（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题10.6椭圆的标准方程及性质

10.6 椭圆的标准方程及性质
课标要求 考情分析 核心素养
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 新高考3年考题 题 号 考 点 直观想象 数学运算 逻辑推理
2021(Ⅰ)卷 5 椭圆的定义
基本不等式
1.椭圆的定义
我们把平面内到两个定点，的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫作椭圆.这两个定点，叫作椭圆的焦点，两个焦点，间的距离叫作焦距.
其数学表达式：集合，，其中，，且为常数：
①若，则集合为椭圆；②若，则集合为线段；③若，则集合为空集.
2.椭圆的标准方程及一般方程
方程 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程
一般方程 或
说明 当椭圆的焦点位置不明确时，可以分类讨论设标准方程，或设一般方程.
3.椭圆的几何性质
标准方程 说明
图 形
范 围 求最值或范围问题时，注意封闭曲线上点的坐标的取值范围
对称性 轴对称：关于轴对称 中心对称：关于原点对称 在解决求点坐标、判断点个数、求弦长、求最值等问题时,可利用对称性求解
顶 点 长轴端点 短轴端点 短轴端点 短轴端点
轴 长轴长为；短轴长为 注意区分“长轴”与“长半轴”、“短轴”与“短半轴”
焦 点
焦 距
的关系 图形中阴影三角形的三边长分别为
离心率 ,其中 当越接近时,越接近,椭圆越扁；
当越接近时,越接近,椭圆越接近圆
1. 椭圆的通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长为，通径是最短的焦点弦.
2.点为椭圆上一点，为椭圆的焦点，则，.
3.点为椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点：.
4.设是椭圆上不同的三点，其中关于原点对称,则直线与的斜率之积为定值.
1.【P115 T5】，是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且，则三角形的面积为( )
A. B. C. D.
2.【P115 T6】已知定点，动点在圆上，的垂直平分线交直线于点，若动点的轨迹是椭圆，则的值可以是( )
A. B. C. D.
考点一　椭圆的定义及应用
【方法储备】
1.利用椭圆定义解题的几种情况
2.对于方程.
(1)表示焦点在轴上的椭圆且
(2)表示焦点在轴上的椭圆且
(3)表示椭圆且
对于形如：其中,的椭圆的方程，其包含焦点在轴上和在轴上两种情况，
当时，表示焦点在轴上的椭圆；当时，表示焦点在轴上的椭圆．
3.求最值或范围
已知为椭圆上任意一点，转化为
①结合其它条件，使用基本不等式求最值，
或者将所求量表示为关于或的函数，转化为函数的最值问题来处理；
②设，则,所求量表示为关于点坐标的函数，转化为函数的最值问题来处理；
③设，三角换元：当焦点在轴上时，，转化为三角函数的最值问题来处理.
角度1 椭圆定义的直接应用
【典例精讲】
例1.(2022·江苏省联考)方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程，解三角不等式．先将方程化为椭圆的标准式，再根据椭圆焦点在轴上得出，然后使，进而根据正弦函数的单调性求出的取值范围．
【靶向训练】
练1-1(2021·辽宁省联考)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·辽宁省沈阳市期末)若椭圆：上一点到的两个焦点的距离之和为，则( )
A. B. C. D. 或
角度2 与椭圆定义有关的最值问题
【典例精讲】
例2.(2021·全国新课标Ⅰ卷)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
【靶向训练】
练1-3(2022·湖北省联考)已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为
练1-4(2021·福建省联考)已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
考点二　椭圆的标准方程
【方法储备】
1.求椭圆标准方程的基本方法
定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置写出椭圆的方程
待定系数法：
2.待定系数法求椭圆标准方程的不同设法
(1)焦点在轴上的椭圆标准方程可设为：
(2)焦点在轴上的椭圆标准方程可设为：
(3)与椭圆共焦点的椭圆标准方程可设为：
(4)与椭圆共离心率的椭圆标准方程可设为：或
角度1定义法求椭圆方程
【典例精讲】
例3.(2021·湖北省襄阳市联考)已知椭圆的两个焦点分别为，，是椭圆上一点，，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
由结合椭圆的定义可求得的值，再结合和可求得，的值．
【靶向训练】
练2-1(2022·广东省模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，若四边形是正方形且面积为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·吉林省辽源市期末)设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为若，则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
角度2 待定系数法求椭圆方程
【典例精讲】
例4.(2022·福建省模拟)已知椭圆过点和，则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
设椭圆方程为：，把，代入椭圆方程求解，即可．
【靶向训练】
练2-3(2022·山东省滨州市模拟)焦点在轴上，焦距等于，且经过点的椭圆标准方程是 ．
练2-4(2021·陕西省西安市期末)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，椭圆的面积为，且短轴长为，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
角度3 与椭圆有关的轨迹问题
【典例精讲】
例5.(2022·四川省模拟)动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为 ．
【名师点睛】
由于动圆过点，得到，根据椭圆的定义即可求解．
【靶向训练】
练2-5(2022·山东省模拟)已知的周长为，且顶点，，则顶点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
练2-6(2021·北京市期末)已知圆：，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
考点三　椭圆中的焦点三角形
【方法储备】
椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立关于之间的关系，采用整体代入的方法解决三角形的面积、周长及角的有关问题.
