（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题3.2函数的单调性与最值

3.2 函数的单调性与最值
课标要求 考情分析 核心素养
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学抽象 逻辑推理 数学运算
2022(Ⅰ)卷 7 单调性比较大小
2021(Ⅰ)卷 15 求函数最值
2021(Ⅱ)卷 7 单调性比较大小
2020(Ⅰ)卷 8 单调性解不等式
2020(Ⅱ)卷 7 利用单调性求参
1. 函数的单调性
若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量，当时，
（1）都有,那么就说函数在区间上单调递增；
（2）都有，那么就说函数在区间上单调递减.
2.单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间.
3.单调性性质
（1）函数与(c为常数) 具有相同的单调性；
（2）时,函数与单调性相同；时, 函数与单调性相反；
（3）若恒为正值或恒为负值,则与具有相反的单调性；
（4）若,都是增(减)函数,当时,则是增(减)函数;
当时,是减(增)函数；
（5）在公共定义域内,增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减；
4.函数的最值
（1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
①对于任意的，都有；②存在，使得；
那么，我们称是函数的最大值.
（2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
①对于任意的，都有；②存在，使得；
那么，我们称是函数的最小值.
1.复合函数的单调性判断方法:同增异减.
2.“对勾函数”的单调增区间为；单调减区间是.
1．【P86 T2】函数的单调递增区间是__________.
2．【P86 T3】判断函数在上的单调性，并求函数的最大值和最小值．
考点一　函数的单调性（区间）
【方法储备】
确定函数单调性(区间)的常用方法：
【典例精讲】
例1.(2021·湖北省武汉市调研.多选)下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】　
解题时，利用单调性的性质、复合函数单调性、导数法判断函数单调性较为常用，若函数含有参数，解导数不等式时，分类讨论要做到不重不漏.研究函数问题，明确单调性是第一步，能够准确快速的判断单调性，求出函数单调区间是解题的关键.
【靶向训练】
练1-1(2022·湖北省十堰市月考)函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·北京市期末)函数，的单调递增区间为 ．
考点二　函数单调性的应用
【方法储备】
1.利用单调性比较的大小：
2.利用单调性解不等式
3.利用单调性求参数的取值范围
角度1利用单调性比较大小
【典例精讲】
例2.(2022·安徽省合肥市联考)已知定义在上的奇函数满足,时,，设，，，则( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
比较大小问题常与导数结合考查，基础层面，利用基本初等函数的知识，判断自变量的大小关系；拔高层面，判断已知函数单调性，或者构造函数判断函数单调性，再利用单调性比较大小.其中构造函数时，若需比较大小的几个数的结构相似，可根据结构直接构造函数研究单调性；若结构不相似，可通过相减、相除、放缩等方式，构造函数求最值，完成比较大小.
【靶向训练】
练2-1(2022·江苏省徐州市模拟)若函数为偶函数，对任意，且，
都有，则有( )
A. B.
C. D.
练2-2(2021·安徽省蚌埠市期中)已知，，，则 ( )
A. B. C. D.
角度2　利用单调性解不等式
【典例精讲】
例3.(2022·安徽省合肥市联考)若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】　
利用单调性解双型不等式，是一轮复习常见题型：
1. 双基本型：单纯的利用函数单调性，由函数值的大小关系，比较自变量的大小；
2. 双进阶型：单调性与奇偶性、对称性等性质结合考查；
3. 双构造型：逆用导数运算法则构造函数，判断函数单调性；
4. 双同构型：指、对同构，判断函数单调性.
【靶向训练】
练2-3(2022·江西省宜春市联考)已知定义域为的函数在上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
练2-4(2022·河北省石家庄市联考)已知函数，则使得不等式成立的的取值范围为( )
A. B.
C. D.
角度3　利用单调性求参数的取值范围
【典例精讲】
例4. (2022·江西省南昌市二模)已知，函数 在上是单调函数，则 的取值范围为 ．
【名师点睛】
已知函数在给定区间上单调性求参问题，更倾向于考查利用转化与化归的思想,将其转化为“不等式恒成立”问题,具有一定的普遍意义,属于 “通性通法”的范畴。
【靶向训练】
练2-5(2022·江苏省无锡市一模)若函数是增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
练2-6(2021·浙江省宁波市月考)已知对任意、且，恒有成立，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
考点三　函数的最值
【方法储备】
1.求函数最值（值域）的常见方法：
2.已知函数最值求参数取值范围：
角度1　求函数的最值（值域）
【典例精讲】
例5.(2022·浙江省金华市联考) 已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是 ．
【名师点睛】
求解函数的最值或值域的方法较多，解题时根据解析式的结构，选择合适的方法,最值或值域；对于求一些代数式最值或取值范围、恒成立与存在性问题，都可以转化为求函数的最值与值域解决，但要注意所构造函数的定义域.
【靶向训练】
练3-1(2022·江西省南昌市联考)已知函数的定义域为，且，，当时，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·江苏省南京市期中)已知函数，则函数的最小值为 ．
角度2　已知函数的最值（值域）求参
【典例精讲】
例6.(2022·安徽省省蚌埠市调研)已知函数在上的最大值为，最小值为，则 ．
【名师点睛】　
求函数最值与已知函数最值求参，其解题的思路是一致的，都要利用常见的求最值的方法求出最值,因函数含有参数，解题时可能涉及分类讨论，一般难度较大.若涉及求最值之和，可从函数解析式的结构出发，研究函数的对称
中心，即可求出最值之和.
