（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题12.1随机事件的概率及其计算

12.1 随机事件的概率及其计算
课标要求 考情分析 核心素养
1.随机事件与概率
①结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义, 能结合实例进行随机事件的并、交运算.
②结合具体实例, 理解古典概型, 能计算古典概型中简单随机事件的概率.
③通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.
④结合实例,会用频率估计概率. 2.随机事件的独立性
结合有限样本空间, 了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型, 利用独立性计算概率. 新高考3年考题 题 号 考 点 数据分析 数学运算 逻辑推理
2022(Ⅱ)卷 19（2） 互斥事件、对立事件的概率
2021(Ⅰ)卷 8 独立事件
2020(Ⅰ)卷 19（1） 频率估计概率
2020(Ⅱ)卷 5 积事件的概率
1．随机事件的概率
⑴ 有限样本空间
随机试验的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验的样本空间.一般地,我们用表示样本空间,用表示样本点.如果一个随机试验有个可能结果 ,则称样本空间为有限样本空间.
⑵ 随机事件
一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生.
⑶ 事件间的关系和运算
名称 定义 符号表示
包含关系 如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件 (或称事件包含于事件) (或)
相等关系 如果事件包含事件，事件包含事件，即且则称事件与事件相等
并事件 (和事件) 若事件与事件至少有一个发生，事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件) (或)
交事件 (积事件) 若事件和事件同时发生，这样的一个事件的样本点既在事件中，又在事件中，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件) (或)
互斥事件 若事件与事件不能同时发生，也就是说为不可能事件，即，则称事件与事件互斥（或互不相容）
对立事件 若事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记为 ，
2.频率与概率
⑴ 频率的稳定性
大量试验表明, 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此, 我们可以用频率估计概率.
⑵频率与概率的关系
①区分:频率是利用频数除以总试验次数所得到的确定的数值，而概率是频率的稳定性，因此频率是一个精确值，而概率是一个估计值，根据这两点来区分频率与概率，从而判断所给的数值是频率还是概率.
②联系: 随机事件的频率, 指此事件发生的次数与试验总次数的比值, 它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多, 这种摆动幅度越来越小.我们给这个常数取一个名字, 叫作这个随机事件的概率.概率可看作频率在理论的期望值, 它从数值上反映了随机事件发生的期望值, 它从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.
3．古典概型
⑴古典概型及其特点
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
具有以上两个体征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概型.
⑵古典概型的概率公式
一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,
则定义事件的概率,
其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
4．概率的基本性质
⑴概率的取值范围：；
⑵必然事件的概率为；不可能事件的概率为，即；
⑶如果事件与事件互斥，那么；
推广：如果事件两两互斥，那么事件；
⑷若事件与事件互为对立事件，那么；
⑸如果，那么.
5.事件的相互独立性
事件与事件 相互独立 对任意的两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立
性质 ⑴若事件与事件相互独立，则与，与，与也都相互独立； ⑵若事件与事件相互独立，，
从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件所含的结果组成的集合的补集.
1．【P250 T4】年月，教育部出台关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见简称“强基计划”，明确从年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为( )
A. B. C. D.
2．【P244 T10】抛掷两枚质地均匀的骰子标记为号和号，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，
写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
求下列事件的概率：“两个点数之和是”；“两个点数相等”；“号骰子的点数大于号骰子的点数”．
考点一　求随机事件的频率与概率
【方法储备】　
随机事件的频率与概率问题的常见类型及解题策略:
(1)补全或列出频率分布表：可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率.
(2)由频率估计概率：可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率.
(3)由频率估计某部分的数值：可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值.
【典例精讲】
例1.(2021·吉林省长春市期末) 某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况，随机调查名用户，根据这名用户对该电讯企业的评分，绘制频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组为，，，．
估计该地区用户对电讯企业评分不低于分的概率，并估计对该电讯企业评分的中位数；
现从评分在的调查用户中随机抽取人，求人评分都在的概率精确到．
【名师点睛】　
概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律, 与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说, 单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性,才是概率意义下的“可能性”,事件A的概率是事件A的本质属性.
