（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题10.7直线与椭圆的位置关系

10.7 直线与椭圆的位置关系
课标要求 考情分析 核心素养
1.掌握利用一元二次方程根的判别式判断直线与椭圆的位置关系的方法，且能根据位置关系求参数的值或取值范围 2.熟练掌握利用根与系数的关系解决直线与椭圆相交时的弦长问题与面积问题 3.会利用“点差法”和“根与系数的关系法”解决直线与椭圆相交时的“中点弦”问题 4.会利用点关于直线对称的相关结论解决椭圆中的对称问题 新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 逻辑推理 数学抽象
2022(Ⅰ)卷 16 椭圆的弦长，直线与椭圆的位置关系的应用
2022(Ⅱ)卷 16 椭圆的中点弦问题
2021(Ⅱ)卷 20 椭圆的弦长，利用直线与圆的位置关系求参
2020(Ⅱ)卷 21 椭圆中的最值问题
1.点与椭圆的位置关系
(1)点在椭圆外；(2)点在椭圆上；(3)点在椭圆内.
2.直线与椭圆的位置关系
联立得.
设一元二次方程的判别式为，
则有2个交点相交；1个交点相切；没有交点相离.
3.弦长公式
直线与椭圆交于两点，设.
(1)若直线，则弦长
(2)若直线，则弦长
(3)若直线，则弦长
(4)若直线，则弦长
1.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长.
2.为椭圆的弦,，弦中点，则直线的斜率.
3.当点在椭圆上时，过该点的切线方程为.
1.【P114 T2】已知椭圆，则椭圆截直线所得的弦长为 ．
2.【P145 T7】已知椭圆经过两点，．
求椭圆的方程；
若直线交椭圆于两个不同的点，，是坐标原点，求的面积．
考点一　直线与椭圆的位置关系
【方法储备】
1.判断直线与椭圆的位置关系
【典例精讲】
例1.(2022·江苏省苏州市期末)椭圆上的点到直线的最短距离为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程，求得的值，进而求得椭圆上的点到直线距离的最小值．
【靶向训练】
练1-1(2022·河南省平顶山市模拟)已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
练1-2(2022·山东省滨州市模拟)若直线与椭圆有两个公共点，则的取值范围是 ．
考点二　弦长问题
【方法储备】
1.利用“根与系数关系法”解决直线与椭圆的弦长问题的步骤
2.利用根与系数的关系处理直线与椭圆相交的有关问题时，切线要考虑以下两点：①直线斜率不存在的情况;②判别式(当直线经过椭圆内部的点时，直线与椭圆必定相交，此时可不用不考虑判别式).
【典例精讲】
例2.(2022·全国新高考1卷)已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为，过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
【名师点睛】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力．
根据可得，，，则：，：，解得交点坐标，直线垂直平分，即，，联立方程结合韦达定理可求得，即可求得的周长．
【靶向训练】
练2-1(2022·湖北省武汉市期末)已知椭圆：的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为求椭圆的离心率；
若直线与椭圆相交于，两点，，求椭圆的标准方程．
练2-2(2022·河南省濮阳市期末)已知椭圆的离心率为，上顶点为．
求的方程
过点斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，且，求的值．
考点三　焦点弦、中点弦问题
【方法储备】
1.椭圆的焦点弦
设椭圆的右焦点为,过的直线与椭圆相交于两点.
长弦,短弦(是直线与轴的夹角，而非倾斜角),对于双曲线有同样的结论.
2.解决“中点弦”问题的方法
(1)根与系数的关系法：联立直线和椭圆的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法的解题模板
角度1 焦点弦问题
【典例精讲】
例3.(2022·陕西省模拟)已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过椭圆的左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，求．
【名师点睛】
本题考查直线与椭圆的交点弦长，属于基础题．
Ⅰ由题意得离心率及长半轴长及，，之间的关系，求出椭圆的方程；
Ⅱ由题意写出直线的方程与椭圆联立写出两根之和及之积，再由弦长公式求出弦长．
【靶向训练】
练3-1(2022·安徽省模拟)过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦，则弦的长为( )
