（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题9.4空间向量及其运算

9.4 空间向量及其运算
课标要求 考情分析 核心素养
1．空间直角坐标系：①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置；②借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 2．空间向量及其运算：①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念；②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 3．向量基本定理及坐标表示：①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；③掌握空间向量的数量积及其坐标表示；④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 本专题近3年未作为小题单独考查，常结合空间向量的应用（用空间向量证明线面关系，求空间角或距离等）里考查 数学运算 直观想象
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为0的向量 0
单位向量 长度(模)为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3. 空间向量的线性运算
（1）空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，可以平移至同一个平面内，它们的加、减法运算转化为平面向量的加减法运算．
（2）空间向量的数乘运算
实数与空间向量a的乘积a仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当时，a与a方向相同；
当时，a与a方向相反；
当时，a =0．
a的长度是a的长度的倍．
4．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)．
②交换律：a·b＝b·a.
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
5．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
1．在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
3. 空间两点间的距离公式：设点，则.
4. 中点坐标公式：设点，则的中点坐标为.
1．【选必第1册P15 习题3】如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且，用，，表示向量的结果是 ．
2．【选必第1册P15 习题5】四棱柱中，，，，，，求的长．
考点一　空间向量基本定理及其线性运算
【方法储备】
用已知向量表示某一向量的解题策略
(1)用已知向量来表示某一未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用向量加法、减法的三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
【典例精讲】
例1. (2022·山东省枣庄市·期末考试) 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
类比平面向量的线性表示，结合向量加法三角形法则即可.
【靶向训练】
练1-1. (2020·湖南省·月考) 如图，在三棱锥中，，，其中，，为不共面的三个非零向量，，的中点分别为，，则( )
A.
B.
C.
D.
练1-2. (2020·湖北省黄石市·期末考试) 如图，已知空间四边形，其对角线为，，点，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用基向量表示向量 ，设，则，，的值分别是( )
A.
B.
C.
D.
考点二　共线向量定理、共面向量定理的应用
【方法储备】
证明三点共线和空间四点共面的方法
证明三点(P，A，B)共线 证明空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ(λ∈R)，且同过点P ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t(t∈R) 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
【典例精讲】
例2. (2020·山东省·同步练习)是三个不共面的向量，，，且四点共面，则的值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基向量，判断3个向量能否作为空间向量的一组基向量，验证其是否共面.
【靶向训练】
练2-1. (2022·河南省郑州市·月考试卷) 已知正方体，，为空间任意两点，若有，则点( )
A. 在平面内 B. 在平面内
C. 在平面内 D. 在平面内
练2-2. (2021·湖南省株洲市·单元测试·多选) 已知，，三点不共线，为平面外的任一点，则“点与点，，共面”的充分条件的是( )
A. B.
C. D.
考点三　空间向量的数量积及其应用
【方法储备】
【典例精讲】
例3. (2021·河北省张家口市·期中考试) 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
【靶向训练】
练3-1. (2022·全国·单元测试) 如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为( )
A.
B.
C.
D.
练3-2. (2022·全国·月考试卷) 如图，在和中，是的中点，，，，若，则与夹角的余弦值等于 ．
考点四　空间向量的坐标运算
【方法储备】
1.空间向量的坐标
（1）正交分解：设为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标．
（2）设，
2.向量的坐标运算
用向量的坐标进行，线性运算，数量积运算，求模长、夹角的余弦值，证明向量共线或垂直.
【典例精讲】
例4. (2022·全国·模拟) 如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点不包括端点，若，则线段的长度的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【名师点睛】
依据题意中的直三棱柱和底面是直角三角形的条件，很容易构建空间直角坐标系，利用坐标运算表示出出DF的长度，利用二次函数的性质求最值.
【靶向训练】
练4-1. (2021·福建省·期中考试) 已知、，设在直线上，且，设，若，则的值为 ( )
A. B. C. D.
练4-2. (2022·湖南省·单元测试) 如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
易错点1．忽视空间向量夹角为钝角的充要条件.
例5. (2022·湖北·月考) 已知空间向量，，，，，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ．

易错点2. 空间向量的最值问题中忽视已知条件或范围
例6. (2022·全国·单元测试) 在棱长为的正方体中，点为底面内一动点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
易错点3．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a· b)c不一定等于a(b·c)．
例7.(2021·云南省普洱市·单元测试)下列说法错误的是( )
A. 设，是两个空间向量，则，一定共面
B. 设，是两个空间向量，则
C. 设，，是三个空间向量，则，，一定不共面
D. 设，，是三个空间向量，则
答案解析
【教材改编】
1.【解析】在中，，，
因为，
所以，
所以．
故答案为：．
2.【解析】
，
即的长为．
【考点探究】
例1.【解析】根据题意可得：
，
故答案选：．
练1-1.【解析】，，
，
为的中点，，
同理，，
，
．
练1-2.【解析】空间四边形，其对角线为，，、分别是对边、的中点，
，，
，
因此，，
故选D．
例2.【解析】是三个不共面的向量，
，
，
四点共面，
存在实数，满足，
，
，
．故选B．
练2-1.【解析】由于
，
因为，于是，，，四点共面，
故选C．
练2-2.【解析】当时，可知点与点共面，
所以，
所以，
因为，，三点不共线，所以，
所以，
不妨令，，，则此时，
因为，，，，
由上可知：，满足要求．
故选：．
例3.【解析】
．
故选：．
练3-1.【解析】由题意可知，，
且，，，，
则
，
，故选：．
练3-2.【解析】由题意可得 ， 由可得 ，即，， ，．
例4.【解析】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，
则，，，，
由于，则，
所以，
所以，
又，，所以，所以，
所以．
故DF长度的取值范围为，．故答案为，．
练4-1.【解析】设，则，
，，
，；
即，解得；，
又，，
，，
解得．
故选B．
练4-2.【解析】设正方体棱长为，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，．
对于，，，则，所以，故A正确；
对于，，则，所以不成立，故B错误；
对于，，则，故C正确；
对于，，故D正确．
故选ACD．
【易错点归纳】
例5.【解析】由题意知
即
则
解得．
例6.【解析】如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
可得点，设点的坐标为，则，，
，，
．
由二次函数的性质可得，当时，取得最小值，
当或，且或时，取得最大值，
因此的取值范围是，
故选A．
例7.【解析】，设，是两个空间向量，则，一定共面，正确，因为向量可以平移；
，设，是两个空间向量，则，正确，因为向量的数量积满足交换律；
，设，，是三个空间向量，则，，一定不共面，错误，可能共面；
，设，，是三个空间向量，则，正确，因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律．故选：．
共14页/第16页