（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题3.4二次函数与幂函数

3.4 二次函数与幂函数
课标要求 考情分析 核心素养
1.通过具体实例,结合， 的图象, 理解它们的变化规律, 了解幂函数. 2.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质． 3.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题. 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查 数学抽象 数学运算 逻辑推理
1.二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式：
一般式：；
顶点式：，顶点坐标为；
零点式：，为的零点.
（2）二次函数的图象和性质
解析式
图象
定义域
值域
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
对称性 函数的图象关于对称
奇偶性 当时，二次函数为偶函数；当时，二次函数为非奇非偶函数
2.三个“二次”之间的关系
（1）关于x的一元二次不等式或的解集；
若二次函数为，则一元二次不等式或的解集，即为二次函数的函数值为正值或负值时自变量的取值的集合.
（2）三个“二次”之间的关系
设，方程的判别式
判别式
解不等式 或的步骤 求方程的解 有两个不等的实数解 有两个相等的实数解 没有实数解
画函数的示意图
得不等式的解集
3.幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，为常数.
（2）常见的5种幂函数的图象
（3）常见的5种幂函数的性质
函数 性质
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
定点
单调性 1.第一象限的单调性：①当时，单调递增；②当时，单调递减；③当时，无单调性； 2.若函数在第二或第三象限有图象，结合函数奇偶性，得出函数的单调性.
图象 一定过第一象限，不过第四象限
1.二次函数的图像、单调性、最值与以下四点有关：（1）抛物线的开口方向（2）对称轴（3）给定区间的范围有关（4）判别式；
2.从一元二次函数的角度看一元二次不等式与一元二次方程，图象是纽带，将等与不等、数与形紧密联系；同样用这种思想指导函数解决不等式与方程问题.
1.【P91 练习1】若幂函数的图像过点，则的值为 ．
2.【P100 T4】设函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
考点一　二次函数的图象与性质
【方法储备】
1.二次函数的图象
（1）要能够准确快速地画出二次函数的图象，养成借助图象解题的思维习惯；
（2）能够准确地识别二次函数图象：①一看符号：二次项前的系数的符号，决定了开口方向；②二看对称轴：对称轴和最值，确定了二次函数图象的位置；③三看特殊点：看图象与轴的交点，最值点等.
（3）结合图象，得出函数的性质，能够利用图象，解决相关问题.
2.二次函数的性质及应用
（1）二次函数的单调性问题
（2）最值问题：二次函数闭区间上求最值问题是二次函数部分的重难点
①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，本质上都是考虑对称轴与区间的位置关系；
②当含有参数时，要讨论区间和对称轴的位置关系，确定函数在该区间上的单调性，求出最值.
（3）对称性问题：对于二次函数
①对称轴方程：
②若,则对称轴方程为：；
（4）若二次函数只可能为偶函数，即当一次项前的系数为0时，二次函数为偶函数.
3.二次函数的恒成立问题
【典例精讲】
角度1　求二次函数的解析式
【典例精讲】
例1.(2022·重庆市联考) 已知二次函数的顶点坐标为，且，
求的解析式；
，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围；
若在区间上单调，求实数的取值范围．
【名师点睛】
一般用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件，选择合适的解析式的形式：
【靶向训练】
练1-1(2022·辽宁省抚顺市月考)已知二次函数的顶点坐标为，且方程的两个实根之差等于，则此二次函数的解析式是 ．
练1-2(2021·河南省郑州市一模) 已知函数定义域为，对于任意恒有．
若，求的值；
若时，，求函数，的解析式及值域.
角度2　二次函数的图象与性质
【典例精讲】
例2. (2022·安徽省省蚌埠市调研) 已知二次函数，则存在，，使得对任意的( )
A. B.
C. D.
例3. (2022·上海市市辖区月考) 已知函数，．
求的取值范围，使在闭区间上是单调函数；
当时，函数的最小值是关于的函数求的最大值及其相应的值；
对于，研究函数的图象与函数的图象公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论．
【名师点睛】　
1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
2.要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．
【靶向训练】
练1-3(2022·北京市月考)设函数，若，则
A. B. C. D.
练1-4(2022·四川省成都市联考)已知函数，，若对于任意实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
角度3　二次函数恒成立问题
【典例精讲】
例4. (2022·湖北省武汉市月考) 设二次函数满足下列条件：；当时，恒成立．若在区间上恒有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】　
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.这两个思路的依据是：恒成立 ，恒成立 .
