（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题3.5指数与指数函数

3.5 指数与指数函数
课标要求 考情分析 核心素养
1.通过对有理数指数幂(, 且; 为整数, 且)、实数指数幂(, 且; ) 含义的认识, 了解指数幂的拓展过程, 掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念。 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 新高考3年考题 题 号 考 点 数学抽象 数学运算 逻辑推理
2022(Ⅰ)卷 7 指对幂大小比较
2021(Ⅱ)卷 7 指对幂大小比较
1.根式和分数指数幂
1.n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*
个数 n是奇数 x仅有一个值，记为
n是偶数 a＞0 x=±
a＜0 x不存在
2.根式
（1）概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
（2）性质：①()n＝a； ②
3.分数指数幂
（1）规定：正数的正分数指数幂的意义是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
（2）有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2.指数函数的图象和性质
（1）概念：函数叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
（2）指数函数的图象与性质:
y＝ax a>1 0当底数a的范围不明确时，应分a＞1与0＜a＜1讨论
图象
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点： (1，a)，(0，1)，.
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0. 规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
定义域 R
值域 (0，＋∞)
定点
性质 当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在R上是增函数 在R上是减函数
与的图象关于y轴对称
1.画指数函数(，且)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数(，且)的图像和性质跟的取值有关，要特别注意应分与来研究.
1.【P114例1】已知指数函数过点，则( )
A. B. C. D.
2.【P117 例3】已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
考点一　指数幂的化简与求值
【方法储备】
1. 指数幂的运算：首先将根式化为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序；
2.结果要求：
①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂.
【典例精讲】
例1.(2021·湖北省武汉市月考) 化简、求值：
；
，．
【名师点睛】　
1.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算；
2.根据根式形式，确定的取值范围，再变形：如, 范围发生变化.
【靶向训练】
练1-1（2022·湖南省长沙市月考.多选）下列各式中一定成立的有．( )
A. B.
C. D.
练1-2（2022·重庆市月考） 计算：；
化简：．
考点二　指数函数的图像及应用
【方法储备】
1.指数函数的概念
2.指数函数的图象
（1）识图
判断指数函数图象上底数大小的问题：作直线x＝1与图象相交，交点位置越高，底数越大；
已知函数解析式选其图象：从定义域、奇偶性、特征点、单调性等角度排除；
（2）作图
作出指数型函数的图象，一般是从最基本的指数函数的图象入手，经历图象的平移、伸缩、对称、翻折变换，作出指数型函数的图象；
（3）用图：解决指数方程、不等式问题.
【典例精讲】
例2.(2022·江苏省苏州市模拟) 已知函数，其中，均为实数．
若函数的图象经过点，，求函数的值域；
如果函数的定义域和值域都是，求的值．
例3.(2022·河北省张家口市月考) 函数的大致图象为( )
【名师点睛】　
1.在指数函数中,如果涉及的题目中没有对底数的取值范围加以确定,往往要根据题
目条件分和两种不同情况加以分类讨论.
2. 对于涉及多个基本初等函数的交点问题,或是涉及指数函数的方程或不等式问题,可以合理分解,转化为两个相应的函数问题,数形结合,直观明晰,化难为易.
【靶向训练】
练2-1(2022·河北省邯郸市月考) 若函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
练2-2(2022·湖北省黄冈月考) 设平行于轴的直线分别与函数和的图象相交于点，，若在函数的图象上存在点，使得为等边三角形，则这样的直线( )
A. 至少一条
B. 至多一条
C. 有且只有一条
D. 无数条
考点三　利用指数函数的性质解决有关问题
【方法储备】
1.比较幂值大小：常与函数的单调性结合考查
2.解简单的指数方程与不等式
角度1　比较指数幂的大小
【典例精讲】
例4.(2022·安徽省合肥市月考) 已知函数的图象关于直线对称，在时，单调递增．若，，其中为自然对数的底数，为圆周率，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
对于比较大小中较复杂的问题,常与导数结合考查，通过导数四则运算的逆用构造函数，或根据已知式子的结构、作差作商构造函数、结合常见不等式如对数平均不等式等构造函数，这是高考的热点，将在专题3.6对数与对数函数的素养提升部分阐述.
【靶向训练】
练3-1(2022·广东省深圳市月考) 已知，，，则，，的大小顺序是( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·江苏无锡市月考) 已知的大小关系为( )
A. B.
C. D. 的大小关系不确定，与的取值有关
角度2　解简单的指数方程与不等式
【典例精讲】
例5. (2022·安徽省省蚌埠市调研) 不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】　
利用指数函数的图象与性质解决指数方程与不等式问题，通常先借助化归与转化思想,利用相关条件的化归与
转化,进而把问题具体化,直观化,方便结合指数函数的图象与性质来有效处理,合理化归,巧妙转化是关键.
【靶向训练】
练3-3(2022·河北省省张家口市模考) 若，则下列等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
练3-4(2022·湖南省省长沙市调研) 已知函数．
当时，求函数在上的值域；
若函数在实数集上存在零点，求实数的取值范围．
核心素养系列——指数型函数的综合问题
指数函数是高中数学最基本的函数模型之一,也是最重要的函数模型.指数函数可以与零点、不等式、方程等综合，考查应用函数单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质解题,所以指数函数的考点综合性较大.
