（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题10.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程

10.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
课标要求 考情分析 核心素养
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查 数学运算 直观想象 逻辑推理
1.直线的倾斜角
定义：当直线与轴相交时,取轴作为基准,轴的正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.
范围：直线倾斜角的范围是.
2.直线的斜率
定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母表示,即.
倾斜角是的直线没有斜率.
坐标法：经过两点的直线的斜率公式为.当时,直线的斜率为.
向量是直线的方向向量.
3.直线方程的五种形式
名称 方程 使用条件
斜截式 为斜率，为纵截距) 斜率存在
点斜式 已知直线上一点及斜率
两点式 已知两点，且直线不与轴平行或垂直
截距式 为横截距，为纵截距 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 所有直线
1.倾斜角与斜率之间的对应关系
0
0 不存在
2.倾斜角与斜率之间的函数关系
,图象如右图
3.特殊位置的直线方程
(1)与轴重合的直线方程为：
(2)与轴重合的直线方程为：
(3)经过点且平行与轴的直线方程为：
(4)经过点且平行与轴的直线方程为：
(5)经过原点且斜率为的直线方程为：
1.【P55 T5】已知直线方程的一个方向向量可以是( )
A. B. C. D.
2.【P63 T4】已知的三个顶点的坐标分别为，，．
求边上的中线所在直线方程
求的面积．
考点一　直线的倾斜角和斜率
【方法储备】
1.求直线的斜率与倾斜角的值
2.求直线的斜率与倾斜角的范围
【特别提醒】
①直线倾斜角的范围是,根据斜率求倾斜角的范围时,要分与两种情况讨论.
②若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,此时直线垂直于轴.
3.转化思想
在解决一些求代数式的取值范围问题时，遇到形如结构，可以转化为两点连线的斜率，利用数形结合求取值范围.如可看作点连线的斜率.
4.利用斜率证明三点共线的方法：
已知，若或，则有三点共线.
角度1 斜率与倾斜角
【典例精讲】
例1.(2022·江苏省南京市模拟) 直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
求倾斜角的值范围的步骤：求出斜率的值范围若斜率不存在，则倾斜角为
利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的值范围．
【靶向训练】
练1-1(2021·江西省宜春市模拟)若直线与直线，分别交于点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·广东省江门市模拟)如图，平面四边形的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则( )
A.
B.
C.
D.
角度2 三点共线
【典例精讲】
例2.(2022·重庆市联考)王老师在课堂上与学生探究直线时，有四位同学分别给出了一个结论甲：直线经过点乙：直线经过点丙：直线经过点丁：直线的斜率为整数如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【名师点睛】
本题考查合情推理，考查直线的斜率．
由，，，三点不共线，可知丁说法正确，再由直线斜率即可判断．
【靶向训练】
练1-3(2021·云南省模拟)若，，三点在一条直线上，则的值为( )
A. B. C. D.
练1-4(2020·浙江省杭州市模拟)若，且，，三点共线，则的最小值为 ．
角度3 求直线的斜率与倾斜角的范围
【典例精讲】
例3.(2022·上海市期中)已知两点，，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围
【名师点睛】
本题考查直线的斜率的求法，考查直线的斜率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力．直线恒经过定点，由直线的斜率公式，求出和的斜率，数形结合能求出直线的斜率的取值范围．
【靶向训练】
练1-5(2021·安徽省合肥市期中)直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是( )
A. B.
C. D.
练1-6(2021·辽宁省沈阳市期中)已知点，若直线：与线段恒相交，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点二　直线的方程
【方法储备】
1.求直线方程的常用方法：
(1)直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．
(2)待定系数法：①先根据已知条件设出直线方程的恰当形式，②再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，③最后代入求出直线方程．
2.规律方法　
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
(3)截距为一个实数，即可为正数，也可以为负数，也可以为零.
3.设直线方程的常用技巧
(1)知直线纵截距为，常设其方程为
(2)知直线横截距为，常设其方程为
(3)知直线过,当斜率存在时,设其方程为, 当斜率不存在时,则其方程为.
【典例精讲】
例4.(2022·江苏省南通市期末.多选)若直线过点，且直线在轴上的截距是直线在轴上的截距的倍，则直线的方程是可以是( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
本题主要考查用截距式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．当直线过原点时求出直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程为 ，把点代入解得值，即可得到直线的方程，由此得出结论．
【靶向训练】
练2-1(2022·浙江省模拟)已知过点的直线与轴、轴分别交于，两点若为线段的中点，则这条直线的方程为( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·湖南省期中)过点且方向向量为的直线的方程为( )
A. B. C. D.
考点三　直线方程的综合应用
【方法储备】
1.直线有关的最值、范围问题
(1)数形结合：在直角坐标系中作出满足条件的直线，通过直线绕定点旋转，或斜率确定时平移直线，从而求得最值或范围；
(2)代数法：①显化函数关系，转化为求函数的最值或范围；②用基本不等式求最值.
【典例精讲】
例5.(2022·福建省联考)已知，若过定点的动直线和过定点的动直线
交于点与，不重合，则的最大值为．( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题主要考查直线过定点问题、勾股定理、三角函数的应用，考查运算求解能力．首先确定点和点的坐标，再判断出两条动直线垂直，进而得到为直角三角形，再利用三角函数求最值即可．
【靶向训练】
练3-1(2022·云南省模拟) 设，过定点的直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·江苏省扬州市模拟)已知直线．
证明：直线过定点
若直线不经过第四象限，求的取值范围
若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
核心素养系列 直观想象、逻辑推理——直线系及其应用
直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用。
【方法储备】
具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的直线的集合，叫做直线系。它的方程叫做直线系方程。
含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.
