（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题10.2两直线的位置关系

10.2 两直线的位置关系
课标要求 考情分析 核心素养
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查 数学运算 直观想象 逻辑推理
1.两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程
相交
垂直
平行 且 且
重合 且 且
2.两条直线的交点
直线(、不全为0),(不全为0)，
与的位置关系与方程组的解的个数的对应关系：
①相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
②平行 方程组无解；
③重合 方程组有无数个解.
3.距离
距离 公式 使用条件
两点,之间的距离 求任意两点间的距离
点到直线的距离 在求点到直线的距离时，直线的方程转化为一般式
两条平行直线和之间的距离 求平线直线间的距离，方程中前的系数保持一致
4.对称问题
(1)点关于点的对称点为.
(2)设点关于直线的对称点为，则有,可求出，.
1.若所求直线过点,且与直线平行,则方程为.
2.若所求直线过点,且与直线垂直,则方程为.
3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且的系数对应相等.
1.【P80 T14】已知点，到直线：的距离相等，则实数的值为 ．
2.【P63 T4】已知直线：过定点，点在直线上，则的最小值是( )
A. B. C. D.
考点一　两直线的位置关系
【方法储备】
1.掌握判断两直线平行、垂直的条件，当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要考虑的系数不能同时为零的情况．
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间关系得出结论，即用法向量来判定．
3.求过两直线交点的直线方程的方法：
角度1 两直线的平行与垂直问题
【典例精讲】
例1.(2022·黑龙江省哈尔滨市期末)若两条直线和互相垂直，则的值为 ．
【名师点睛】
本题主要考查由两直线垂直求参数,根据两直线垂直的判定条件，列出方程求解，即可得出结果．
【靶向训练】
练1-1(2021·湖南省长沙市期末)若两直线：与：平行，则的值为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·河北省邯郸市模拟.多选)已知直线：，：，则( )
A. 恒过点 B. 若，则
C. 若，则 D. 当时，不经过第三象限
角度2 两直线的交点问题
【典例精讲】
例2.(2022·江苏省模拟)已知直线和直线的交点在第二象限，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
由直线平行、重合的判断方法可得，联立两直线的方程，求出交点的坐标，即可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【靶向训练】
练1-3(2021·广东省揭阳市模拟)设集合，，则等于( )
A. B.
C. D.
练1-4(2022·江苏省徐州市模拟)已知线段两端点的坐标分别为和，若直线：与线段有交点，则实数的取值范围是 ．
考点二　距离问题
【方法储备】
1.求距离
根据条件，选择正确的距离公式，求出距离；
2.点到特殊直线的距离
（1）点到直线的距离为；
（2）点到直线的距离为；
3.利用距离公式时应注意：
【典例精讲】
例3.(2022·江苏省模拟)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当、变化时，的最大值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力．
由题意分两种情况讨论，结合三角函数的最值即可得解
【靶向训练】
练2-1(2022·山东省临沂市模拟.多选)若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·黑龙江省哈尔滨市期末) 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为根据以上性质，函数的最小值为 ．
考点三　直线中的对称问题
【方法储备】
1.点关于点对称：
若两点，关于点中心对称，则，
2.点关于线对称
若两点，关于直线对称，则线段的中点在直线上，且直线直线，即．
3. 线关于点对称
直线关于点对称的直线为，则：
思路1：设直线，对称中心到这两条直线的距离相等，
即:
思路2：从直线上任取两个点，，
则这两个点关于对称中心的对称点,在直线上．
4.线关于线对称
直线和关于直线对称，包括两种情形：
①，此时直线到直线和的距离相等；
②直线，，三条直线交于一点，设交点为，则在直线上任取一点（异于点），其关于直线的对称点在直线上．
【典例精讲】
角度1 线关于点对称
【典例精讲】
例4.(2021·辽宁省营口市期末)若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为 ．
【名师点睛】
本题考查了直线方程的求解问题，涉及了点关于点的对称、点到直线距离公式的应用，解题的关键是得到和都在直线上．先找到直线上的定点，然后求出定点关于点的对称点，再利用直线经过两点，求出直线方程，再利用点到直线的距离公式求解.
【靶向训练】
练3-1(2021·江苏省南通市模拟) 直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ．
练3-2(2022·浙江省金华市模拟)已知点，，直线．
若直线与直线关于点对称，求直线的方程；
点在直线上，求的最小值．
角度2 点关于线对称
【典例精讲】
例5.(2022·浙江省金华市模拟)如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于( )
A.
B.
C.
D.
