（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题3.1函数的概念及其表示

3.1 函数的概念及其表示
课标要求 考情分析 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上, 用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查 数学抽象 数学运算 直观想象
1.函数的概念
函数
两个集合 设是两个非空实数集
对应关系 如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，则称为从集合到集合的一个函数
2.函数的定义域、值域
(1)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系；
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3．函数的三种表示法
解析法 图象法 列表法
就是把变量之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量的值. 就是将变量的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
4.分段函数
(1)分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数；
(2)定义域：各段函数的定义域的并集；
(3)其值域:各段函数的值域的并集.
1.判断两个函数是否为相同函数：一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同；
2.判断图象是否为函数图象：直线与图象至多有一个交点.
1．【P72 T2】（多选）下列各组函数是同一函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
2．【P72 T5】已知函数．
求的值域；
画出函数的图象；
比较，，的大小．
.
考点一　求函数的定义域
【方法储备】
1.具体函数求定义域的方法：
2.抽象函数的定义域的求法：
【典例精讲】
例1.(2021·江苏省南京市期中) 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
例2.(2022·辽宁省模拟) 若函数的定义域是，则函数的定义域是(　　)

【名师点睛】
求函数定义域注意点：
1.列出全部不等式，求交集；实际问题实际对待；
2.函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达.　
【靶向训练】
练1-1(2021·江苏省南京市月考) 的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
练1-2(2022·江西省宜春市月考)已知函数的定义域是,则实数的取值范围是 .
考点二　求函数的解析式
【方法储备】
函数解析式的常见求法：
【典例精讲】
例3.(2021·山东省青岛市模拟) 已知函数满足，则 .
例4.(2021·安徽省合肥市月考)已知，则的解析式为
【名师点睛】
求函数解析式的易错点：
1.使用换元法时，设,一定要求出的取值范围，即为函数的定义域；
2.考查函数奇偶性的常见题型，定义在上的奇函数，注意.
【靶向训练】
练2-1(2022·安徽省蚌埠市月考)已知为二次函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
练2-2(2022·江苏省无锡市期末)若，则的表达式为（ ）
A. B. C. D.
练2-3(2022·广东省佛山市月考)已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
练2-4. (2022·河南省郑州市月考. 多选) 已知，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C.是偶函数 D.有唯一零点
考点三　分段函数
【方法储备】
1.求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解；
2.当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
3.“分段求解”是处理分段函数问题的基本原则；
4.多使用数形结合，帮助理解.
角度1　求分段函数的函数值
【典例精讲】
例5.(2022·湖北省武汉市联考) 若函数，则 ．
【名师点睛】
求分段函数函数值的解题策略:
1.求函数值：首先要确定自变量的范围，在通过分类讨论求解；
2.已知函数值求参：应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.
【靶向训练】
练3-1(2022·河北省石家庄市联考)已知函数，若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·安徽省蚌埠市月考) 已知，且，函数若，则 ，的解集为 ．
角度2　分段函数与方程、不等式问题
【典例精讲】
例6. (2022·安徽省蚌埠市调研) 函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】　
分段函数与方程、不等式问题的求解思路：依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
【靶向训练】
练3-3 (2022·江苏省无锡市联考)若则满足的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
练3-4(2022·江西省南昌市期末) 已知函数若，则实数 ．
核心素养系列 数学抽象——函数中的数学文化
数学文化渗透到函数中去，宏观上实现文化熏陶，微观上提升了函数部分的学习兴趣.让学生经历案例中具体问题的解决过程,从中充分感受数学家原创性的思考,领悟数学思想方法.以数学文化为载体的试题,其特点是在试题中渗透数学应用,要求学生能够利用所蕴含的数学文化知识分析、解决实际问题,考查考生分析问题、解决问题的能力.
【方法储备】
试题特征:以数学历史中的数学原型问题的解决方法或者研究结论作为条件, 引导学生从原型问题中去提取所需的数学知识、方法,进而解决新问题.旨在考查学生的迁移能力(背景不可省)， 培养学生较强的信息阅读能力、信息辨别能力、信息筛选(提取)能力、信息处理能力和数据计算能力是解决数学文化试题的关键.
【典例精讲】
例7. (2021·江苏省南通市联考. 多选)中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
处理具有数学文化情景的试题时，数学文化与数学知识有机结合，关键是要提炼出题目考查的数学知识，选择适当的方法解决.