性质1：
的周长为
的周长为
性质2：
性质3：当为短轴的端点时，最大
性质4：,
当，即为短轴的端点时，的面积最大，最大值为.
【典例精讲】
例6.(2022·重庆市联考)已知椭圆：的右焦点的坐标为，为椭圆的左焦点，为椭圆上一点，若，，则椭圆方程为 ．
【名师点睛】
本题考查椭圆的标准方程，椭圆焦点三角形问题，余弦定理．不妨设，根据的面积为，结合余弦定理，解方程组可得和的值，再根据椭圆方程求出，进而求出椭圆方程．
【靶向训练】
练3-1(2022·湖南省株洲市联考)已知、为椭圆：的两个焦点，是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为 ．
练3-2(2022·湖南省六校联考.多选)已知椭圆上有一点，，分别为其左、右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是( )
A. 的周长为 B. 角的最大值为
C. 若，则相应的点共有个 D. 若是钝角三角形，则的取值范围是
核心素养系列 直观想象、逻辑推理——椭圆的离心率问题
离心率是椭圆的重要几何性质，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的用表示，转化为关于离心率的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
【方法储备】
1.求椭圆离心率的值
2.求离心率的取值范围
(1)直接法：题干条件中有明显的不等关系，直接将不等关系中的量转化为的不等式；
(2)间接法：题干条件中没有明显的不等关系，
①利用椭圆中已有的不等关系
②焦点三角形中动点在短轴端点时，，取最大值，三角形的三边满足的关系；
③几何图形的临界情况建立不等式.
角度1求椭圆的离心率或(取值范围)
【典例精讲】
例7.(2022·全国理科甲卷)椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题主要考查椭圆的离心率，考查学生对基础知识的应用能力和数形结合的思想.
【靶向训练】
练4-1(2022·山东省联考)已知点，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·全国理科乙卷)设是椭圆：的上顶点,若上的任意一点都满足
，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
角度2 与椭圆离心率有关的参数问题
例8.(2022·江苏省盐城市模拟)设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
分和两种情况讨论，根据椭圆的标准方程和几何性质求解.
【靶向训练】
练4-3(2022·河南省豫西联考)已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交于、两点，若的周长为，则的方程为( )
A. B. C. D.
练4-4(2022·辽宁省联考)已知椭圆的离心率为，和是的左右焦点，是上的动点，点在线段的延长线上，，则点的轨迹的方程是 ，线段的垂直平分线交于，两点，则的最小值是 ．

易错点1．忽略椭圆定义中的限制条件
例9.(2021·四川省模拟)已知椭圆的两焦点为，，点是椭圆内部的一点，则的取值范围为 ．
易错点2．忽略对椭圆焦点位置的讨论
例10.(2022·浙江省金华市模拟)如果椭圆的离心率为，则 ．
答案解析
【教材改编】
1.【解析】由题意可得，，，
故，，则，
，
，解得，
故三角形的面积．
故选：C．
2.【解析】线段的垂直平分线交直线于点，，
，，
动点的轨迹是椭圆，即动点到两定点，的距离之和为常数，
只有选项A满足题意，
故选：A．
【考点探究】
例1.【解析】根据题意可得，
焦点在轴上，，，即，
，，即．故的取值范围是
故选：C．
练1-1.【解析】由题意得解得，
故选：C．
练1-2.【解析】若椭圆的焦点位于轴，则，解得或，
此时不能使得椭圆的焦点位于轴，舍去
若椭圆的焦点位于轴，则，满足题意．
故选：．
例2.【解析】，是椭圆：的两个焦点，点在上，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为．
故选：．
练1-3.【解析】由椭圆，可得，，，
则焦点坐标为，，
设点坐标为，由，可得；
，；
，
由题意可知：，则，的最大值为，
故答案为：．
练1-4.【解析】如下图所示，
点为椭圆的左焦点，，
点为椭圆上任意一点，点的坐标为，
设椭圆的右焦点为，
，
，
，即最大值为，此时，，共线，
故选A．
例3.【解析】因为，所以，
根据条件知，而，所以，，
故椭圆的标准方程为．
故选D．
练2-1.【解析】由四边形是正方形可得
由四边形的面积为可得，即，
又，， 椭圆的方程为．
故选：A.
