（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题10.3圆的方程

10.3 圆的方程
课标要求 考情分析 核心素养
1.掌握确定圆的几何要素． 2.掌握圆的标准方程与一般方程． 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查 数学运算 直观想象 逻辑推理
1.圆的标准方程
(1)方程,表示圆心为,半径为的圆的标准方程.
(2)特别地,以原点为圆心,为半径的圆的标准方程为:.
2.圆的一般方程
方程可变形为.则：
(1)当时,方程表示以为圆心,以为半径的圆.
(2)当时,方程表示一个点.
(3)当时,方程无意义.
1.直径式方程:以, 直径端点的圆的方程为.
2.二元二次方程表示圆的充要条件为.
1.【P80 T14】在等腰梯形中,,，，,则外接圆的标准方程是( )
A.
B.
C.
D.
2.【P63 T4】已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
考点一　圆的标准方程与一般方程
【方法储备】
1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：
（1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三个性质：
①圆心在过切点且垂直切线的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③相切两圆的连心线经过切点；
（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．
2.确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：
3.解决圆问题时，可将一般方程转化为标准方程，快速确定圆心与半径.
【典例精讲】
例1.(2022·全国乙卷理科)过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 ．
【名师点睛】
圆过其中三点共有四种情况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径，每种情况逐一求解即可．
【靶向训练】
练1-1(2022·山东省模拟)过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为 ．
练1-2(2022·吉林省吉林市模拟)若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
考点二　关于点、直线对称的圆的方程
【方法储备】
1.有关圆的对称：
圆的大小不变，即不变，只改变圆的位置，只要利用有关点的对称问题的方法确定圆心的位置即可.
【典例精讲】
例2.(2022·河南省郑州市模拟)圆关于直线对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
利用点关于直线对称,点与对称点连线的斜率与直线的斜率之积为,点与对称点的中点在对称轴上,建立方程组求解.
【靶向训练】
练2-1(2022·江苏省南京市模拟)圆：关于直线：对称的圆的方程为 ．
练2-2(2022·江苏省苏州市期中)圆关于点中心对称的圆的方程为 ．
考点三　与圆有关的轨迹问题
【方法储备】
1.与圆有关的轨迹问题的常用解法：
【典例精讲】
例3.(2022·山东省菏泽市模拟)已知两条直线：，：，有一动圆圆心和半径都在变动与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
主要考查圆有关的轨迹问题以及点到直线的距离公式.分析题意，设动圆圆心为，半径为，则到的距离，到的距离再结合已知、被圆截得的弦长分别是定值和，根据勾股定理和垂径定理可得，，消去可得然后根据对、平方求解.
【靶向训练】
练3-1(2022·广东省茂名市联考)已知圆，点是圆上的动点，与圆相切，且，则点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
练3-2(2022·重庆市联考)已知点在圆：上运动，点，线段的中点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点是否存在直线与曲线有且只有一个交点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
核心素养系列 直观想象、逻辑推理——阿波罗尼斯圆
【方法储备】
已知平面上两定点A、B，则所有满足（）的点的轨迹是一个以定比内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。
例4.(2022·湖南省益阳市期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，，若点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
以著名的阿波罗尼斯圆为背景，提升数学逻辑思维、解题策略等数学核心素养，在观察中提取信息，分析问题。