A. B. C. D.
练3-2(2021·江苏省扬州市模拟)已知椭圆与双曲线共焦点，且过点．
Ⅰ求椭圆的方程
Ⅱ设坐标原点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，若椭圆上点与线段的中点满，求弦长．
角度2 中点弦问题
【典例精讲】
例4.(2022·辽宁省沈阳市联考)已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，，为直角三角形，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时，．
求椭圆的标准方程
若的中点的横坐标为，求．
【名师点睛】
本题考查椭圆方程，直线与椭圆的相交的中点弦问题，解题中需要一定的计算能力．
由条件得，从而，又可得到椭圆经过点，代入即可求出椭圆的标准方程；
设出直线方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数的关系可求出直线的斜率，由弦长公式可得出答案.
【靶向训练】
练3-3(2021·湖北省武汉市联考)已知为椭圆的一条弦，点为的中点，椭圆离心率，，则( )
A. B. C. D.
练3-4(2022·江苏省扬州市期末)已知椭圆的离心率为．
证明：；
若点在椭圆内部，过点的直线交椭圆于，两点，为线段的中点，且．
求直线的方程；
求椭圆的标准方程．

核心素养系列 数学运算、逻辑推理——与椭圆有关的范围(最值)问题
【方法储备】
1.圆锥曲线最值问题类型：
(1)由题目中的限制条件求范围,如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围,方程中变量的范围,角度的大小等；
(2)将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用．
2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法：
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
角度1 与椭圆有关的范围问题
【典例精讲】
例5.(2022·江苏省苏州市四校联考)已知椭圆：，为左焦点，上顶点到的距离为，且离心率为．
求椭圆的标准方程；
设斜率为的动直线与椭圆交于，两点，且，求的取值范围．
【名师点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力．
由上顶点到的距离为，可得，结合椭圆离心率求得，再由隐含条件求得，则椭圆方程可求；
当时，由椭圆的对称性，成立；当时，设直线：，联立直线方程与椭圆方 程，化为关于的一元二次方程，由判别式大于可得，由，得，结合根与系数的关系得，代入，即可求得的取值范围．
【靶向训练】
练4-1(2022·湖南省益阳市模拟)已知椭圆，为坐标原点，，是椭圆的一条弦，若弦的中点在线段不含端点上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·安徽省滁州市期中)已知点、的坐标分别是、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为．
求点轨迹的方程；
若过点的直线与中的轨迹交于不同的两点、，试求面积的取值范围为坐标原点．
角度2 与椭圆有关的最值问题
【典例精讲】
例6.(2022·浙江卷) 如图，已知椭圆设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．
求点到椭圆上点的距离的最大值
求的最小值．
【名师点睛】
本题考查了椭圆的性质，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系及其应用，考查了计算能力.
【靶向训练】
练4-3(2022·湖北省联考)已知为椭圆上任一点，过作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练4-4(2020·海南卷)已知椭圆：过点，点为其左顶点，且的斜率为．
求的方程；
点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．

易错点1．弦长公式选择不合理
例7.(2022·江苏省模拟)已知椭圆两顶点，，过焦点的直线与椭圆交于，两点则当时，直线的方程为
答案解析
【教材改编】
1.【解析】联立方程，消去得：，，，
由弦长公式得弦长为：，
故答案为：．
2.【解析】根据题意，椭圆经过两点，．