练2-2.【解析】，，则，，
，椭圆的方程为．
故选：．
例4.【解析】设椭圆方程为：，
椭圆过点和，
将点，坐标代入椭圆方程可得：，，解得，．
所以所求椭圆的方程为：．
故选B．
练2-3.【解析】由题可设椭圆的标准方程为，
则，，则，
又椭圆经过点，说明是椭圆的右顶点，所以，所以，．
即椭圆的标准方程为．
故答案为．
练2-4.【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为，
由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为
故选B．
例5.【解析】定圆：，它的圆心为，半径为，点在定圆内，
设动圆半径为，动圆与定圆内切，则二者圆心距等于半径之差，即：．
又动圆过定点，所以．，
．动点在以点和为焦点的椭圆上，
，，焦点在轴上，，，
动圆圆心的轨迹方程．
故答案为．
练2-5.【解析】根据题意，中，，的周长为，，且，
顶点的轨迹是以、为焦点的椭圆，去掉与轴的交点，
，，，，，
顶点的轨迹方程为其中，
故答案选：．
练2-6.【解析】设线段的中点，，则，
则有，解得，
又点在圆：上，所以有，即，
所以线段的中点的轨迹方程为．
故选：．
例6.【解析】由题意可知，不妨设，
由，则，
，
在三角形中，利用余弦定理可得，
由联立解得，，所以，所以椭圆方程为．
故答案为：．
练3-1.【解析】由椭圆的方程可得：，，则，，，
设，，，
当为直角时，则，解得方程组无解，不符题意，
当为直角时，则，解得，
所以三角形的面积为，
当为直角时，由椭圆的对称性可得三角形的面积为，综上，三角形的面积为，
故答案为：．
练3-2.【解析】由已知可得，，所以，的周长为，故A正确；
因为，所以，所以点共有个，故C错误；
因为，所以以为直径的圆与椭圆相切，所以，故B正确；
因为为钝角三角形，所以中有一个角大于，由选项C知不可能为钝角，
所以或为钝角，当时，将代入得，
此时的面积为，所以三角形的面积，故D正确；
故选ABD．
【素养提升】
例7.【解析】，设，则，则，
故，
又，则，所以，即，
所以椭圆的离心率．
故选A.
练4-1.【解析】由题意，可设，则，，由
椭圆定义有，
，化简为：，，
，，得到：，
化简得：，该椭圆的离心率．
故选B．
练4-2.【解析】设由题意，得，
则当不等式成立；
当，
而，，，
又,故椭圆离心率的取值范围是
故选：．
例8.【解析】当时，，即，
所以，解得；
当时，，即，所以，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选C．
练4-3.【解析】的周长为，且的周长为，
，，离心率为，，解得，，
椭圆的方程为．
故选：．
练4-4.【解析】由条件得，，
椭圆的方程是，，．
由于点在线段的延长线上，，所以，
是以为圆心，以为半径的圆，方程为．
当圆心到弦的距离最大，
即当为椭圆的右顶点时，取得最小值在圆的方程中取，，且最小值为，如图所示．
故答案为：
【易错点归纳】
例9.【解析】椭圆的两焦点为，，点是椭圆内部的一点，
当点在线段上时，，
当点在椭圆上时，．
点是椭圆内部的一点，的取值范围是．
故答案为：．
例10.【解析】若椭圆的焦点在轴上，则，解得；
若椭圆的焦点在轴上，则，解得所以或．
故答案为或．
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