（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题2.2一元二次不等式

2.2 一元二次不等式
课标要求 考情分析 核心素养
1.会从实际问题的情境汇总抽象出一元二次不等式模型; 2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系; 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式会求参数. 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查 数学抽象 数学运算 逻辑推理
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式. 一般地，使某个一元二次不等式成立的的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
2.一元二次不等式的解法
（1）可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集。
（2）对含参的不等式，应对参数进行分类讨论:
①根据二次项系数为正、负、零进行分类；
②根据判别式与0的关系判断根的个数；
③当有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论。
3.分式不等式的解法:
（1）;（2）;
4.高次不等式的解法:
一元次不等式可以转化为
（其中）的形式来求解，一般先在数轴上标区间,
,,正值区间为的解集.
1.(1)“恒成立”的充要条件是“且”.
(2)“恒成立”的充要条件是“且”.
2.(1)对于不等式,求解时不要忘记讨论时的情形.
(2)注意区分时,的解集为还是.
1.【P54 T5】已知某炮弹飞行高度单位：与时间单位：之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）
A. B. C. D.
2.【P58 T6】对任意，一元二次不等式都成立，则实数的取值范围为 ．
考点一　一元二次不等式的解法
【方法储备】
1.解一元二次不等式的一般步骤：
【特别提醒】对于含参不等式要注意分类讨论
角度1 解不含参的一元二次不等式
【典例精讲】
例1.(2022·天津市二模)已知命题：，命题：，则命题是命题成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【名师点睛】
　首先解二次不等式求出命题，然后利用充分、必要条件判定即可。
【靶向训练】
练1-1(2022·云南省模拟)不等式的解集为
A. B.或 C. D.或
练1-2(2022·福建省模拟)设全集为，集合，，则
A. B. C. D.
角度2 解含参一元二次不等式
【典例精讲】
例2.(2022·湖南省娄底市期末)若关于的不等式的解集中，恰有个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
例3.(2022·广东省普宁市期中.多选)已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A. B. C. D.
【名师点睛】
解含参一元二次不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，主要依据有四个因素：
①比较根的大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号；④考口方向。
【靶向训练】
练1-3(2022·山西省太原市模拟.多选)已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数,则的值可以是
A. B. C. D.
练1-4(2022·河北省石家庄市模拟)解关于的不等式．
考点二　其他常见不等式的解法
【方法储备】
1.分式不等式与一元二次不等式的关系：
,,
2.高次不等式的解法(穿针引线)：
3.绝对值不等式常见解题思路：
角度1 分式不等式
【典例精讲】
例4.( 2022·广东省阳江市模拟)不等式的解集为 ．
【名师点睛】
解分式不等式的关键是先将给定的不等式移项、通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再等价转化为整式不等式(组)的形式进行求解.
【靶向训练】
练2-1(2022·甘肃省金昌市期末)不等式的解集为
A. B. C. D.，
练2-2(2022·重庆市模拟)解不等式组．
角度2高次不等式
【典例精讲】
例5.( 2022·北京市模拟)关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是
A. B. C. D.
【名师点睛】
解高次不等式首先因式分解，再使用穿根法，注意因式分解后每个因式中的未知数的系数为正。
【靶向训练】
练2-3(2022·桂林市模拟)已知的解集为，关于的不等式的解集为
A., B.， C. D.
练2-4(2022·江苏省期末)已知函数．
求不等式的解集当时，求的最小值及相应的值．
核心素养系列 数学运算、逻辑推理—一元二次不等式的恒成立或有解问题
【方法储备】
对于二次不等式恒成立问题常见有两种类型：1.在全集R上恒成立;2.在某给定区间上恒成立.
恒大于零就是相应的二次函数图像在给定区间上全部在轴上方，恒小于零就是相应的二次函数图像在给定区间上全部在轴下方.
恒成立问题常见解题思路：
有解问题类似处理。
【特别提醒】（1）恒成立问题和有解问题一定要搞清谁是主元；（2）弄明白恒成立问题和有解问题的区别和联系.
【典例精讲】
例6.( 2022·江苏省南京市二模)已知定义在上的奇函数满足，
当时，若对一切恒成立，则实数的最大值为 ．
【名师点睛】
一元二次不等式在指定范围内有解,其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间. 利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范围情况下恒成立问题时,一定要搞清谁是变换后的主元,谁是变换后的参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变换后的主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数.
