（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题 2.3基本不等式

2.3 基本不等式
课标要求 考情分析 核心素养
1.了解基本不等式的证明过程; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 逻辑推理
2022(Ⅰ)卷 8 利用基本不等式求最值，球的切接问题，棱锥的体积
2022(Ⅱ)卷 12 利用基本不等式求最值
2021(Ⅰ)卷 5 利用基本不等式求最值，椭圆的标准方程
2020(Ⅱ)卷 12 利用基本不等式求最值
1.基本不等式:
（1）基本不等式成立的条件：.
（2）等号成立的条件：当且仅当时等号成立.
2.几个重要的不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
以上不等号成立的条件均为.
3.算术平均数与几何平均数
设，则的算术平均数为，几何平均数为，
基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知，则
（1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值（简记：积定和最小）
（2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值（简记：和定积最大）
1..
2.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二证，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
3.在利用不等式求最值时，尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，则一定要保证等号成立的一致性.
4.利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
1.【P48 T1】若，则的最小值等于
A. B. C. D.
2.【P47 T4】如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点已知米，米，设的长为米
Ⅰ要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？
Ⅱ求当，的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值.
考点一　利用基本不等式求最值
【方法储备】
1.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有三种思路：
2.利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
（1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
（2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
3.常数代换法求最值的步骤
【特别提醒】利用两次或多次基本不等式求最值时,一定要确保各次使用基本不等式时等号能同时成立,否则所求得的值不是最值.
角度1 配凑法求最值
【典例精讲】
例1.(2022·湖北省联考)已知，且，则的最小值是
A. B. C. D.
【名师点睛】
配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键,利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
【靶向训练】
练1-1(2022·福建省期末)已知，则的最小值为
A. B. C. D.
练1-2(2022·河北省四校联考.多选)已知，则
A. 的最小值为 B. “”是“”的必要不充分条件
C. 的最小值为 D. “”是“”的充分不必要条件
角度2 常数代换法求最值
【典例精讲】
例2.(2022·湖北省期末)已知正数，满足：，则的最小值为
A. B. C. D.
例3.(2022·吉林省期末)设，，若，则的最小值为 ．
【名师点睛】
常数代换法主要解决形如“已知(为常数),求的最值”的问题,通常先将转化为
,再利用基本不等式求解.
【靶向训练】
练1-3(2022·湖北省孝感市期末)设与均为正数，且，则的最小值为 ．
练1-4(2022·广东省湛江市期末.多选)下列结论正确的是
A. 当时， B. 当时，的最小值是
C. 当时，的最小值是 D. 若，，且，则的最小值是
角度3 消元法求最值
【典例精讲】
例4.( 2022·江苏省期中)已知，，满足，则的最小值是
【名师点睛】
当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数或积为常数”,最后利用基本不等式求最值.
【靶向训练】
练1-5(2022·江苏省扬州市期末)已知正实数，满足，则的最小值为 ．
练1-6(2022·江苏省无锡市期末.多选)已知，，，则下列选项中正确的是
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
考点二　利用基本不等式解决实际问题
【方法储备】
利用基本不等式解决实际应用题的基本思路:
【典例精讲】
例5.(2022·湖南省期末)物联网是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境家庭、办公、工厂等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费单位：万元，仓库到车站的距离单位：千米，，其中与成反比，每月库存货物费单位：万元与成正比；若在距离车站千米处建仓库，则和分别为万元和万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？
【名师点睛】
利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
【靶向训练】
练2-1(2022·黑龙江省期末)某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产,以提高整体效益.通过市场分析,每月需投入固定成本元,每月生产台该设备另需投入成本元,且，若每台设备售价元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完．
Ⅰ求厂商由该设备所获的月利润关于月产量台的函数关系式；利润销售额成本
Ⅱ当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润．
练2-2(2022·广东省揭阳市期末)习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到年中国的汽车总销量将达到万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台元,第一年每台设备的维修保养费用为元,以后每年增加元,每台充电桩每年可给公司收益元．
