（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题10.4直线与圆的位置关系

10.4 直线与圆的位置关系
课标要求 考情分析 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 新高考3年考题 题 号 考 点 直观想象 数学运算 逻辑推理
2022(Ⅱ)卷 15 利用直线与圆的位置关系求参
2021(Ⅰ)卷 11 直线与圆的位置关系的综合问题
2021(Ⅱ)卷 11 直线与圆的位置关系的判断
1.直线与圆的位置关系
设圆,直线,圆心到直线的距离为,
由消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，其判别式为.
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0 1 2
量化 方程观点
几何观点
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆上一点的圆的切线方程为.
(2)过圆上一点的圆的切线方程为.
(3)过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为.
1.【P93 T1.多选】已知直线：与圆：，则( )
A. 直线与圆相离
B. 直线与圆相交
C. 圆上到直线的距离为的点共有个
D. 圆上到直线的距离为的点共有个
2.【P95 T1】如图，某个圆拱桥的水面跨度是米，拱顶离水面米；当水面下降米后，桥在水面的跨度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
考点一　直线与圆的位置关系的判断或求参
【方法储备】
1.判断直线与圆的位置关系的常用方法:
【典例精讲】
角度1 判断直线与圆的位置关系
例1.(2021·全国新高考2卷.多选)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相离
C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切
【名师点睛】
解决直线与圆的位置关系的问题，要充分运用数形结合的思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本度量关系，养成勤画图的良好习惯.
【靶向训练】
练1-1(2022·重庆市联考)已知圆，直线，则( )
A. 圆心坐标为 B. 圆的半径为
C. 直线与圆相交 D. 圆上的点到直线的距离最大值为
练1-2(2022·湖北省十一校联考)直线与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切
角度2 根据直线与圆的位置关系求参
例2.(2021·浙江省专项测试)若圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线的倾斜角．
依题意，当圆心到直线的距离不超过时，满足题中条件，由点到直线的距离公式得到，化简得，解得，，即可求解.
【靶向训练】
练1-3(2022·江苏省南京市联考)在平面直角坐标系中，已知点，若在以点为圆心，半径的圆上存在不同的两点，，使得，则的取值范围为 ．
练1-4(2022·湖北省十堰市期中) 直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
考点二　圆的切线问题
【方法储备】
1.求过圆上一点的切线方程
过圆上一点的圆的切线方程为；
①若,则切线斜率不存在，即切线方程为；
②若不存在，则切线斜率为，即切线方程为；
③若存在且不为零，则切线斜率为;利用点斜式方程可求出切线方程.
2.求过圆外一点的切线方程
理论：过圆外一点可作圆的两条切线，至少有一条切线斜率存在.
解题思路：①设切线方程为，则利用圆心到直线的距离为半径，求出斜率；
②若求出的值有2个，即可得出两条切线方程；若值只有1个，则另一条切线斜率不存在，要补充说明.
3.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为
（1）求切线长：；（为圆的半径）
（2）求直线的方程：转化为求以为圆心,切线长为半径的圆与圆的公共弦所在的直线方程.
角度1 圆的切点方程
【典例精讲】
例3.(2022·江苏省无锡市模拟)已知圆过点，，，则圆在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
本题考查圆的切线方程，涉及圆的方程的求解和切线问题．
由题意设出圆的方程，代点解方程组可得圆心，进而由斜率公式和直线的垂直关系得出切线斜率，可得切线方程．
【靶向训练】
练2-1(2022·天津市模拟)已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为 ．
练2-2(2022·湖南省模拟)过点作圆的切线，则切线方程为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
角度2 圆的切点和切线长
例4.(2021·全国新课标Ⅰ卷.多选)已知点在圆上，点，，则( )
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
【名师点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想.求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的距离范围，判断与；画出图形，由图可知，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与点间的距离，再由勾股定理求得判断与．
【靶向训练】
练2-3(2022·湖北省荆州市期中)已知直线：是圆的对称轴过点作圆的一条切线，切点为，则( )
A. B. C. D.
练2-4(2022·辽宁省沈阳市期中)过定点的直线：与圆：相切于点，则 ．
考点三　圆的弦长问题
【方法储备】
1.求直线与圆相交弦的弦长：
若直线与圆交于两点，则直线被圆截得的弦长有两种求法：
(1)几何法：根据弦心距，半径以及半弦长构成直角三角形，可得
(2)代数法：设点, 联立直线与圆的方程，借助根与系数关系，
可得.
①若直线，则弦长
②若直线,则弦长
③若直线,则弦长
2.圆的弦的性质的应用
①圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心；②圆心与弦中点的连线垂直于这条弦.