1.常见直线系方程：
(1)平行直线系：与平行的直线为：．
(2)垂直直线系：与垂直的直线为：．
(3)定点直线系：若和相交，
则过交点的直线为，交点为方程组的解．
2.定点问题
(1)直线方程含参数：可将方程转化为的形式，即，所以直线过定点；
(2)若直线过定点，则直线的方程可设为,或者或.
例6.(2022·江苏省徐州市期末)无论取任何实数，直线必经过一个定点，该定点坐标为 当 时，原点到直线的距离最大．
【名师点睛】
本题主要考查直线过定点问题，利用了直线经过的定点坐标是，
直线和的交点．
直线方程即，由 解得定点的坐标．当直线时，原点到直线的距离最大，利用两条直线垂直的斜率关系即可求出的值．
【靶向训练】
练4-1(2021·福建省模拟) 方程所表示的直线( )
A. 恒过定点 B. 恒过定点
C. 恒过点和 D. 都是平行直线
练4-2(2022·陕西省宝鸡市模拟)已知直线过两直线和的交点，且原点到直线的距离为，求直线的方程．

易错点1．忽略直线斜率不存在的情况
例7.(2022·湖北省孝感市模拟)过点且与直线所成角为的直线方程为( )
A. B.
C. D. 或
易错点2．混淆倾斜角与斜率的关系
例8.(2022·山西省太原市模拟)设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
易错点3．忽略直线的截距为0的情况
例9.(2022·河北省张家口市期末.多选)已知直线过点，若直线在轴和轴上的截距相等，则直线的方程可能为( )
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】依题意，为直线的一个法向量，方向向量为，
故选：．
2.【解析】由，可得边的中点，故，
因此边上中线所在直线方程为，整理得．
解法一：点到直线的距离为，
又，所以的面积为，
由于为的中线，其将分成面积相等的两部分，所以的面积．
解法二：由，可求得边所在直线方程为，整理得，
因此，点到边的距离为，
又，所以的面积．
【考点探究】
例1.【解析】由直线的方程得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，
所以．
故选：．
练1-1.【解析】设，．线段的中点坐标为，，解得，．
，，直线的斜率为．
故选：．
练1-2.【解析】由题意可得：，，所以．
故选C．
例2.【解析】设，，，
则，，所以，，三点不共线，所以丁同学的结论是正确的．
又，故乙同学的结论是错误的．
故答案选：．
练1-3.【解析】，，三点在一条直线上，所以，即，解得．
故选：．
练1-4.【解析】因为，，三点共线，所以，所以，所以．
所以，所以设，
则，
当且仅当时取等号，即取得最小值，此时，．
故答案为：．
例3.【解析】由题意，直线恒经过定点，
由直线的斜率公式，可得，
要使直线：与线段有公共点，或．
直线的斜率的取值范围为．
故答案为：．
练1-5.【解析】，，
根据如下图形可知，
使直线与线段相交的斜率取值范围是．
故选D．
练1-6.【解析】直线：过点，
连接与线段上的点时直线的斜率最小，为，
连接与线段上的点时直线的斜率最大，为，
的取值范围是．
故选D．
例4.【解析】当直线过原点时，再由直线过点，易得；
当直线不过原点时，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距是，
直线的方程为 ， 把点代入可得 ，解得．故直线的方程为 ，
故选AD．
练2-1.【解析】设所求直线的方程为．令得，所以点坐标为，
又因为为线段的中点，点纵坐标为，所以根据中点坐标公式有，解得，
故所求直线的方程为．
练2-2.【解析】过点且方向向量为，直线方程的斜率，
其方程为，整理，得．
故选：．
例5.【解析】直线可化为，由，得，
同理由直线得，且时，两直线垂直，
所以是直角三角形，且，
设，，其中，
所以的最大值是．
故选：．
练3-1.【解析】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即经过定点，
因为动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
又是两条直线的交点，所以，所以．
设，则，，
由且，可得，
所以 ，
因为，所以，所以，所以
故选B．
练3-2.【解析】直线的方程可化为，
故无论取何值，直线总过定点．
直线的方程可化为，则直线在轴上的截距为，
要使直线不经过第四象限，则，解得．
故的取值范围是．
依题意，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，，，
又且，
，故，
当且仅当，即时，取等号，
故的最小值为，此时直线的方程为．
例6.【解析】直线 即，
由 解得，故直线必经过一定点．
记，当直线时，原点到直线的距离最大．且，
故直线的斜率存在，且斜率为，故，解得．
故答案为；．
练4-1.【解析】，
，，解得：，．
即方程所表示的直线恒过定点．
故选：．
练4-2.【解析】解法一，由，求得直线和的交点为，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足原点到直线的距离为；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
则原点到直线的距离为，即，解得的值不存在；
综上知，直线的方程为．
解法二，设过两直线和的交点的直线方程为，
即，则原点到直线的距离为，
化简得，解得，
所以所求直线的方程为，即．
例7.【解析】，即，斜率，倾斜角为，
所求直线经过，当所求直线垂直轴时，满足条件，直线方程为，
当所求直线不垂直轴时：设直线方程为，即，
，解得：，
直线方程为，综上：直线方程为或．
故选：．
例8.【解析】当时，方程变为，其倾斜角为，
当时，由直线方程可得斜率，
且，，即，
又，，由上知，倾斜角的范围是．
故选C．
例9.【解析】当直线过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为，
综上所述，直线的方程为或，
故选AC.
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