每台充电桩第几年开始获利？
每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．
核心素养系列 数学运算、逻辑推理—利用基本不等式解决恒成立或有解问题
【方法储备】
恒成立问题:若在区间上存在最小值，则不等式在区间上恒成立
存在性问题:①若在区间上存在最大值，则在区间上存在使成立
②若在区间上存在最小值，则在区间上存在使成立
【典例精讲】
例6.( 2022·江苏省扬州市模拟)已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
【名师点睛】
分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或某个函数的最值问题。
【靶向训练】
练3-1(2022·北京市模拟)已知不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为
A. B. C. D.
练3-2(2022·河南省平顶山市模拟)已知关于的不等式的解集为或．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
易错点1．忽略基本不等式取等条件
例7.(2022·广东省模拟.多选)列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 函数的最小值是
答案解析
【教材改编】
1.【解析】由,得， ，
当且仅当,即 时,等号成立．
故选B．
2.【解析】设的长为米，
是矩形，且米，米，，,
，
Ⅰ由,得,,,或,
长的取值范围是，
Ⅱ令,令,则，
,当且仅当，即时取等号．
此时,最小面积为平方米．
【考点探究】
例1.【解析】因为,所以，
因为,所以 ,所以,即,当且仅当 时,等号成立，
故的最小值是．
练1-1.【解析】,则，
当且仅当,即时,等号成立，
则的最小值为 ．
故选A．
练1-2.【解析】，
当且仅当,即 时,等号成立,但,则,所以选项A错误．
若,则由,得,所以,则．
反之,由不能推出,故选项B正确．
因为，
所以，
当且仅当,时,等号成立，故的最小值为,选项C正确．
当,时,且,但，
当,时,且,但 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件,所以选项D错误．
故选BC．
例2.【解析】因为，
所以，
当且仅当时取等号，此时 取得最小值．
故选：．
例3.【解析】因为,,，
则，
当且仅当且,即,时取等号，
故答案为：．
练1-3.【解析】根据题意,与均为正数,且，
所以
，
当且仅当,即时,等号成立，所以的最小值为，
故答案为．
练1-4.【解析】对于选项A,当 时,,可得,
当且仅当时取等号,结论成立,故A正确；
对于选项B,当时,,,
可得，
当且仅当时取等号，
但,等号取不到，因此的最小值不是,故B错误；
对于选项C,因为,所以，
则，
当且仅当时取等号,故 没有最小值,故C错误；
对于选项D,因为,,且，
则，
当且仅当,即时,等号成立,故D正确．
故选：．
例4.【解析】由,得,
所以．
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
练1-5.【解析】正实数,满足 ，
,,，
令，
则，当且仅当时取“”，
故答案为．
练1-6.【解析】由,,,得,所以,，
根据,得,所以,
所以，故选项A错误；
,当且仅当,即时等号成立，
所以的最大值为,故选项B正确；
因为,所以，
当且仅当,即时等号成立,故选项C正确；
由,得,即,
所以,
当且仅当,即,时等号成立,这与矛盾,故D错误．
故选：．
例5.【解析】设，，其中，
当时，，，解得，，所以，，
设两项费用之和为单位：万元
则，
当且仅当，即时，“”成立，
所以这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元．
练2-1.【解析】Ⅰ当时,
；
当时，，
所以；
Ⅱ当时，，
所以当时，取得最大值；
当时，．
当且仅当，即时取等号，
综上所述，当月产量为台时，制造商由该设备所获得的月利润最大为元．
练2-2. 【解析】每年的维修保养费用是以为首项，为公差的等差数列，
设第年时累计利润为，则
，
开始获利即，，
即，解得，所以公司从第年开始获利；
每台充电桩年平均利润为
，
当且仅当，即时，等号成立．
即在第年时每台充电桩年平均利润最大元．
【易错点归纳】
例7.【解析】对于，取，，，此时，故A错误；
对于，因为，所以，
，故B正确；
对于，因为，所以，，所以,故C正确；
对于，因为，
当且仅当取等号，而显然不成立，即上式不等式无法取等，故D错误；
故选BC．
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