（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题10.5圆与圆的位置关系

10.5 圆与圆的位置关系
课标要求 考情分析 核心素养
1.掌握用几何法处理圆与圆的位置关系的相关问题的过程. 2.了解几何法和代数法在处理圆与圆的位置关系的有关问题时的优劣． 3.会求圆与圆相交时公共弦所在的直线方程和公共弦长. 新高考3年考题 题 号 考 点 直观想象 数学运算 逻辑推理
2022(Ⅰ)卷 14 圆的公共弦,公切线
1.圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为， ()，两圆圆心间的距离为，则两圆的位置关系可用下表表示：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
量的关系
公切线条数 4 3 2 1 0
1.设圆 ①,圆 ②,若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①②所得，即．
2.圆系方程
（1）同心圆系方程：，为定值，为参数；
（2）过直线与圆交点的圆系方程：
（3）过圆与圆交点的圆系方程，
，解题时验证圆是否满足题意.
1.【P95 T5】已知：与：，则两圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切
2.【P95 T1】已知线段的端点的坐标是，端点在圆：上运动．
求线段的中点的轨迹方程．
判断中轨迹与圆的位置关系．
考点一　圆与圆的位置关系判断或求参
【方法储备】
1.判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是
【典例精讲】
例1.(2021·浙江省温州市联考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数且的点的轨迹为圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆：上有且只有一个点满足则的取值可以是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查阿波罗尼斯圆，这是有着深厚数学背景的问题，也是高考以及模拟考经常命题的素材，本题把圆的位置融入其中，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力.判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法，两圆相切注意讨论内切外切两种情况.
【靶向训练】
练1-1(2022·安徽省模拟)设,若圆：与圆：相交，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
练1-2(2021·河北省邢台市联考)已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
考点二　圆与圆的公共弦、公切线问题
【方法储备】
1.若两圆相交，则公共弦长有两种求解方法：
几何法：利用两圆方程求出公共弦所在的直线方程，再利用勾股定理求出公共弦长,
即.
其中弦心距可由点(圆心)到直线(公共弦所在的直线)的距离公式求得.
代数法：将两圆方程联立，解出两交点坐标，再利用两点间距离公式求出公共弦长.
方程组解的个数两圆交点个数;方程组的解两圆交点的坐标.
角度1 圆与圆的公共弦问题
【典例精讲】
例2.(2022·广东省模拟)已知点在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去，得到,然后将点，代入解得，再利用基本不等式求最值．
【靶向训练】
练2-1(2022·天津市专项测试)若圆与圆的公共弦长为，则______．
练2-2(2021·北京市期中)已知两圆：，：．
求证：圆和圆相交；
求圆和圆的公共弦所在直线方程和公共弦长．
角度2 公切线问题
例3.(2022·新高考1卷)写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【名师点睛】
本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识．
方法设直线方程为，利用点到直线的距离公式可求出与的关系，然后再进行后面的求解．
方法求出两圆间的位置关系，然后再利用数形结合进行求解可得．
【靶向训练】
练2-3(2022·山东省部分学校联考) 圆与圆至少有三条公切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
练2-4(2022·河北省衡水市期末)若两圆和
恰有三条公切线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
核心素养系列 直观想象、逻辑推理——与圆有关的最值（范围）问题
与圆有关的最值问题是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
【方法储备】
1.借助几何性质求最值
处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解.
(1)求形如的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点和的直线斜率的最值问题.
(2)若为圆上任意一点,求形如的最值,可转化为求动直线截距的最值.
具体方法是:①数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;
②把代入圆的方程中,消去得到关于的一元二次方程,由求得的范围,进而求得最值.
(3)若为圆上任意一点,求形如的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把看作点到圆上的点的距离的平方,利用数形结合法求解.