【名师点睛】
本题主要考查了点关于直线对称的点的求法，两点间距离公式．
由题意作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点，则而求得．
【靶向训练】
练3-3(2022·江苏省南通市模拟)若点、关于直线对称，则的方程为( )
A. B.
C. D.
练3-4(2022·北京市模拟)已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 ．
角度3 线关于线对称
【典例精讲】
例6.(2022·新高考2卷)设点，，直线关于直线的对称直线为，
已知与圆有公共点，则的取值范围为 ．
【名师点睛】
本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用
【靶向训练】
练3-5(2021·安徽省六安市模拟)直线关于直线对称的直线方程是 ．
练3-6(2022·湖北省孝感市模拟)已知直线：与直线：的交点为，直线经过点，点到直线的距离为，直线与直线关于直线对称．
Ⅰ求直线的方程；
Ⅱ求直线的方程．

易错点1．忽略两条直线平行的条件
例7.(2022·江苏省无锡市模拟)已知直线和互相平行，则实数的取值为( )
A. 或 B. C. D. 或
易错点2．忽视两平行线间的距离公式的成立条件
例8.(2022·广东省深圳市期末) 直线与直线平行，则两直线间的距离为( )
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】，到直线：的距离相等，
，解得或．
故答案为或．
2.【解析】直线：方程可化为：，令得：，所以点，
又点在直线上，所以的最小值为点到直线的距离，
因为，所以的最小值是，
故选：．
【考点探究】
例1.【解析】因为直线和互相垂直，
所以，解得：和．
故答案为或．
练1-1.【解析】因为：与：平行，
所以，解得，经检验都符合题意．
故选：．
练1-2.【解析】可化为，
由，得，所以恒过点，故 A错误
当若 ，则，得，故B正确；
若，则，得，故C错误
当时，：的斜率为负，在轴截距为正，不过第三象限；
当时，：，不过第三象限；当时，：，不过第三象限，故D正确；
故选BD．
例2.【解析】根据题意，直线和直线，
当时，两直线平行，没有交点，
当时，两直线重合，不符合题意，故，联立，解可得，
若两直线的交点在第二象限，则有，
解可得，即的取值范围为
故选C．
练1-3.【解析】，，
．
故选 D．
练1-4.【解析】直线：恒过点，
，，
当时，则或，且，
又时，直线：与线段有交点，
所求的范围是．
故答案为
例3.【解析】由题意，当时，，
当时，
当时， ，其中，
当时，，的最大值为．
故选C．
练2-1.【解析】由题意可化为，
可得两条平行直线：与：之间的距离是，，
，或或．
故选AB
练2-2.【解析】由两点间的距离公式得
为点到点，，的距离之和，
即求点到点，，的距离之和的最小值，
取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，
如图，在等腰三角形中，，
可得，，
容易求得最小值为．
故答案为：．
例4.【解析】因为直线：恒过定点，
所以关于点的对称点为，此时和都在直线上，
由直线方程的两点式可得，即，
所以点到直线的距离为．
故答案为：．
练3-1.【解析】由直线，可得
令，解得，
设直线关于点对称的直线方程为，
则，或舍去,即．
故答案为．
练3-2.【解析】设直线，则，
即，得，则直线；
由已知得、在直线同侧，设点关于直线的对称点为，
则有：
此时连接，可得，
因为，仅当，，三点共线时取等号，
则的最小值为．
例5.【解析】作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点，
则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线，
得，
易得，，直线的方程是，设，
则得即，．
故选A．
练3-3.【解析】点、关于直线对称，直线为线段的中垂线，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，直线的斜率为，
即直线的方程为，化简可得．
故选：．
练3-4.【解析】设关于直线：的对称点，
则反射光线所在直线必过，，即故，
反射光线所在直线过，反射光线所在直线的方程是，即．
故答案为：．
例6.【解析】因为，所以关于直线的对称直线为，
所以，整理可得解得．
练3-5.【解析】由题意得直线与直线的交点坐标为，
又直线上的点关于直线的对称点为，
所以直线的方程为，即．
故答案为．
练3-6.【解析】Ⅰ由，解得，所以．
当直线的斜率不存在时，其方程为，此时点到直线的距离，不符合
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
则点到直线的距离，解得或．
故直线的方程为或．
Ⅱ由Ⅰ可知，点的坐标为，由，得点．
设点关于直线的对称点为，则且，
设点与点的中点为，则，故，解得所以，
由，，由两点式方程可知直线的方程为：，化简得．
【易错点归纳】
例7.【解析】两条直线和互相平行，
，解得，或．经过验证，时，两条直线相互重合，舍去．，
故选：．
例8.【解析】因为直线与直线平行，
，解得，的方程可表示为，
可得两直线间的距离．
故选：．
共11页/第1页