【特别提醒】注意讨论斜率不存在的情况，当直线与圆相交时，几何法求弦长较方便，一般不用代数法.
【典例精讲】
例5.(2021·北京卷)已知圆：，直线：，当变化时，截得圆弦长的最小值为，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，与圆有关的最值问题，属于中档题．
求得圆心和半径，由点到直线距离公式及直线与圆相交的弦长公式可得当时弦长取得最小值，解方程即可．
【靶向训练】
练3-1(2022·江苏省南通市联考.多选)已知是圆上的动点，直线与交于点，则( )
A. B. 直线与圆相切
C. 直线与圆截得弦长为 D. 长最大值为
练3-2(2022·重庆市联考) 若直线被圆：所截得的弦长为，则的最小值为 ．
核心素养系列 直观想象、逻辑推理——直线与圆的综合问题
【方法储备】
1.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为
求四边形中的最值问题：
①，当取最值时，面积取最值；
②求的最值，转化为求中的最值即可.
2.通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决。
用坐标法解决几何问题的步骤：
角度1 圆中三角形(四边形)的面积
例6.(2022·广东省梅州市联考)已知不经过坐标原点的直线与圆：交于，两点，若锐角的面积为，则 ， ．
【名师点睛】
本题主要考查圆的方程及其应用，数形结合的数学思想，分类讨论的数学思想等知识，属于中档题．
首先写出圆的标准方程，然后结合面积公式可得的长度，最后结合圆的性质分类讨论即可求得的值．
【靶向训练】
练4-1(2022·江苏省南通市期中)过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·湖北省七市联考.多选)已知直线：，圆的方程为，
则下列选项正确的是( )
A. 直线与圆一定相交
B. 当时，直线与圆交于两点，，点是圆上的动点，则面积的最大值为
C. 当与圆有两个交点，时，的最小值为
D. 若圆与坐标轴分别交于，，，四个点，则四边形的面积为
角度2 直线与圆的位置关系的实际应用
例7.(2022·江苏省苏州市月考)如图，某海面上有、、三个小岛面积大小忽略不计，岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处，以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过、、三点．
求的方程；
若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【名师点睛】
本题主要考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式．
由题意可求，，设过，，三点的圆的方程为，可得，解得，，的值，即可得解．
设船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为，该船航行方向为直线：，利用点到直线的距离公式即可求解．
【靶向训练】
练4-3(2021·云南省模拟)已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是 小时．
练4-4(2022·山东省烟台市期末)右图是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以为圆心,以为半径，为公园入口,道路为东西方向，道路经过点且向正北方向延伸,，，现计划从处起修一条新路与道路相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为单位：( )
A. B. C. D.

易错点1．忽略切线斜率不存在的情况
例8.(2022·青海省西宁市五校联考)过点作圆的切线，则切线方程为 ．
易错点2．求弦所在直线的方程时漏解
例9.(2022·广东省梅州市联考) 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切，点在圆上，点在圆外．
求圆的方程；
若过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程．
答案解析
【教材改编】
1.【解析】圆的圆心的坐标为，半径，
则圆心到直线：的距离，所以，所以直线与圆相交，
因为半径为，所以圆上到直线的距离为的点共有个．
故选：．
2.【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则圆拱所在圆的圆心位于轴负半轴上，设该圆的圆心为，，则该圆的方程为，
记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，；
由题意可得，，则，解得，
所以圆的方程为,水面位下降米后,可知点纵坐标为,
所以，解得，
则此时的桥在水面的跨度为米．
故选：C．
【考点探究】
例1.【解析】圆心到直线的距离，
若点在圆上，则，所以，则直线与圆相切，故A正确；
若点在圆内，则，所以，则直线与圆相离，故B正确；
若点在圆外，则，所以，则直线与圆相交，故C错误；
若点在直线上，则即，所以，直线与圆相切，故D正确．
故选：ABD．
练1-1.【解析】将化为标准方程：，
故圆心为，半径 ，故A错，对；
圆心为到直线的距离为： ，故直线和圆相交，故C正确；
由圆心为到直线的距离为：知，
圆上的点到直线的距离最大值为，故D正确，
故答案选：．
练1-2.【解析】直线过定点，且，
点在圆内，直线与圆相交．故选：．
例2.【解析】由题得圆的标准方程为，圆心是半径为，