【靶向训练】
练1-1 (2022·安徽省蚌埠市模拟.多选) 下列命题正确的是( )
A. 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B. 抛掷骰子次，得点数是的结果是次，则出现点的频率是
C. 有一批产品，其次品率为，若从中任取件产品，则一定有件正品，件次品
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是
练1-2 (2021·安徽省合肥市模拟) 某海产品经销商调查发现，该海产品每售出可获利万元，每积压则亏损万元根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．
请依据频率分布直方图估计年需求量不低于的概率，并估计年需求量的平均数；
今年该经销商欲进货，以单位：，表示今年的年需求量，以单位：万元表示今年销售的利润，试将表示为的函数解析式；并求今年的年利润不少于万元的概率．
考点二　互斥事件、对立事件的概率
【方法储备】
1.求简单的互斥事件、对立事件的概率的方法
解此类问题,首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出所给的两个事件是互斥事件还是对立事件,再选择相应的概率公式进行计算.
2.求复杂的互斥事件概率的两种方法
⑴直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.
⑵间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法会较简便.
【典例精讲】
例2.(2022·山东省枣庄市模拟.多选) 一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球标号为和，个绿色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球中有红球”，则( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥, 然后求出各事件发生的概率,再求和(或差).
【靶向训练】
练2-1 (2021·黑龙江省哈尔滨市模拟) 把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件：“甲分得语文书”，事件：“乙分得数学书”，事件：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是( )
A. 与是不可能事件 B. 是必然事件
C. 与不是互斥事件 D. 与既是互斥事件也是对立事件
练2-2 (2022·湖北省武汉市期中) 根据某省的高考改革方案，考生应在门理科学科物理、化学、生物和门文科学科历史、政治、地理的门学科中选择门学科参加考试根据以往统计资料，位同学选择生物的概率为，考生选择各门学科是相互独立的．
若位同学选择物理但不选择生物的概率为，求位考生至少选择生物、物理两门学科中的门的概率；
某校高二段名学生中，选择生物但不选择物理的人数为，用频率估计概率．求位考生同时选择生物、物理两门学科的概率．
考点三　古典概型
【方法储备】
1.确定基本事件数的方法
（1）列举法：适用于包含基本事件数较少的古典概型问题，解题时按照某一标准将所有的基本事件一一列举出来，做到不重不漏；
（2）列表法（坐标法）：适用于从多个元素中选定2个元素的试验；
（3）树状图：使用与有顺序的问题或复杂问题中对基本事件的探求；
（4）排列组合法：适用于基本事件数较多，且可以用排列组合数表示的问题.
2.古典概型的概率求解步骤
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深对题意的理解；
（2）判断本试验的结果中，每个样本点发生是否等可能，设出事件A；
（3）分别求出事件和样本空间包含的样本点个数，代入公式求解.
【典例精讲】
例3.(2022·浙江省沈阳市期末) 年某地爆发了新冠疫情，检疫人员为某高风险小区居民进行检测．
假设，，，，，，，，，这人的检测标本中有份呈阳性，且这人中恰有人感染，请设计一种最多只需做次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；
已知，，，，这人是密切接触者，要将这人分成两组，一组人，另一组人，分派到两个酒店隔离，求，两人在同一组的概率．
【名师点睛】
1.注意古典概型中的抽取时是“放回”抽取还是“不放回”抽取；
2.较为复杂的概率问题的处理方法:一是转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式进行求解;二是采用间接法,先求事件的对立事件的概率,再由求事件A的概率.
【靶向训练】
练3-1 (2021·广东省佛山市期中) 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中、，若，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
练3-2 (2022·湖北省孝感市月考) “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉博的热门，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图
根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；
宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的人中选人参加一个座谈会现从参加座谈会的人中随机抽取两人发言，求小组中至少有人发言的概率？
考点四　相互独立事件及其概率
【方法储备】
独立事件的概率的求法
⑴直接法：确定各事件是相互独立的，利用概率的乘法公式直接求解；
⑵间接法：确定各事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件三种问题中的某一种；利用基本事件间的关系，将复杂事件用简单事件表示，综合运用公式求出结论.