【靶向训练】
练1-5(2022·浙江省宁波市模拟)已知函数，
若，求的值域；
若存在，使得能成立，求实数的取值范围．
练1-6(2022·安徽省合肥市期中)已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立，
Ⅰ求的取值范围；
Ⅱ对任意，，恒有，求实数的取值范围．
考点二　“三个二次”关系的应用
【方法储备】
1.理清三个二次之间的关系：一元二次不等式的解集的端点是一元二次方程
的根，也是函数的图象与轴交点的横坐标.
2.一元二次方程与一元二次不等式
①已知一元二次不等式的解集，即可得出一元二次方程
的根，及的正负；
②解一元二次不等式：若转化为的形式，则比较根的大小关系，求出解集；若不能转化为的形式，需讨论,判断根的个数，解不等式.（此知识点已在不等式专题详细阐述）
3.利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程的根分布问题
一元二次方程根分布问题：设
①在R上没有实根，有且只有一个实根，有两个不相等的实根的情况，考虑判别式即可；
②在某个区间内的实根分布有4种情况，从开口方向, 判别式, 对称轴, 端点处函数值的角度考虑：
4. 一元二次函数与一元二次不等式的问题
将一元二次不等式,转化为一元二次函数，利用函数图象，解决不等式问题.
【典例精讲】
例5.(2022·浙江省温州市模拟) 已知是关于的方程的两个实数根，且两根之和为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
例6.(2022·山东省青岛市联考.多选) 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的值可以是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】　
通过“三个二次”的关系，进一步理解函数、方程、不等式三者间的关系.解决方程根问题，可转化为函数零点问题解决，解决不等式有关的问题，可借助函数图象解决.
【靶向训练】
练2-1(2022·河北省石家庄市调研)已知二次函数与轴有两个交点，一个大于，一个小于，求实数的取值范围．
练2-2(2022·江苏省无锡市月考.多选)不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设，若对任意，都有成立，则的值可以是( )
A. B. C. D.
考点三　幂函数的图像及性质
【方法储备】
幂函数的常见解题方法：
【典例精讲】
例7.(2022·福建省福州市联考.多选) 若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是( )
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数
例8.(2022·湖南省长沙市月考) 关于的不等式解集为 ．
【名师点睛】
解决幂函数问题，还需注意：注意区分幂函数与指数函数；能够熟练的作出指数时的函数图象；能够熟练的判断函数在第一象限的单调性.
【靶向训练】
练3-1(2022·湖北省武汉市模拟.多选)已知幂函数，则下列结论正确的有( )
A. B. 的定义域是
C. 是偶函数 D. 不等式的解集是
练3-2(2022·安徽省安庆市二模)已知，，，则下列说法正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
易错点1．忽略的系数为0的情况
例9. (2022·安徽省合肥市模拟)函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】由题意知函数的图象过点，
则，
所以，所以，故．
故答案为：．
2. 【解析】函数的对称轴为，开口向上，
又函数在上为减函数，
，即．
故选B．
【考点探究】
例1. 【解析】由已知，设，
由，得，
故
由已知，即，化简得，
设，则只要，即可，
在上为减函数，
，
．
要使函数在单调，
则或，
则或，
实数的取值范围为.