依题意，可知当圆心到直线的距离不超过时，满足圆上至少有个不同的点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，显然，
化简得，解得，
又，所以直线的倾斜角的取值范围是，
故选B．
练1-3.【解析】设中点为，根据可得，
则，，，
，．
故答案为．
练1-4.【解析】曲线有即，表示一个半圆单位圆位于轴及轴右侧的部分，
如图所示．
当直线经过点时，，求得；
当直线经过点、点时，，求得；
当直线和半圆相切时，
由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或 舍去，
故要求的实数的范围为或，
故选：．
例3.【解析】由题意设圆的方程为，
代入、、三点的坐标可得解得，故圆心，
由，故切线斜率为，所以圆在点处的切线方程为，整理得．
故选C．
练2-1.【解析】如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得．
圆心为，则半径．圆的标准方程为 ．
故答案为： ．
练2-2.【解析】圆的圆心为，半径为．
当过点的切线切线斜率不存在，即直线垂直于轴时，方程为．
圆心到直线的距离为，直线符合题意；
当过点的切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由点到直线的距离公式得 ，解得，此时切线方程为 ，即．
综上所述，所求切线方程为或．
故选：B．
例4.【解析】，，过、的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离的范围为，
，，，
点到直线的距离小于，但不一定大于，故A正确，B错误；
如图，当过的直线与圆相切时，
满足最小或最大点位于时最小，位于时最大，
此时，
，故CD正确．
故选：．
练2-3.【解析】由于直线是圆：的对称轴，
圆：的标准方程为，
圆心在直线上，即，
，得，即．
又，，．
故选C．
练2-4.【解析】直线：，即，过定点，
圆：的圆心，半径为；
定点与圆心的距离为：．
过定点的直线：与圆：相切于点，则．
故答案为：．
例5.【解析】由题可得圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，
弦长为．故当时，弦长取得最小值，得，解得．
故选：．
练3-1.【解析】选项：，，对．
选项：因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，B错误；
选项：因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，截得的弦长为，C正确；
选项：联立与得，，
即，所以，
所以的最大值为，D正确．
故选ACD．
练3-2.【解析】圆，
即圆，它表示以为圆心、半径等于的圆．
设弦心距为，由题意可得，求得，
可得直线经过圆心，故有，即，再由，，
可得 ，
当且仅当时，取等号，的最小值是．
故答案为．
【素养提升】
例6.【解析】圆的方程即，
由三角形面积公式可得：，
则，三角形为锐角三角形，则，为等边三角形，
从而，
如图所示，点，，的位置如图所示，其中是与点不同的位置，
由于圆的圆心角是同一段弧对应的圆周角的倍，
故或．
故答案为：，或．
练4-1.【解析】圆：的圆心，半径，
由于，，，可得四边形的面积为，
又,要求四边形的面积的最小值,只需求的最小值，即求的最小值．
而的最小值为到直线的距离．
由点到直线的距离公式可得，所以的最小值为，
则四边形的面积的最小值为．
故选：．
练4-2.【解析】直线：过定点，，点在圆内，
因此直线与圆一定相交，故A正确；
当时，直线，代入圆的方程得，，因此，
圆心为，圆半径为，圆心到直线的距离为，因此到直线的距离的最大值为，
面积的最大值为，故B错误；
当与圆有两个交点，时，的最小时，，，
因此，故C正确；
在圆方程中分别令和可求得圆与坐标轴的交点坐标为
，，，，
，，四边形的面积为，故D错误．
故选：．
例7.【解析】由题意可求，，
设过，，三点的圆的方程为，
可得，解得，，，
故圆的方程为．
由得，圆心，半径．
设船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为，
故该船航行方向为直线：，
由于圆心到直线的距离，
故该船有触礁的危险．
练4-3.【解析】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
以为圆心，千米为半径作圆，
且圆与直线交于，两点，过点作，垂足为．
由题意可知千米，千米，，
则千米，
从而千米，
故B点处于危险区域的时长是小时．
故答案为．
练4-4.【解析】如图所示，
当与圆相切时，新路的长度最小，记切点为，，
连接，，，．
设，则，
易得，，即，
解得负值已舍去，
则．
故选：．
【易错点归纳】
例8.【解析】根据题意，圆的圆心为，半径，
若切线的斜率不存在，则切线的方程为，
此时圆心到直线的距离，直线与圆相切，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线的方程为，即，
则有，解可得，则切线的方程为，
综合可得：切线方程为或，
故答案为：或．
例9.【解析】设圆心，半径，
则圆的方程可设为，
因为点在圆上，所以，解得或，
因为点在圆外，经检验不符，舍去．
故圆的方程为；
由可知圆的半径，，所以圆心到直线的距离，
当不存在时，直线方程，符合题意
当存在时，设直线方程为，整理得，
所以圆心到直线的距离，
即，解得，
所以，所以直线的方程为．
综上，直线方程为或．
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