（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题3.6对数与对数函数

3.6 对数与对数函数
课标要求 考情分析 核心素养
1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例, 了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数与指数函数互为反函数（）. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学抽象 数学运算 逻辑推理
2022(Ⅰ)卷 7 指对幂大小比较
2021(Ⅱ)卷 7 指对幂大小比较
2020(Ⅱ)卷 7 已知对数型函数的单调性求参
1．对数的概念及其运算
概念 如果(,且)，那么数叫做以为底数的对数， 记作，其中叫做对数的底数，叫做真数，叫做对数式
性质 对数式与指数式的互化： （）
（）
运算法则
换底公式
重要公式 ,(均大于零且不等于1)
2．对数函数的图象和性质
（1）概念：函数叫做对数函数，其中是自变量.
（2）对数函数的图象与性质
当底数的范围不明确时，应分与讨论
图象
作直线，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故. 规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
定义域
值域
定点
性质 当时，； 当时， 当时，； 当时，
在上是增函数 在上是减函数
与的图象关于轴对称
3.反函数
对数函数和指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称．
1.对数函数的图像过定点(1，0)，且过点，函数图像只在第一、四象限.
2.对数函数的图像和性质跟的取值有关，要特别注意应分与来研究.
1.【P140 T1】函数定义域为 ．
2.【P141 T13】若，，，则，，三者的大小关系是( )
A. B. C. D.
考点一　对数的基本运算
【方法储备】
对数运算的一般思路
1.拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
2.合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【典例精讲】
例1.(2021·河北省石家庄市月考) 区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等。在区块链技术中，若密码的长度设定为比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算。现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( )
参考数据
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
【名师点睛】　
1.对数的运算：要保证式子中所有的对数符号有意义，即真数大于0，底数大于0且不为1；
2.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【靶向训练】
练1-1（2022·湖北省武汉市模考.多选）若，，都是正数，且，那么( )
A. B. C. D.
练1-2（2022·山东省青岛市模考.多选）世纪初，约翰纳皮尔为了简化计算而发明了对数对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为世纪的三大数学发明我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值如表，则下列说法中正确的有( )
真数
近似值
真数
近似值
A. 在区间内
B. 是位数
C. 若，则
D. 若是一个位正整数，则
考点二　对数函数的图象及应用
【方法储备】
1.对数函数的概念
2.对数函数的图象
（1）识图
判断对数函数图象上底数大小的问题：作直线与图象相交，交点位置越靠右，底数越大；
已知函数解析式选其图象：从定义域、奇偶性、特征点、单调性等角度排除；
（2）作图
作出对数型函数的图象，一般是从最基本的对数函数的图象入手，经历图象的平移、伸缩、对称、翻折变换，作出对数型函数的图象；
（3）用图：解决指数方程、不等式问题.
【典例精讲】
例2.(2022·湖北省武汉市月考) 已知函数．
求函数的定义域并判断函数的奇偶性；
记函数，求函数的值域；
若不等式有解，求实数的取值范围．
例3.(2021·浙江省绍兴市模拟) 函数的图像不可能是( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】　
1.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【靶向训练】
练2-1(2022·江苏省连云港市模拟.多选)已知，，，且，若，则，，的大小关系可以是( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·湖南省长沙市模拟.多选)已知函数,,则下列说法正确的是( )
A. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B. 若函数的值域为，则实数
C. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D. 若，则不等式的解集为
考点三　利用对数函数的性质解决有关问题
【方法储备】
1.换元法使函数简单化，便于求解函数值域、解方程与不等式等问题.
2.判断单调性，若为复合函数，则结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域限制之下讨论，可利用单调性求最值、比较大小、解不等式，已知单调性求参．
3.能够熟练的作出对数型函数的图象，在解决方程、零点等问题时，要利用数形结合思想，使问题直观化.
4.解决恒成立问题，化归与转化是关键.