【靶向训练】
练4-1(2021·浙江省模拟)波罗尼斯古希腊数学家，约公元前年的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数，且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，现有，，，则当的面积最大时，边上的高为 ．
练4-2(2022·山东省菏泽市模拟.多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，，点满足设点的轨迹为，下列结论正确的是( )
A. 轨迹的方程为
B. 在轴上存在异于的两点使得
C. 当三点不共线时，射线是的平分线
D. 在上存在点，使得

易错点1．忽略圆的方程需要满足的条件
例5.(2022·天津市市模拟)若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是 ．
答案解析
【教材改编】
1.【解析】易知的外接圆即为等腰梯形的外接圆，故圆心在线段的中垂线上，
因为，所以，又线段的中点坐标为，即，
可得直线的方程为，
设圆心坐标为，则，即，解得，
所以圆心，半径，外接圆标准方程为．
故选：．
2.【解析】设点的坐标为，点，则．
是线段上的中点，，，，
，，．
故选A．
【考点探究】
例1.【解析】设点，，，．
若圆过、、三圆圆心在直线，设圆心坐标为，
则，，所以圆的方程为
若圆过、、三点，同设圆心坐标为，
则，，所以圆的方程为
若圆过、、三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程
为，联立得，所以圆的方程为
若圆过、、三点，则线段的中垂线方程为，
线段中垂线方程为，联立得
所以圆的方程．
练1-1.【解析】法一：设圆方程：，
圆心到直线的距离，
又圆过点，，，
，
由，得，，， 圆的方程为．
法二：圆过、两点，圆心在线段的中垂线上．而，中点，
中垂线方程为．
又圆与直线，相切于点，
所以圆心在过点且与垂直的直线即上．
由得圆心，,
圆的方程为：．
练1-2.【解析】设圆心坐标为，
由圆与直线相切，可得圆心到直线的距离，化简得，
又圆与轴相切，可得，解得或舍去，
把代入得或，解得或舍去，圆心坐标为，
则圆的标准方程为．
故选A．
例2.【解析】圆化为标准方程为，圆心为，半径为，
设圆心关于直线的对称点为，则，解得，，
因为圆的半径为，
所以圆关于直线对称的圆的方程为．
故选C．
练2-1.【解析】圆：转化为标准方程为，
所以其圆心为：，
设关于直线对称点为：
则有，．故所求圆的圆心为：半径为．
所以所求圆的方程为：
故答案为：．
练2-2.【解析】圆的圆心为，半径为
圆心关于点中心对称点的坐标为，
又半径为，故所求圆的方程为，
故答案为： ．
例3.【解析】设动圆圆心为，半径为，则到的距离，到的距离，
、被圆截得的弦长分别是定值和，，，
化简，平方得，，相减得，
，即，
．
故答案选：．
练3-1.【解析】如图设，圆心为．则，且，
又因为，所以，
即，所以，即．
所以点的轨迹方程．
故选B．
练3-2.【解析】设，则，
在圆上，，
整理得：，曲线的方程为；
由知，曲线是以为圆心，以为半径的圆，若过点的直线与曲线只有一个交点，
则直线与曲线相切，
当斜率不存在时，：符合条件
当斜率存在时，设直线方程为，则，解得，
满足条件的直线存在，直线的方程为：或．
【素养提升】
例4.【解析】由题意可得圆是关于，的阿波罗尼斯圆，且，则，
设点的坐标为，点坐标，则，
整理得，，
由已知该圆的方程为，则，解得
点的坐标为，，
由图象可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为
故选：
练4-1.【解析】法：在中，，由正弦定理得．设边上的高为．
由余弦定理可得 ，
由面积公式可得即，
因为，即有，整理可得：，
由二次函数性质得当时，取最大值，同时的面积最大，此时负值舍去．
法：在中，，即．
则以为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，如图所示，且，，
即点到，距离之比为，所以的轨迹为圆去掉两个点，
设点，则，整理得，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉两个点，，
显然，此时的面积最大，边上的高为圆的半径为．
故答案为 ．
练4-2.【解析】设点，则，化简整理得，
即，故A错误；
假设在轴上存在异于，的两定点，，使得，
可设，，可得，
化简可得，
由的轨迹方程为，可得，，
解得，或，舍去，即存在，，故B正确
对于选项，，，
要证为角平分线，只需证明，即证，
化简整理即证，
设，则，，
则证，故C正确；
对于选项，设，由，得，
即，
而点在圆上，故满足，联立解得，无实数解，故D错误．
故答案为．
【易错点归纳】
例5.【解析】把圆的方程化为标准方程得：，
所以，解得：，
又点应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：，即，
解得：或，则实数的取值范围是
故答案为：
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