（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题 1.3全称量词与存在量词

1.3 全称量词与存在量词
课标要求 考情分析 核心素养
1.理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定； 2.能够对全称量词命题和存在量词命题的真假进行判断． 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查 数学抽象 数学运算 逻辑推理
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“ ”表示，含有全称量词的命题叫做全称量词命题.
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“ ”表示，含有存在量词的命题叫做存在量词命题.
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.
（2）含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
3．常见的否定形式
原语句 是 都是 至少有一个 至多有一个 对任意使真 或 且
否定形式 不是 不都是 一个也没有 至少有两个 存在使假 非且非 非或非
1．一个全称量词命题可以包含多个变量，如，在全称量词命题中，有些量词可以省略．
2．一个存在量词命题可以包含多个变量,如，有些存在量词命题的存在量词是省略的．
3．含有一个量词的命题的否定规律是“先改量词，后否结论”．
4．注意命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；
5．注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．
1.【P28 T2】命题：，是 填“全称量词命题”或“存在量词命题”，它是 命题．填“真”或“假”
2.【P35 T6】用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
（1）实数都能写成小数形式．
（2）有的有理数没有倒数．
（3）不论取什么实数，方程必有实根．
（4）存在一个实数，使．
考点一　全称量词与存在量词
【方法储备】
1.判断一个语句是全称量词命题还是特称量词命题的步骤:
2. 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命题 真 限定的集合中的每一个元素，证明成立 否定为假
假 举出集合中的一个特殊值，使不成立 否定为真
存在量词命题 真 在限定的集合中，找到一个，使成立 否定为假
假 限定的集合中的每一个元素，证明不成立 否定为真
【典例精讲】
例1.(2021·湖南模拟)已知，函数若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是
A.， B.， C.， D.，
【名师点睛】
本题考查二次函数的最值问题，全称量词命题和存在量词命题真假的判断，注意对符号 和 的区分和理解.
【靶向训练】
练1-1(2021·云南省模拟.多选)下列存在量词命题是真命题的有
A.存在,使 B.存在，使得
C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数
练1-2(2022·福建省泉州市模拟.多选)下列四个命题中是真命题的有
A.任意, B.存在,
C.任意, D.存在,
考点二　含有量词的命题的否定
【方法储备】
1.全称(存在)量词命题的否定是存在（全称）量词命题;
2.全称(存在)量词命题否定是改变其量词,否定其结论,对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定；
3. 全称(存在)量词命题与该命题的否定的真假性相反．
4.全称命题与特称命题的否定方法：
【典例精讲】
例2.(2022·江西省南昌市期中)命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
【名师点睛】
掌握此类命题的否定的规则是解答的关键, 全称量词命题的否定是一个存在量词命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．
【靶向训练】
练2-1(2022·江苏省泰州市模拟)命题“，”的否定为________．
练2-2(2022·湖北省武汉市模拟.多选)下列说法中正确的有
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“”的否定“”
C.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是
D.设，则“”的充要条件是“都不为”
考点三　结合命题真假求参数的取值范围
【方法储备】
1.结合命题真假求参数的取值范围问题解题策略：
【典例精讲】
例3.(2022·江西省模拟)若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【名师点睛】
解决已知全称量词(存在量词)命题为真(假)命题求参数取值范围问题,关键是理解全称量词(存在量词)命题的含义后进行转化,本题中存在量词为假命题,则全称量词命题为真,即问题转化为，恒成立,根据“对勾函数”的性质求解.
【靶向训练】
练3-1(2022·山东省模拟)已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围是　　
A. B. C. D.
练3-2(2022·河北省保定市期末)设，．
Ⅰ若命题“，”是真命题，求的取值范围；
Ⅱ若是的充分不必要条件，求的取值范围．
核心素养系列 逻辑推理——恒成立与存在性问题
【方法储备】
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。其关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决“任意性或存在性”问题关键在于将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域（或最值）之间的关系．通过此类问题的研究有助于提升学生的逻辑推理素养和形成良好的数学思维品质．
常见转化题型：
1.恒成立问题的转化：; ;
2.存在性问题的转化：使得; 使得;
3.设函数, ,对, ,使得,则;
4.设函数, ,对, ,使得,则 ;
5.设函数, ,, ,使得,则;
6.设函数, ,, ,使得,则 .