角度1　解简单的对数方程与不等式
【典例精讲】
例4.(2022·重庆市联考) 已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
1.研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都在定义域上进行.
2.要特别注意底数的取值范围，并在必要时须分底数和两种情形进行分类讨论，防止错解．
【靶向训练】
练3-1（2022·湖北省武汉市联考）已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
练3-2（2022·河北省张家口市联考）已知函数，在上单调递增，其中为自然对数的底数，那么当取得最大值时，关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
角度2　对数型函数性质的综合应用
【典例精讲】
例5. (2022·辽宁省高三期末) 若函数且在上为减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】　
1.利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．
2.解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．
3.高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．
【靶向训练】
练3-3(2022·广东省模考.多选）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，
且当时，，则下列结论正确的是( )
A. 函数是周期为的周期函数
B.
C. 当时，
D. 不等式的解集为
练3-4(2022·浙江省杭州市模考.多选）设函数为奇函数，为常数．
求的值，并指出函数在上的单调性无需证明；
若在区间上存在使得不等式成立，求实数的取值范围.
核心素养系列——幂、指、对的大小比较
指数与对数比较大小的试题是高考中的常见题型,此类试题虽然题目简短但内涵丰富,不仅考查指
数函数、对数函数、幂函数的运算、性质、图象等内容,还可以综合考查导数和不等式等知识.
【方法储备】
1.借助对数运算的性质比较大小：对数的底数和真数都是较小的正整数,或者对数的真数和底数存在一定的倍数关系,则可采用对数运算的性质，进行化简变形，再比较大小.
2.借助中间变量比较大小：函数类型、底数和真数都不一样,直接比较或利用函数性质判断有一定困难时,可以借助一个恰当的中间变量比较大小.
3.借助函数的性质比较大小:指数和对数以自变量的形式出现,需要结合已知函数的单调性和奇偶性来比较大小.
4. 借助函数图象与性质比较大小：涉及指数函数、对数函数的方程，比较方程根大小，对方程进行同底化恒等变形,引入参数,把方程问题转化为两个函数图像交点的横坐标问题,利用函数的图像与性质来确根的大小关系，进而比较大小.
5.借助特殊函数比较大小：①根据所给指数式、对数式的特征构造恰当的函数,进而分析函数的单调性,结合函数的单调性比较大小；②可以先作差、作商，根据差式和商式构造函数求最值，结合函数最值比较大小.
【典例精讲】
例6. (2022·安徽省蚌埠市月考) 设，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
例7. (2021·山东省青岛市月考) 已知，若，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
除了上述的比较大小的方法外，在比较大小的时，常会伴随放缩形成结构一致便于构造函数、或者通过放缩便于和0或1比较，也可能会涉及不等式性质、基本不等式等内容.解题时，要选择恰当的方法，达到事半功倍的效果.
【靶向训练】
练4-1(2022·辽宁省大连市月考)已知，，，则( )
A. B. C. D.
练4-2(2021·湖北省襄阳市月考) 已知实数，，满足，且，则( )
A. B. C. D.
【易错点归纳】
易错点1．因忽略定义域致错
例8.(2022·湖北省襄阳市月考)的递增区间是( )