2.利用对称求最值
求解形如且与圆有关的折线段的最值问题(其中均为动点)的基本思路:
“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;
“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
3.建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值。
角度1借助几何性质求最值
例4.(2022·江苏省盐城市联考)已知直线：与圆相交于，两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题主要考查了与圆有关的轨迹问题，点到直线的距离公式．画出图形，利用待定系数法求出的轨迹，结合点到直线的距离公式得答案．
【靶向训练】
练3-1(2022·山东省泰安市期中)设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·云南省普洱市期末)已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为 和 ．
角度2 利用对称求最值
例5.(2022·江苏省模拟)已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ．
【名师点睛】
本题考查了与圆有关的最值问题，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值．
【靶向训练】
练3-3(2021·河北省模拟)已知，分别为圆：与圆：上的动点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练3-4(2022·浙江省温州市模拟)已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
角度3 建立函数关系式求最值
例6.(2022·四川省成都市期末) 已知圆：的圆心为，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为 ．
【名师点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积、二次函数的最值，画出图形帮助分析是解题的关键．根据为圆的切线可得，设，根据为直线上的动点，可得，利用勾股定理得，把、的坐标代入化简，得关于的二次函数，求出最小值．
【靶向训练】
练4-5(2022·浙江省专项测试)已知是圆：外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 ．
练4-6(2022·湖北省武汉市模拟)在平面直角坐标系中，已知，为圆上两个动点，且若直线上存在点，使得则实数的取值范围为 ．

易错点1．忽视分两圆内切与外切两种情形
例7.(2022·山东省青岛市模拟)若圆与圆相切，则的值为 ．
易错点2．对称问题理解不清致误
例8.(2022·福建省联考)若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】根据题意，：，其圆心为，半径，
：，即，其圆心为，半径，
圆心距，
则有，则两圆相交，
故选：．
2.【解析】设，点，则，
，代入圆：，可得圆：．
两个圆的圆心坐标分别为：，：，半径分别为和，
圆心距．
，两个圆相交.
【考点探究】
例1.【解析】设，由，得，整理得，
又圆：上有且仅有一点满足，所以两圆相切，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆：的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为，
当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，得．
故选A．
练1-1.【解析】因为圆：的标准方程为，
圆：的标准方程为，
所以，即，解得．
故选A．
练1-2.【解析】圆的标准方程为：，则圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
圆：截直线所得线段的长度是，
，即，即，，则圆心为，半径，
圆：的圆心为，半径，则，
，，，即两个圆相交．
故选：．
例2.【解析】根据题意将两圆方程作差得，即为两圆的公共弦所在的直线方程，
又因为点在公共弦上，所以，即，
所以
当且仅当，即时取等号，的最小值为．
故选A．
练2-1.【解析】①，②，
两式相减得：，此即为公共弦的方程．
圆的圆心为，半径．两个圆的公共弦长为，
圆心到直线的距离为：．，，．
故答案为：．
练2-2.【解析】圆：的圆心，半径，
：的圆心，半径，
，，圆和圆相交．
两圆：，：，
两圆相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程为：，即．
圆心到直线的距离，
圆和圆的公共弦长．
例3.【解析】方法显然直线的斜率不为，不妨设直线方程为，于是，．
故①，，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，．
填一条即可
方法设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线的方程为，直线与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
练2-3.【解析】因为圆与圆至少有三条公切线，
故两圆外切或相离，
又圆的圆心坐标为，半径为，
圆，即圆心坐标为，半径为，
则，解得的范围是．
故选：．
练2-4.【解析】由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为，
圆心分别为，半径分别为和，故有，
，， ，
当且仅当，即时，等号成立，
故选C．
【素养提升】
例4.【解析】直线：过定点，不妨记，
设，，
则，代入，可得．
的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
则到直线的距离的最大值为．
故选：．
练3-1.【解析】曲线表示的是以点为圆心，为半径的半圆，
表示的是求点到点的斜率，半圆的左端点为，
所以，设，可得，
依题意知直线与圆相切时取得最大值，
根据圆心到直线距离等于半径可得，，解得舍，
故的取值范围是，
故本题选B．
练3-2．【解析】根据题意，实数，满足方程，化为，
其圆心为，半径，则点是圆上的点，
设，化为，
当直线与圆相切时，取最值，
由圆心为到直线的距离为半径，即，解得或，
故的最大值为，最小值为．
故答案为：；．
例5.【解析】由题意，圆，的圆心分别为，，
由题意知，，
，故所求值为的最小值，
又易知关于轴对称的点为，
所以的最小值为．
故答案为．
练3-3.【解析】圆：关于轴对称的圆为：，
则的最小值为，
故选A．
练3-4.【解析】设关于直线的对称点为，则，解得，
由对称性可得，圆，圆心，半径为，
则，当且仅当，，三点共线时等号成立，
由于，，
，即的最大值为．
故选C．
例6.【解析】如图所示，
又，，设，
在直线上，，，，
，
当时，的最小值为，即的最小值为．
故答案为：．
练4-5.【解析】圆的标准方程为，则圆的半径为．
设，则，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为．
故答案为．
练4-6.【解析】取的中点，连接，，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即，
为的中点，，
设点，，
，，即
在圆上，，整理得，
存在点，，，．
故答案为．
【易错点归纳】
例7.【解析】由题可得：，即
故圆的圆心为，半径，
若两圆外切，则，解得，
若两圆内切，则，解得．
故答案为：或．
例8.【解析】圆：的圆心为，半径为，
其关于的对称圆方程为：，
根据题意，圆与圆有交点，即可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．
又两圆圆心距，要满足题意，只需，
解得：．
故选A．
共11页/第1页