【靶向训练】
练3-3(2022·河南省郑州市联考)若函数有最小值,的一个正整数取值可以为 ．
练3-4(2022·福建省泉州市调研)已知二次函数，若在区间上是减函数，且对任意，，总有，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
核心素养系列 恒成立问题转化为求最值问题
含参数的函数不等式恒成立求参数范围问题是近年来高考的重点和热点问题,思维难度高，旨在培养学生分析和解决函数综合问题的能力,促进学生数学学科核心素养的达成.常见的解决恒成立的方法有：主元变更法、借助一元二次函数判别式解决恒成立问题、特值探路法、分类筛选法、借助最值解决恒成立问题、同构法等，本专题重点说明分离参数法解决恒成立问题.
【方法储备】
将恒成立问题中转化为函数的最值,常见的方法有：
【典例精讲】
例7.(2022·湖北省武汉市联考)若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
恒成立问题转化为求函数最值，是解决恒成立问题的一个重要方向，例7采用分离参数构造函数求最值，如果参数与自变量不容易分开，也可以直接研究含参函数的最值，转化为上述角度二已知函数最值求参.
【靶向训练】
练5-1(2021·四川省成都市一模)已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是 ．
练5-2(2022·河南省郑州市月考) 若，恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
易错点1．求复合函数单调区间时忽视定义域
例8. (2022·安徽省蚌埠市联考)函数的单调增区间为( )
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因此，函数的单调递增区间是.
2.【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：
在上任取，，且．．
，，，．
，，故在上是减函数，
同理可证在上是增函数，在的最小值为，最大值为．
【考点探究】
例1. 【解析】对于，， ，
，，，
为奇函数，当时，单调递增，故 A正确；
对于，，定义域关于原点对称，为奇函数，
，在上单调递减，故 B错误；
对于，，，，
为奇函数，又，
时，，在上单调递增，故 C正确；
对于，为非奇非偶函数，故 D错误．
故选AC．
练1-1. 【解析】要使函数有意义，则，解得或，
设，
当时单调递减，当时单调递增，
因为函数在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性可知，此函数的单调递减区间是．
故选C．
练1-2. 【解析】令，
设，则，
，，
，，
在区间上单调递增．
故答案为：．
例2. 【解析】当时，，则在上是增函数，
且当时，，又是定义在上的奇函数，
，的图象关于直线对称．
，， ，
，，，，
，即，．
故选D．
练2-1. 【解析】函数为偶函数，函数的图象关于对称，
因为对任意，且，都有，故函数在上单调递减，
根据函数的对称性可知，函数在上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，
故，
故选A．
练2-2. 【解析】设函数，，则为偶函数，
且当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，
又，，，所以．
故本题选：．
例3. 【解析】，，
构造函数，且在上单调递增，在上单调递减；则为上的单调递增函数，
由，可得，
根据在上单调递增，得，即，
解得．
故选A．
练2-3.【解析】定义域为的函数在上单调递减，且为偶函数，
关于对称，
关于对称，
函数在上为单调递增，
由得，或，
则不等式的解集为．
故选A．
练2-4. 【解析】因为函数，定义域为，
又
，
所以函数关于对称，
当时，，单调递减，
故函数单调递减，
所以函数在单调递增，在单调递减，
由可得，解得，且．
故选：．
例4. 【解析】由题意知当时，恒成立，
，且，，．
要使在上是单调函数，需满足二次函数 在上是单调函数，
则需满足，，故
答案为：
练2-5. 【解析】当时，函数单调递增，，时，，
要使函数是增函数，可得并且，可得．
故选：．
练2-6. 【解答】由已知得，构造
对，，若，恒有，即，可得在上单调递增，
当时，易知函数在上单调递增故符合题意
当时，要使函数在上单调递增，
需要满足对勾函数的性质得，，解得，综上可知实数的取值范围是．
故答案选：．
例5. 【解析】当时，，
当时，，
对，，使得等价于，
即，所以，即实数的取值范围是，
故答案为：
练3-1. 【解析】由已知函数是周期为的奇函数，且在上为增函数，
在上为减函数，其最大值为，所以的最小值为
故选B．
练3-2. 【解析】函数的定义域为，，
当时，，，在是减函数；
当时，，，在是增函数；
因此当时，有最小值．
例6. 【解析】设，则，
因为，所以，则函数，
化为，
设，则，
所以函数为奇函数，
因为在上的最大值为，最小值为，即在上的最大值为，最小值为，
所以在上的最大值为，最小值为，
则根据奇函数的性质，得出，所以．
故答案为．
练3-3. 【解析】 在上单调递增，
，又当时，所以当时，，
当时，，此时，
在上单调递减，在上单调递增，
在上的最小值为时函数值，
若函数有最小值，则，即，故的一个正整数取值可以为．
故答案为：答案不唯一．
练3-4. 【解析】函数的对称轴是，则其单调减区间为，
因为在区间上是减函数，所以．则，
所以当时，在处取得最大值，在处取得最小值，
因此任意的，总有，只需即可，
即即，
解得，又，因此．
故选A．
【素养提升】
例7. 【解析】因为，所以，
原不等式可变形为．
令，则，
．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，又，所以．
故选A．
练5-1. 【解析】 ，在时，为增函数，，恒成立．
在时，，则，
若，则，单调递减，成立，，，，
若，则当时，，递减，时，，递增，
因此时，，
所以，显然成立，综上的取值范围是．
故答案为：．
练5-2.【解析】 ，恒成立，恒成立．
设，，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，，
再令，，，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，．
，，恒成立．
恒成立等价于 ，
故选：．
【易错点归纳】
例8. 【解析】令，则，故函数的定义域为，
且在定义域内单调递减，故本题即求函数在上的减区间．
利用二次函数的性质可得在定义域上的减区间为，
故选：．
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