A. B. C. D.
易错点2．因忽略对底数的讨论致错
例9. (2022·河北省石家庄市月考)若函数，且的定义域和值域均为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
答案解析
【教材改编】
1.【解析】要使函数有意义，则有，解得，
故函数的定义域为故答案为．
2.【解析】，，，
，，，．故选C．
【考点探究】
例1.【解析】设这台机器破译密码所需时间大约为秒，由题知，
则
，即．
又因为，所以，因此，
即在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为秒故选：．
练1-1【解析】由于，，都是正数，故可设，，
，，，则，，
，，即，故C错误，D正确，
去分母整理得，，故A正确，B错误．故选AD．
练1-2【解析】对于选项A：，，
，，故选项A正确，
对于选项B：，，是位数，故选项B错误，
对于选项C：，，，
故选项C正确，
对于选项D：，因为是一个位正整数，，
，即，，故选项D正确，故选：．
例2.【解析】函数，
，解得．
函数的定义域为．
，
是偶函数．
，
，
函数，，
，，
函数的值域是
不等式有解，，
令，由于，
的最大值为．
实数的取值范围为．
例3.【解析】对于选项A、，发现函数图象过原点，则，得，所以，
由可得函数的定义域为，
，易知函数在上是增函数，故选项B符合题意，A错误，
对于选项C，当时，，即，所以，其定义域为，
又，函数在上单调递增，即选项C正确
对于选项D，当时，，即，所以，
其定义域为，又，函数在上单调递减，即选项D正确．
故选A．
练2-1【解析】如图，在同一坐标系中画出函数，，的图象，
当直线与三者都相交时，交点的横坐标即为，，的值，
由图知，当从大变到小时，依次出现、、．
故选ACD．
练2-2【解析】对于，由题意知对恒成立，
由于当时，不等式不恒成立，所以．
当时，由解得，所以A正确；
对于，若函数的值域为，则，显然不为，
则函数的最小值为，则当时，
，解得，所以B错误；
对于，若函数在区间上为增函数，
则在上为增函数，且在内的函数值为正，
所以解得，所以C正确；
对于，若，则不等式等价于，
则，解得，所以D错误．
故选：．
例4.【解析】因为不相等的两个正实数，满足，
则，则
令，
由复合函数的单调性法则可知，都是增函数
作出，的图象：
当时，；
当时，；
当时，；
故选B．
练3-1【解析】根据图中信息作出函数、的图象如下图所示：
因为，则，且，
由图可知，不等式的解集为．
故选：．
练3-2【解析】因为函数在上单调递增，则有，解得，所以的最大值为，
此时，令，解得，当时，，解得，所以，当时，，解得，综上，不等式的解集为．
故选：．
例5. 【解析】令，
且，函数的图像是开口向下的抛物线．
，，
若，为增函数，
要使复合函数在上为减函数，
则，解得
若，为减函数，
要使复合函数在上为减函数，
则解得
综上，实数的取值范围是．故选A．
练3-3【解析】对于选项A，由函数为偶函数得函数的对称轴为，
故得，又，从而得，所以函数是周期为的周期函数，故选项A正确；
对于选项B，当时，，又函数为奇函数．
故得，解得，所以当时，，
所以，故选项B正确；
对于选项C，当时，，
所以，故选项C不正确；
对于选项D，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期上解的情况即可．
当时，由，解得，故得；
当时，由，解得，故得．
综上可得不等式在一个周期上的解集为，所以不等式在定义域上的解集为
，故选项D正确．
故选：．
练3-4【解析】函数为奇函数，
，
即，
化简为，
即，化简得，
，，即；
由于函数和均在上单调递增，
所以在上单调递增函数．
由
得，即，
令，，
则由知在上递增，
，
．
【素养提升】
例6. 【解析】，
，，
，
由于，而，
，所以，
，，，即．
故选A．
例7. 【解析】令 ，，则，在上均为增函数，
当时，，当时，，
由，即，且，
又，，，所以．
由，得，所以，，
所以，
故选C．
练4-1【解析】由题意可知： ，所以．
，所以．
所以
故答案选：．
练4-2【解析】令，则，当时，，
当时，，在上单调递增，上单调递减，
故，，
，，即，
又，，
，，，
，，，．故选：．
【易错点归纳】
例8.【解析】令，求得或，
故函数的定义域为或，，
本题即求函数在定义域内的增区间．
结合二次函数的性质可得函数在定义域内的增区间为，
故选D．
例9.【解答】依题意，，
当时，由函数的定义域和值域都为，
得即，
得，解得，或舍掉，此时，即，得．
当时，由条件可得
即，得，解得或舍掉，
此时，即，得 ．
综上可得，或．故选B．
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