【典例精讲】
例4.(2022·广东省潮州市期末) 甲、乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出人，排定，，号第一局，双方号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛当某队名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜如下表格中，第行、第列的数据是甲队第号队员能战胜乙队第号队员的概率．
求甲队号队员把乙队名队员都淘汰的概率；
比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？
【名师点睛】
相互独立事件的概率是高考考查的一个重点, 是解决复杂问题的基础, 一般情况下, 一些较为复杂的事件可以拆分为一些相对简单事件的和或积, 这样就可以利用概率公式转化为互斥事件和独立事件的组合, 为解决问题找到新的途径.
【靶向训练】
练4-1 (2022·江苏省南京市模拟) 随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升．某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则( )
A. 与为对立事件 B. 与互斥
C. 与相互独立 D. 与相互独立
练4-2 (2022·安徽省淮北市模拟)如图，点、、是周长为圆形导轨上的三个等分点，在点处放一颗珠子，规定：珠子只能沿导轨顺时针滚动现投掷一枚质地均匀的骰子，当掷出的点数是的倍数时，珠子滚，当掷出的点数不是的倍数时，珠子滚动，反复操作．
1求珠子在点停留时恰好滚动一周的概率
2求珠子第一次在点停留时恰好滚动两周的概率．
易错点1．使用概率加法公式没有注意成立条件
例5.(2022·江苏省无锡市期末) 某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为( )
A. B. C. D.
易错点2. 运用古典概型概率公式解题时计数出错
例6.(2021·安徽省蚌埠市月考) 一个盒中装有编号分别为，，，的四个形状大小完全相同的小球．
从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于的概率．
从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求的概率．
答案解析
【教材改编】
1．【解析】甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，，，
则三人中恰有两人通过的概率为：
．
故选：．
2．【解析】抛掷一枚骰子有种等可能的结果，号骰子的每一个结果都可与号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果用数字表示号骰子出现的点数是，数字表示号骰子出现的点数是，则数组表示这个试验的一个样本点因此该试验的样本空间，其中共有个样本点．
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
因为，所以，从而；
因为，所以，从而；
因为，
所以，从而；
【考点探究】
例1.【解析】该地区用户对电讯企业评分的频率分布表：
评分
频率
因此评分不低于分的概率为，
对该电讯企业评分的中位数设为，则；
受调查用户评分在的有人，若编号依次为，，，从中选人的事件有共有种．
受调查用户评分在的有人，若编号依次为，，，，从中选人的事件，同理可求有种，
因此人评分都在的概率．
练1-1.【解析】对于：随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确；
对于：抛掷骰子次，得点数是的结果是次，则出现点的频率是，故B正确；
对于：有一批产品，其次品率为，若从中任取件产品，则不一定抽取到件正品和件次品，故C错误；
对于：抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的频率是，故D错误；
故答案选：．
练1-2.【解答】由题意可知，上的频率为：
，
上的频率为，所以估计年需求量不低于的概率为，
设年需求量的平均数为，
则；
设今年的年需求量为吨，今年的年利润为万元，
当时，，
当时，，
故
设，解得，
所以，
，
，
则，
所以今年的年利润不少于万元的概率为．
例2.【解析】因为袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球，个绿色球，