【方法储备】
1.换元法使函数简单化，便于求解函数值域、解方程与不等式等问题.判断单调性，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域限制之下讨论．
2.能够熟练的作出指数型函数的图象，在解决方程、零点等问题时，要利用数形结合思想，使问题直观化.
3.解决恒成立问题，化归与转化是关键.
【典例精讲】
例6.(2022·湖南省株洲市联考.多选) 设函数，且，下列说法正确的是( )
A. 函数有最小值，无最大值
B. 函数与直线的图像有两个不同的公共点
C. 若，则
D. 若，则的取值范围是
例7. (2022·湖北省联考) 已知函数且
若函数是定义域为的奇函数，且，求使不等式恒成立的的取值范围；
若函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围．
【名师点睛】
指数函数模型也常用于解决实际问题，以现实生活为背景材料的新颖的应用题也是高考命题的热点之一，把
实际应用中的问题转化为指数函数,根据指数函数的定义、解析式、性质等加以分析处理,从而得出科学合理的
判断与推理.
【靶向训练】
练5-1（2022·山东省联考.多选）已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 为奇函数 B. 为减函数
C. 有且只有一个零点 D. 的值域为
练5-2(2022·江苏省联考.多选)达芬奇的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线．建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，双曲余弦函数，则以下正确的是( )
A. 是奇函数 B. 在上单调递减
C. ， D. ，
易错点1.不会利用中间量比较大小
例8.(2022·江苏省联考) 设，，，则( )
A. B. C. D.
易错点2.不会构造函数比较大小
例9. (2022·山东省联考)已知，，，且，，，其中是自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】设且，由函数过点得，解得，．故选B．
2.【解析】由于，，由于函数在上单调递增，故；由于，所以，，所以，同理，，故，所以，即．
故选：．
【考点探究】
例1.【解析】原式；
，．
练1-1【解析】对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：
练1-2【解析】

例2.【解析】 函数，其中，均为实数，
函数的图象经过点，，
函数，函数，
故函数的值域为；
如果函数的定义域和值域都是，若，函数为增函数，，解得，则；若，函数为减函数，，解得，则；．
例3.【解析】因为函数的定义域为，
且，所以函数为偶函数，故排除；
又当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故排除．故选：．
练2-1【解析】函数的值域为取尽所有的数，所以取尽所有的数，所以，即，所以实数的取值范围是
故答案为．
练2-2【解析】设直线的方程为，
由，得，所以点．
由，得，所以点，
从而．如图，取的中点，连接，
因为为等边三角形，则，
且，，所以点．
因为点在函数的图象上，则，解得，
所以直线有且只有一条，
答案选C．
例4.【解析】根据题意，函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，满足，则，，
又由时，单调递增，则有；故选：．
练3-1【解析】因为在上单调递增，所以即 ；
又因为在上单调递增，所以，即；又因为在上单调递增，所以，即且．
所以有：．故选D．
练3-2【解析】，，，可得，
相除可得，设，可得，设，则，时，，则单调递减，则，则，则在上单调递减，且恒成立，又，则，则，则，即，故选：．
例5. 【解析】令和
而函数 在其定义域上是减函数， 在其定义域上是增函数，如图所示，则交点，
故不等式 的解集为
故选：．
练3-3【解析】因为，所以，
选项A，令，，得，故A错误；
选项B，，令，，可知，，所以，C错误；
选项D，因为，，所以，所以D正确．
故选D．
练3-4【解析】根据题意，当时，，
设，则，结合的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，
，；
，即，
令，所以有正根，设的两根为，，
当时，即可，即，解得；
当时，符合题意；
当时，恒成立，，显然符合题意，
故实数的取值范围．
【素养提升】
例6.【解析】由题意，画出的图象，如图所示：
项，当时，函数有最小值，可知：无最大值，所以A正确；
项，函数与的图像只有一个公共点，所以B错误；
项， ，且可知，
，且，，且，
则，则，
所以，所以，所以C正确；
对于，若，由图可知，，且，，
则可写为，
，，所以，
所以，
因为，所以，
所以
所以D错误，
故选：．
例7. 【解析】 是奇函数，，即，
，，则．
或由得，经检验成立，．
，则，结合得，则在上单调递增，
由得，
，，即恒成立，
，解之得．
，，
令，，则，即在上有唯一解，
令，，则在上单调递减，
且时，；
时，，
．
练5-1【解析】 函数，，，
为奇函数．故A正确．．
在上单调递增，所以在上为增函数．故B答案错误．
令，则，得到，所以有且只有一个零点．故C答案正确．
，故D答案错误．故选：．
练5-2【解析】由于悬链线的函数解析式为，双曲余弦函数，
所以，，满足，故函数为偶函数，故A错误；
对于：由于，所以，又，
所以，当时，，则，所以函数在上单调递减，故B正确；
对于：，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
对于：根据选项C：令，
所以，令，
则，
故当，即时，，
所以为增函数，又，
所以，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，上单调递增，
故
所以存在，成立，故D正确．
故选：．
【易错点归纳】
例8.【解析】因为，
且，
，所以．故选D．
例9. 【解析】设，则，又，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以在上单调递减，所以．故选：．
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