【靶向训练】
练4-1(2022·河南省信阳市联考)在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整点．若函数的图象恰好经过个整点，则称函数为阶整点函数．有下列函数：
；；；．
其中是一阶整点函数的是 填序号．
练4-2(2022·安徽省六安市月考) 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数就是“同族函数”下列有四个函数：； ；；；可用来构造同族函数的有 ．
易错点1．求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”
例8. (2022·江西省南昌市联考)已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
易错点2．分段函数问题
例9. (2022·安徽省合肥市月考)设函数则满足的的取值范围是 ．
答案解析
【教材改编】
1. 【解析】．与的定义域相同，值域相同，对应法则相同，故是同一函数，此选项正确；
B.与对应法则不同，此选项错误；
C.与的定义域均为，对应法则也一致均为，故是同一函数，此选项正确；
D.与的对应法则不同，故不是同一函数，此选项错误．
故选AC．
2. 【解析】函数，
则函数的定义域为，
，
所求函数的值域为．
用描点法作出函数图象，如图所示．
由中图象可得，，，
故．
【考点探究】
例1. 【解析】函数有意义，满足，解得，
即，故选:.
例2. 【解析】因为的定义域为，
所以函数需满足
解得，
因此函数的定义域为.
故选:．
练1-1. 【解析】 因为函数的定义域为，
所以，
所以函数的定义域为，
所以，
所以.
所以函数的定义域为.
故选：.
练1-2. 【解析】函数的定义域是，
即对任意，不等式2恒成立，
①若，不等式变为，此式显然成立；
②若，则需，解得：，
不等式恒成立的的范围为．
故答案为．
例3. 【解析】∵，
得,
联立方程组消去得，
∴.
故答案为.
例4.【解析】由，令,所以,
所以,所以,
.
故答案为：．
练2-1. 【解析】由题意设即,即，解得,
所以.故选:.
练2-2. 【解析】设所以所以故选:．
练2-3. 【解析】因为函数是奇函数，为偶函数，且，①
所以，即，②
①-②可得，故，
所以，
①+②可得，故，
所以，
所以,
故选:.
练2-4. 【解析】令,)，可得，
则，可得，
因为定义域不同，故错误；
，故正确；
函数，定义域不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故C错误；
函数，令，解得，故正确.
故选:.
例5. 【解析】当时，由，可得，
两式相加得，则，
当时，，
即时，是周期为的周期函数，
又，
，
故答案为：．
练3-1. 【解析】函数，
设，
由可得，即，即，
，
时，则在上单调递减，
故当时取最小值，且为：，
即的最小值为，
故选：．
练3-2. 【解析】由题可知，，则，即，
解得，故．
当时，，解得当时，恒成立．
故不等式的解集为
故答案为：；
例6. 【解析】当时，只需，解得或
当时，，
解得．
综上可得
故选：．
练3-3. 【解析】
当时，满足不等式，
当时，；
当时，
当时，成立；
当时，；
综上：
故答案选：．
练3-4. 【解析】令，
则当时，，解得；
当时，，解得．
所以当，此时，有，解得，不满足条件；
当，若，则，解得，此时不满足条件；
当，则，解得．
【素养提升】
例7. 【解答】在中，当时，，故A错误；
在中，当时，，故B错误；
在中，任取，总有，故C正确；
在中，任取，总有，故D正确．
故选：．
练4-1. 【解析】对于函数，它只通过一个整点，故它是一阶整点函数；
对于函数，当时，均为整点，故函数通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于，当，，，时，均为整点，故函数通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数，它只通过一个整点，故它是一阶整点函数，
故答案为：．
练4-2(多选). 【解答】由“同族函数”的定义可知函数的定义域关于原点对称，解析式一样，值域相同．
故 ，定义域为，且为单调增函数，不满足条件；
，当定义域关于原点对称时，值域不可能相同，
且在和上为增函数，故不满足条件；
，与，，满足条件；
，关于对称，
所以对和，函数的解析式和值域相同，满足条件．
故答案为．
【易错点归纳】
例8. 【解析】由题意可得：，解得，
所以函数的定义域为．故选A．
例9. 【解析】若，则，
则等价为，即，则，
此时；
当时，，，
当即时，满足，
，
，解得，
当，即时，此时恒成立，
综上．
故答案为．
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