练1-1. 【解析】设，方程的两个根分别为，，
则，
所以，
所以．
故答案为．
练1-2. 【解析】，．
那么
由可得
当时，，
那么：时，
那么：时，
故得的解析式为
利用二次函数的图象，作函数的图象如下：
由图象得函数的值域为，．
例2. 【解析】 选项，根据二次函数单调性，函数在上先减后增，对称轴为，
当时，不满足，故错误 ；
选项，因为为指数增长，则时，一定有，
那么 ，故错误；
选项，，当且仅当时，等号成立，
又，则只需在单调递增即可，即，所以即可
选项，函数在上先减后增，不能保证对任意的，有成立， D错误
故选C．
例3. 【解析】函数图象的对称轴为，开口向上．
因为在闭区间上是单调函数，
所以或．
解得或．
即的取值范围为．
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，．
所以，，
当时，，
当时，的对称轴为，最大值为，
当时，，
所以当时，有最大值．
公共点的横坐标满足．
即是方程的实数解．
设，
则直线与有公共点时的横坐标与上述问题等价．
当或时，；
当时，．
即
当，
当时，方程无解，
当时，解得，
当时，由，
即，得或；
所以当时，直线与相切，
且和无交点，
即此时直线与有一个公共点，
当直线过点时，，
当直线过点时，，
由图可知，当时，直线与有一个公共点，
当或时，直线与有个公共点，
当或时，直线与有个公共点，
当或时，直线与有一个公共点，
又在函数中，
，
，
综上所述：结论：无论取何实数值，函数的图象与函数的图象有个公共点；
结论：
当或或时，函数的图象与函数的图象有一个公共点；
当时，两函数图象有个公共点，坐标为，；
当时，两函数图象有个公共点，坐标为、．
结论：当，时，公共点有个，
坐标为、、
练1-3. 【解析】函数在轴以下的部分时，，区间只有的跨度，
又，
图象由函数图象向上平移，
函数值小于零的区间长会小于，
又，
，
，
故选：．
练1-4. 【解析】当时，二次函数的图像开口向下，单调递减，故存在使得与同时为负，不符题意；
当时，，显然不成立；
当时，，
若，即时，显然成立，
，或，则时成立，时，时不成立，
若，即或，由，
若要与的值至少有一个为正数，则如图，
则必须有，结合或，解得，
综上可得：，
故答案为：．
例4. 【解析】设，
当时，恒成立，
可得当时，，
即，即，
由，可得的图象关于直线对称，
可得，即，
由，即，
由解得，，，
则，
在区间上恒有，
则在区间上恒有，
因为，则，
所以
可得
解得．
故选：．
练1-5. 【解析】的图象是抛物线，开口向上，对称轴是，
当时，在上单调递减，
，，
此时的值域为：；
当时，在上单调递减，在上单调递增，但，
此时：，；值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，但，
此时：，；值域为，
综上，当时，的值域为：，
当时，的值域为，
当时，的值域为．
可化为：，
即存在，使得能成立，
只需对能成立，只需，其中．
当时，记，则，
且，
根据对勾函数的性质知，函数在上单调递增，
，
所以，
因此，，
即实数的取值范围为
练1-6. 【解析】Ⅰ 由题意可知，，
，
，
对任意实数都有，即恒成立，
，由，
，，
此时，
对任意实数都有成立，
，
的取值范围是．
Ⅱ 对任意，都有，
等价于在上的最大值与最小值之差，
由知
即，
对称轴：
据此分类讨论如下：
(ⅰ)当即时，
，
．
(ⅱ) 当，即时，
恒成立．
(ⅲ)当，即时，
．
综上可知，．
例5. 【解析】设，则原方程可化为二次方程，
又，且二次方程有两个正根，
所以，所以．
例6. 【解析】设，其图象为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示．
关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，
因为图象的对称轴为，则这个整数只能是，，，
则有，解得
又，则可以是，，．
故选BCD．
练2-1. 【解析】由，
可得，；或，．
即且；或且，
可得或，
综上可得的范围是
练2-2. 【解析】若时，当时，显然，此时一定有恒成立，即，不存在这样的整数
当时，函数是减函数，在同一直角坐标系内，画出函数，的图象，如下图所示：
由题意结合图象有：，与横轴的交点坐标为：，
与横轴的交点坐标为：，
要对任意，都有成立，只需，即，
，
，或，，或，
因此或或
故选BCD．
例7. 【解析】设幂函数，
幂函数的图象经过点，
，解得，
，
在定义域是单调递增的函数，故C正确；
，
则为奇函数，故A正确．
故选AC．
例8. 【解析】原不等式可化为：，因为在上单调递增，
当，即时，，原不等式不成立；
当，即时，，原不等式恒成立；
故原不等式的解为．
故答案为：．
练3-1. 【解析】幂函数，
，，
，定义域为，故选项B错误，
，选项A正确，
，定义域关于原点对称，
又，
是偶函数，选项C正确，
，
在上单调递减，在上单调递增，
不等式等价于，
解得：或，故选项D正确，
故选：．
练3-2. 【解析】当时，，此时，，所以当时，有，故A错误；
作出，，，的图象如下图：
当时，即两图象在交点处相等，
设交点横坐标为，此时，所以，故B错误；
同理，如图，当时，，故C正确；
如图，当时，，则，故D错误．
故选C．
【易错点归纳】
例9. 【解析】当时，
，
在定义域上单调递减，满足在区间上是减函数，
故成立．
当时，二次函数的对称轴为：
，
要使在区间上是减函数，
则必有且对称轴，
即，解得，
综上，，
即的取值范围是．
故选：．
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