（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题2.1不等式的性质

2.1 不等式的性质
课标要求 考情分析 核心素养
1.不等式的概念与性质； 2.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 新高考3年考题 题 号 考 点 数学抽象 数学运算 逻辑推理
2022(Ⅰ)卷 7 利用导数比大小
2021(Ⅱ)卷 7 利用对数比大小
1.两个实数比大小的方法
（1）作差法;（2）作商法
2.不等式的基本性质
性质 性质内容 注意
对称性 可逆
传递性 同向
可加性 可逆
可乘性 的符号
同向可加性 同向
同向同正可乘性 同向，同正
同正可乘方性 同正
同正可开方性 同正
1. 倒数的法则与性质
（1） （2）
（3） （4）
2.有关分数的性质
若,则① ，②.
1.【P43 T8】下列命题为假命题的是
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
2.【P43 T12】随着经济全球化的发展趋势，我国的经济也不断融入世界经济大潮之中．近年来我国的汽油价格也随着世界原油价格的变化而变化．小张买了一部小车，他固定到某加油站加油．他有两种加油的方式可选择，方式一是每次加油的数量固定为升，方式二是每次加油的金额固定为元．
假设小张两次去加油，两次加油的价格分别是元升、元升，试求小张采用第二种方式加油时两次加油的平均价格；
以两次加油为例进行分析，如果从经济的角度考虑，小张应选择哪种加油方式？说明你的理由，并把你的结论做出推广．
考点一　比较两个数(式)的大小
【方法储备】
1.比较数(式)大小的常用方法:
【典例精讲】
例1.(2021·湖北省孝感市模拟)已知实数，，满足，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
例2.(2022·河南上郑州市期中)某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等假设今明两年该物品的价格分别为，，则这两种方案中平均价格比较低的是
A.甲 B.乙 C.甲、乙一样 D.无法确定
【名师点睛】　
熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键.
【靶向训练】
练1-1(2022·安徽省合肥九中模拟)若，，则与的大小关系为
A. B. C. D.随值变化而变化
练1-2(2021·山东省青岛市模拟)若，，则，的大小关系是
A. B. C. D.
考点二　不等式的性质
【方法储备】
1.判断不等式是否成立：
2.求代数式的取值范围注意事项:
角度1利用不等式的性质判断不等式是否成立
【典例精讲】
例3.(2022·山东省聊城市三模.多选)已知实数，满足，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
【名师点睛】
当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较。
【靶向训练】
练2-1(2021·浙江省模拟)下列不等式中
①若，则；②若，则；
③若，则； ④若，则；
其中成立有
A. B. C. D.
练2-2(2021·北京市模拟.多选)下列命题为真命题的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
角度2利用不等式的性质求取值范围
【典例精讲】
例4.(2022·浙江卷)已知，，若对任意，，则
A.， B.， C.， D.，
例5.(2022·武汉市模拟)已知且，则的取值范围是
A. B. C. D.
【名师点睛】
含绝对值的不等式的问题常采取分类讨论和数形结合思想。解决例5的方法称为待定系数法，在上述解题过程中，运用了同向不等式的加法法则。
【靶向训练】
练2-3(2021·浙江省台州市期末)设函数，若存在实数，，满足，使成立，则实数的取值范围为 ．
练2-4(2022·湖北省联考.多选)已知实数，满足，，则
A. B. C. D.
考点三　不等式的应用
【方法储备】
1.可利用不等式解决与函数、方程、数列等有关问题，也可以解决与几何、三角有关的问题。
2.不等式在实际生活中的应用是指用不等式去解决生产、科研和日常生活中的问题。
3.应用不等式解应用问题时,首先要读懂题目,理解题意是关键;其次要把握好量与量之间的关系,建立不等式与函数模型,再讨论不等关系:最后得出问题的结论。
【典例精讲】
例6.(2022·浙江省宁波市期末)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗称为接种率，那么个感染者新的传染人数为已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为
