
，是的中点，
，
由知，平面，
面．
平面，
．
底面 ，平面，
．
又，，平面，平面，
平面．
平面，
．
，平面，
面．
练3-2.【解析】证明：如图，连接，因为是正四棱柱，所以平面，且，所以，
又因为，
且B、平面
所以平面，
所以；
解：如图，连接，
因为平面，所以，
因为平面，所以，
又，、平面，所以平面，
所以，
所以∽，所以，即．
所以．
例4.【解析】证明：因为平面，
又平面，所以；
因为底面是菱形，所以
因为，平面，
所以平面．
因为底面是菱形且，
所以为正三角形，
因为为的中点，所以，
因为，所以；
因为平面，平面，
所以；
因为，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
练4-1. 【解析】证明：，．
又平面，平面，
又，，平面．
平面．又平面，
平面平面
当时，能使，连接，，，
，
又为中点，，
设的中点为，连接，则，且，
四边形是平行四边形，
，
，
，又，
，即，又，，，平面．
平面，又平面．
，又，，平面．
平面，平面．
，即当时，能使．
练4-2.【解析】证明：取为边的中点，连接，
因为为正三角形，为边的中点，所以，
在底面菱形中，，为边的中点，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，
因为平面．所以．
解：当为边的中点时，满足平面平面，证明如下：
取的中点，连接、、，
在中，，在平面外，在平面内，所以平面，
在菱形中，，，在平面外，在平面内，所以平面，又，都在平面内，所以平面平面，
由题可知，平面平面，平面平面，，在平面内，
所以平面，而平面，
所以平面平面，
所以平面平面．
【素养提升】
例5.【解析】证明：四边形为矩形，
，
，平面，平面，
平面，
平面平面，面，

证明：，，是中点，
，
，
平面平面，平面平面，面
平面．
练5-1.【解析】 证明：作，垂足为，
依题意得平面，
，，
又，，平面，平面，
平面，，．
在中，，，
由勾股定理得，同理可得．
在中，，
，又，平面，平面，
平面，又平面，
平面平面．
由中可知，同理，
，，则由勾股定理可得，
，
，
在中，，
边上高，
，
故四棱锥的侧面积．
四棱锥的侧面积．
练5-2. 【解析】解：取中点，连接，
由题意可得，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，即为四棱锥的高，
在中，，则，
四边形的面积，
所以四棱锥的体积；
证明：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，．
因为，所以，
易得，又，则，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又是的中点，，所以，
又，平面，易知与不平行则必相交，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
【易错点归纳】
例6.【解析】如图所示，图和图，平面，和直线，，，

均满足，，，，
可得到与平行或相交．故答案为平行或相交．
例7.【解析】如图，在正方体中，平面平面，有以下三种情况：，且，且，且与是异面直线．故答案为平行、相交或异面.

例8.【解析】因为平面，又，，，平面，
所以，，，．
又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以．
故图中的直角三角形有，，，，，，，，共个．
例9.【解析】若直线，不共面，则，既不相交，也不平行，故，为异面直线，故A正确;
若直线平面，只有过直线的平面与平面相交得到的交线，才与直线平行，故不是内任何直线都平行，故B错误;
若直线平面，平面平面，则或直线在平面面内，故C错误;
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故D错误.
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