则有，解得：，，即椭圆的方程为．
记，，直线的方程为．
由消去得，所以
设直线与轴交于点，．
【考点探究】
例1.【解析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，
联立方程，消去，整理得，
所以，解得，
当时，两平行直线的距离为，
当时，两平行直线的距离为．
所以最小值为．
故选：．
练1-1.【解析】由题意知：恒过点，
该点在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．
故选C．
练1-2.【解析】将直线代入椭圆消去得，
因为直线与椭圆有两个公共点，则有解得，
由表示椭圆知，
综上满足条件的的取值范围是．
故答案为：．
例2.【解析】由椭圆离心率为，可得，则，
则椭圆：，，，，
易得：，：，
可解得与的交点，
故直线垂直平分，即，，
又
，
所以的周长．
练2-1.【解析】由题知，椭圆上顶点的坐标为，左右顶点的坐标分别为、，
，即，则，
又，，所以椭圆的离心率；
设，，联立得：，
，，，
，
解得，，满足，，
椭圆的方程为．
练2-2.【解析】因为椭圆 的离心率为，上顶点为，
所以，，即，
因为，解得，所以椭圆的方程为；
根据题意，设直线，设，，
则，整理得，
，即，，，
，
即，解得：或舍去，
．
例3.【解析】Ⅰ由题意：，即，
短轴一个端点到右焦点的距离为，即，
而，所以，，所以椭圆的方程：；
Ⅱ由Ⅰ，左焦点，直线的方程：，
设，，
联立直线与椭圆的方程，消去整理得：，所以，，
．
练3-1.【解析】椭圆的方程可化为，．
又直线的斜率为，直线的方程为．
由得．
设，，则，，
．
故选B．
练3-2.【解析】Ⅰ依题意，得
故椭圆方程为：．
Ⅱ设点，，点的坐标为，
当直线与轴重合时，线段的中点就是原点，不合题意，舍去
设直线
联立消去，得，
则，，
，
点的坐标为，
若，则点的坐标为，
由点在曲线上，得，即，
舍去 ，
．
例4.【解析】因为为直角三角形，所以，从而．
当直线垂直于轴时，，所以椭圆经过点，所以．
所以，，
故椭圆的标准方程为
设直线的方程为，，，
联立方程组得，则，．
因为，所以
因为，，
所以．
练3-3.【解析】设直线与椭圆相交于，两点，直线的斜率，
，．由得，
故选C．
练3-4.【解析】证明：由题意，，
即：，可得；
得证．
由可得方程为，即，
点在椭圆内部，，．
设直线与椭圆的交点，，可得；；
由得：；
为线段的中点，，
由点斜式可得直线的方程为即．
联立，把直线方程代入椭圆方程得：，
即：．，
又，而，
，
即将代入，解得符合题意．．
椭圆方程为．
【素养提升】
例5.【解析】由上顶点到的距离为，可得，
又，故，从而．
椭圆的标准方程为；
上顶点，当时，由椭圆的对称性，成立；
当时，设直线：，联立，得．
则，即，
设，，则，，
故线段的中点为，
从而直线的斜率，
由，得，即，即，故．
由，可得，
整理得，解得，且．
综上所述，的取值范围是
练4-1.【解析】设点、的坐标为，，
则的中点在线段上，
且，直线的方程为：，则，
又，，两式相减得，
易知，，所以，则．
设方程为，代入，消去并整理得．
由解得，
因为的中点在线段不含端点上，所以，所以，
由韦达定理得，，
故
，
所以的取值范围是．
故选A．
练4-2.【解析】设点的坐标为，
，．整理得，；
由题意知直线的斜率存在，设的方程为．
联立，得．由，解得．
设，，且点在点上方，则．
．
令，所以．
则．
当且仅当，即时，等号成立．
所以．
例6.【解析】设在椭圆上，则，又，
所以，，
所以，即．
设直线，直线与椭圆联立，得，
设，，故．
，与交于，则，
同理可得，．
则
．．,
等号在时取到．
练4-3.【解析】圆，圆心，半径，
如图，不妨设，由对称性可知，
则，
由切线性质得，，，
故，
设点，则，得，点，
，
又，当时，取得最大值，，的最小值为．
故选D．
练4-4.【解析】由题意可知直线的方程为：，即，
当时，解得，所以，椭圆：过点，
可得，解得，所以的方程：．
设与直线平行的直线方程为：，
当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值．
将与椭圆方程：联立，化简可得：，
所以，即，解得，
与距离比较远的直线方程为：，
利用平行线之间的距离为：，
又，，所以．
所以的面积的最大值：．
【易错点归纳】
例7.【解析】设椭圆的方程为，则，，所以，故椭圆方程为设直线的方程为，代入椭圆方程并整理得．
由，得，解得，．
所以直线的方程为，即或．
故答案为：或．
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