A. B. C. D.
【名师点睛】
解应用题要过四关:首先是阅读关,即读懂题目,能够概括出问题涉及哪些内容;其次是理解关,即能准确理解和把握这些量之间的关系;然后建立数学模型,再讨论不等关系;最后得出结论。
【靶向训练】
练3-1(2022·广东省联考)某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理，该地年产生的生活垃圾为万吨，其中万吨以填埋方式处理，万吨以环保方式处理预计每年生活垃圾的总量比前一年增加万吨同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的倍，若要使得年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的，则的值至少为
A. B. C. D.
练3-2(2022·吉林省模拟)某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中，
方案 第一次提价 第二次提价
甲
乙
丙
经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？
易错点1．忽略等式成立的条件
例7.(2022·福建省泉州市省模拟.多选)设，，为实数，且，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】由不等式的性质，易知 、 C 正确，根据不等式的传递性， B 正确， 项错误．
故选D.
2.【解析】按第二种方式加油时的平均价格是：元升．
假设在两次加油中第一次的价格是元升，第二次的价格是元升．
则按第一种方式加油时，两次加油的平均价格是：
按第二种方式加油时，两次加油的平均价格是．
，
上式当且仅当时等号成立．
所以加油时每次加固定金额的油时，会划算一些
结论推广：当商品价格波动，这种商品又需多次购买时，每次买固定金额的单品时，均价会低．
【考点探究】
例1.【解析】，．
由，整理得，
，，．
故选A．
例2.【解析】甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等．
设甲每年购买的数量；乙每年购买的金额．
因为今明两年该物品的价格分别为， ，
则甲的平均价格，
乙的平均价格，
两式作商可得，
故乙的平均价格比较低，
故选：．
练1-1.【解析】，
故，
故选A．
练1-2.【解析】,，，
若,则,,；
若 ，则 ,, ；
若,则,，
故选A．
例3.【解析】对于,因为,所以,即,故A正确；
对于,因为,所以,,
所以,即,故B错误；
对于,对于指数函数 在上单调递减，
因为,所以,而对于幂函数在上单调递增,
则,所以,故C正确；
对于,因为,所以,故D错误．
故选：．
练2-1.【解析】对于选项若,则;当时，显然不成立．
对于选项若,由于则,;故成立．
若,则:,所以成立；
若,则;成立．
故成立的有，
故选：．
练2-2. 【解析】对于，当时，命题错误，所以A错误；
对于， ，所以B正确；
对于，若 ，则 ，所以 C 错误；
对于若 ，则，
故 ，所以D正确．
故选：．
例4.【解析】由题知，
令,即，
做出函数图象,如图所示：
考虑,一方面,其最小值在时取到，
由图可知，点只能在 上,否则处将有,不合题意，
故,我们可以取来使上的任意成立；
另一方面,当时,当时,必然存在使得,不合题意，
因此,我们可以取来使得这些上的成立．
综上,,故选D.
例5.【解析】设,则可知,解得 ，
所以,，
两式相加可知的范围是 ，
故选．
练2-3.【解析】由题意知，只需 ,,
当 即 时,,则,,所以
当即,若 ,即 ，
时,,,所以
若,即时,,,所以无解
当,即时,,则,,所以无解
综上所述，实数的取值范围为 ．
故答案为：．
练2-4.【解析】因为,,相加得，
所以,A正确
因为,相加得 ,解得,B错误
因为，所以,C正确
因为，所以,D错误．
故选AC．
例6.【解析】为了使个感染者传染人数不超过， 只需,即,所以，
由题意可得,所以，解得 ，
故选：．
练3-1.【解析】由题意可知年的生活垃圾为万吨，
由题意可知年通过环保方式处理的生活垃圾量为 万吨，
， 解得：．
故选：．
练3-2.【解析】设该商品原价为，甲、乙、丙三种方案两次提价后的价格分别为：，，，
则有:,,
显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，
因此，只需比较与的大小，
，
故，
因此，丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．
【易错点归纳】
例7.【解析】对于，因为，所以，所以A正确；
对于，当时，不成立，所以B错误；
对于，因为，函数是上的减函数，所以，所以C正确；
对于，因为，所以，因为是上的增函数，
所以，所以D正确．
故选ACD．
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