【典例精讲】
例4.( 2022.湖北省模拟)设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，
使得不等式成立．
若为真命题，求实数的取值范围；
若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
【名师点睛】
当题中含有“任意”“存在”时，“存在”需构造，“任意”需严格论证，本题考查命题真假的判定，恒成立问题的应用，不等式组的解，及学生的运算能力和数学思维能力.
【靶向训练】
练4-1(2022·安徽省合肥市模拟)已知关于的不等式的解集为或．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
练4-2(2022·浙江省宁波市期末)已知函数．
Ⅰ证明：函数在上为增函数
Ⅱ若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
易错点1．对量词否定不完全
例5.(2022·江西省模拟)命题“，都有”的否定是( )
A. ，都有
B. ，使得
C. ，使得
D. ，使得
答案解析
【教材改编】
1.【解析】命题中含有量词“”，故为存在量词命题．
又，故方程无实根，即命题为假命题．
故答案为存在量词命题；假．
2.【解析】，都能写成小数形式此命题是真命题．
，没有倒数有理数没有倒数，故此命题是真命题．
，方程必有实根当时，方程无实根，是假命题．
，使恒成立，所以为假命题．
【考点探究】
例1.【解析】 满足关于的方程 ，，
,函数在处取到最小值是，
等价于,,所以命题正确，C错误．
使得，故命题A正确；
故选：．
练1-1.【解析】 存在 ,使 成立,故A正确；
B.对应方程 ,,方程无解,故B错误；
C.素数是偶数，故C正确；
D.有理数没有倒数,故D正确；
故选ACD．
练1-2.【解析】,恒成立,是真命题
又，是假命题
由，知是假命题
取时，，
但，则为真命题．
故选：．
例2.【解析】 命题“ ,”是一个全称量词命题．
其否定命题为:,，
故选．
练2-1.【解析】原命题是存在量词命题，则原命题的否定是全称量词命题，
即，．
故答案为，．
练2-2.【解析】对于,例如, 满足,但,所以A错误
对于,存在量词命题的否定为全称量词命题，所以B正确
对于,若命题“，”是真命题，则实数，所以C正确
对于,设，，则“”的充要条件是“，都不为”,所以D正确．
故选BCD．
例3.【解析】若“ ，使得成立”是假命题，
即“，使得成立”是假命题，故，恒成立，
令，，根据对勾函数的性质知：在递增，所以，，
故选：．
练3-1.【解析】 “ ”为真命题， 则时， ，
根据对勾函数单调性可知，当 时，取得最大值.所以.故选：．
练3-2. 【解析】因为，由可得
因为“，”为真命题，
所以，即解得，即的取值范围是
Ⅱ，，
因为是的充分不必要条件，所以，，所以解得，
经验证符合，，即的取值范围是
【素养提升】
例4.【解析】命题：对任意，不等式恒成立，即．
，当 时，取到最小值，
，，所以为真命题时，实数的取值范围是．
由可知，为真命题时，实数的取值范围是．
命题：存在，使得不等式成立，
只需，而，
所以当时，取到最大值为，，
即命题为真命题时，实数的取值范围是，
依题意命题，一真一假，
若为假命题，为真命题，则，得；
若为假命题，为真命题，则，得，
综上所述，实数的取值范围为．
练4-1.【解析】Ⅰ解一：因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个实数根且，所以，解得，
解二：因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个实数根且，
由是的根，有，
将代入，得或，
所以
Ⅱ由Ⅰ知，于是有，故，
当且仅当时，等号成立，依题意有，即，
得，所以的取值范围为．
练4-2.【解析】Ⅰ设，且，
则，
所以，所以，即，所以函数在上单调递增．
Ⅱ由题意，恒成立，
令，，且，
则，
由Ⅰ得，又，，
所以，即，所以是上的增函数，
则，所以．
【易错点归纳】
例5.【解析】命题“，都有”的否定是：，
使得，
故选D．
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