从袋中不放回地依次随机摸出个球，
设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”，
“两次都摸到绿球”，“两个球中有红球”，
所以，，，
而与是对立事件，因此，
所以，故A正确
，故B不正确
，故C不正确．
又因为与是互斥事件，所以，故D正确．
故选AD．
练2-1.【解析】事件：“甲分得语文书”，事件：“乙分得数学书”，事件：“丙分得英语书”，
和都是随机事件，不是必然事件，故选项A和选项B都错；
因为甲分得语文书的同时乙可以分得数学书，
故A与不是互斥事件，同理和不是互斥事件，故C对，错．
故选C．
练2-2.【解析】设事件表示“考生选择生物学科”，事件表示“考生选择物理但不选择生物学科”，
事件表示“考生至少选择生物、物理两门学科中的门学科”，
则，，，，
位考生至少选择生物，物理两门学科中的门的概率：
．
设事件表示“选择生物但不选择物理”，事件表示“同时选择生物、物理两门学科”，
某校高二名学生中，选择生物但不选择物理的人数为，
，
，
位考生同时选择生物、物理两门学科的概率：
．
例3.【解析】第一步，将人的样本随机份作为一组，剩余份作为另一组，
任取一组，若呈阳性，则该组记为Ⅰ组，若呈阴性，则另一组记为Ⅰ组，
第二步，将Ⅰ组的样本随机分为两组，人一组记为Ⅱ组，人一组记为Ⅲ组，
第三步，对Ⅱ组样本进行检测，若呈阳性，再任取这人中的人的样本对其进行检测，
即可得知患病人员，因此，共检测次；
若呈阴性，则阳性样本必在Ⅲ组内，再逐一检测，次即可得知患病人员，因此，共检测次，
对Ⅲ组样本进行检测，若呈阳性，再逐一检测，次即可得知患病人员，因此共检测次；
若呈阴性，则从Ⅱ组组样本中任取一人的样本进行检测，即可得知患病人员，因此共检测次；
综上所述，最多只需作次检测．
将，，，，按要求分成两组，
，
，
，
共有种情况，
其中，两人在同一组的共有种，
所以，两人在同一组的概率为．
练3-1.【解析】由题意知此题是一个古典概型，
依题意得基本事件的总数共有种，
其中满足的有如下情形：
①若，则，；若，则，，；
②若，则，，；若，则，，；
③若，则，，；若，则，， 总共种，
他们“心有灵犀”的概率为．故选D．
练3-2.【解析】设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，则
，
设抽查人员利用“学习强国”的中位数为，
由，解得，
即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为；
组的人数为人，设抽取的人数为，
组的人数为人，设抽取的人数为，
则，解得，，
所以在和两组中分别抽取人和人，
再抽取人，两组分别抽取人和人，
将组中被抽取的工作人员标记为，，，
将组中的标记为，，
设事件表示从小组中至少抽取人，
则抽取的所有情况如下：
共种情况，
其中在中至少抽取人有种，则
例4.【解析】甲队号队员把乙队名队员都淘汰的概率为．
第局比赛甲队队员获胜可分为个互斥事件，
甲队号胜乙队号，概率为，
甲队号胜乙队号，概率为，
甲队号胜乙队号，概率为，
所以第局甲队队员获胜的概率为，
所以第局乙队队员获胜的概率为，
因为，
故甲队队员获胜的概率更大一些．
练4-1.【解析】依题意甲、乙两人所选课程有如下情形：①有门相同，②门都相同，③门都不相同，
与互斥不对立，与不互斥，故A，B错误；
，，，
，，
，，
与相互独立，与不相互独立，故C正确，D错误．
故本题选C．
练4-2 .【解析】设掷出是的倍数为事件，掷出不是的倍数记为事件，则，
珠子恰好转一周回到点包含的事件为，，且这三种情况互斥，
故所求概率为
珠子滚两周回到点，则必须经历以下三个步骤：
①至此时概率为；
②至掷出的必须是的倍数，此时的概率为；
③至概率与相同．
又以上三个步骤相互独立，故所求概率为．
【易错点归纳】
例5.【解析】设表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，
由题意，，
甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：
．
故选：．
例6.【解析】从盒中任取两球的基本事件有：，，，，，六种情况．
而编号之和大于的事件有，两种情况，
故编号之和大于的概率为．
有放回的连续两次取球的所有情况有：，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件，
而的包含，，，，，，共个基本事件，
所以的概率为．
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