【靶向训练】
练3-1(2022·湖北省期末)在上定义运算：若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
练3-2(2022·福建省期末)设，若关于的不等式在区间上有解，则
A. B. C. D.
练3-3(2022·天津市模拟)设函数，
解关于的不等式；若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
易错点1．忽略二次项系数为零
例7.(2022·河北省石家庄市模拟)命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 ．
易错点2．分类讨论不当致误
例8.(2022·山东省青岛市模拟)已知不等式的解集为或．
求解不等式．
易错点3．等价转化不当致误
例9.(2022·湖北省武汉市模拟)已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为 ．
易错点4．混淆不等式的恒成立、存在性问题
例10.(2022·湖南省长沙市模拟)已知．
解关于的不等式；
若不等式对于恒成立，求实数的取值范围．
答案解析
【教材改编】
1.【解析】因为炮弹飞行高度单位：与时间单位：之间的函数关系式为，
炮弹飞行高度高于时,,即，
得,炮弹飞行高度高于的时间长为
故选A．
2.【解析】因为关于的一元二次不等式恒成立，
即有,解得． 故实数的取值范围为
【考点探究】
例1.【解析】对于命题不等式成立,解得：，
而命题:;则命题是命题的充分不必要条件．
故选：．
练1-1.【解析】依题意可得,即,解得或，
所以不等式的解集为．
故选B．
练1-2.【解析】根据题意得,，
，所以．
故选A．
例2.【解析】原不等式可化为，当时，无解，不满足题意，所以，
①当时,解得,此时解集中的整数为,,,则，
②当时,解得,此时解集中的整数为,,,则，
故或，
故选：．
例3.【解析】可等价变形为，其中，
一元二次方程的实根为．
当,即时,不等式的解集为,故A正确；
当,即 时,不等式的解集为，故B正确；
当时,即 时,不等式的解集为,故D正确．
故选：．
练1-3.【解析】设,其对称轴为，
所以不等式的个整数解为,,； 所以，
即， 解得， 所以,,．
故选：．
练1-4.【解析】原不等式变形为．
①时，；
②时，不等式即为，当时，或；
由于，于是当时，；
当时，；
当时，．
综上，当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为
例4.【解析】,,，
且,，
故答案为
练2-1.【解析】不等式 且，
即 且．
故选B．
练2-2. 【解析】由可得，，解得，或，
由可得，解得，，
所以不等式组的解集为
例5.【解析】关于的不等式的解集为，
和是方程的个实数根，，，即，，
则关于的不等式 ，即，即，
用穿根法求得它的解集为或或．
故选：．
练2-3.【解析】因为的解集为,所以且，则可得，
等价于且，解得或．
故选：．
练2-4.【解析】，即，
即，不等式的解集为．
当时，令，则，
，，当且仅当，即时，等号成立，
，此时．
【素养提升】
例6.【解析】因为,所以关于对称，
又当时, 故当时,，
若对一切恒成立只需当时,即可，
即 则．
故实数的最大值为
练3-1.【解析】由题意可知,，
原不等式可化为 ． 即对任意实数都成立，
所以对于方程 ，只需，解得．
故选C．
练3-2.【解析】当时，等价于，
设，
则关于的不等式 在区间上有解就等价于，
而当时,,所以在上单调递增，
所以， 所以．
故选：．
练3-3.，化为：．
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或．
对任意的，
由题意得：恒成立，
，，恒成立．
，
的取值范围为．
【易错点归纳】
例7.【解析】由题意可得在上恒成立，
当时，成立；
当时，，解得，不符合题意，故舍去；
解得，
综上所述：故的取值范围为．
例8.【解析】因为不等式的解集为或，
所以与是方程的两个实数根，
由根与系数的关系，得解得．
由，知不等式为，即．
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
所以当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
例9.【解析】，或，即或，解得
故答案为．
例10.【解析】由，
可得，即，那么，
当时，此时无解；
当时，，
所以当时，原不等式解集为；
当时，原不等式的解集为
由，即．
，
对于恒成立，
又，函数的最大值为，此时，，
即，解得；
故得实数的取值范围是．
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