（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题3.7函数与方程

3.7 函数与方程
课标要求 考情分析 核心素养
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学抽象 逻辑推理 直观想象
2022(Ⅰ)卷 22 函数零点、方程根个数
2021(Ⅱ)卷 22 函数零点、方程根个数
1.函数的零点
（1）函数零点的概念
对于函数，把使的实数x叫做函数的零点．
（2）特别提醒：
①函数的零点不是点，是图象与轴交点的横坐标，也是方程的实根；
②函数零点的存在性定理：只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点.
2.三个等价关系：
方程有实数根 函数的图象与轴有交点 函数有零点．
3.零点存在性定理
（1）如果函满足两个条件：
①在区间上的图象是连续不断的一条曲线；
②；
则函数在上存在零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
（2）特别提醒：连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
4. 二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
1.若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则至多有一个零点．
2.图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3.图象连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
4.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
1.【P155 T1】下列函数图像与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
A. B.
C. D.
2.【P155 T2】已知函数的图像是连续不断的，且有如下对应值表：
在下列区间中，函数必有零点的区间为( )
A. B. C. D.
考点一　判断函数零点、方程的根所在区间
【方法储备】
判断函数零点所在区间的方法：充分利用三个等价关系，利用化归与转化思想，将零点问题转化为方程根与图象交点问题解决.
【典例精讲】
例1.(2021·辽宁省沈阳市期中.多选) 若，则函数的两个零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
例2.(2021·浙江省杭州市月考) 已知函数，，的零点分别为，，，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】　
1.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.
2.对于函数零点、方程根、图象交点三者的转化，可参照“结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系”，加深理解.
【靶向训练】
练1-1(2022·湖北省武汉市月考) 已知是函数的零点，则的值为( )
A. 正数 B. C. 负数 D. 无法判断
练1-2(2022·湖南省长沙市月考) 函数恰有两个零点，，且则所在区间为( )
A. B. C. D.
考点二　函数零点、方程的根的个数
【方法储备】
判断函数在区间上零点个数的方法：
1.直接法：令，方程根的个数，即为函数零点个数；
2.定理法：①要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线；②确定函数在区间上的单调性
③每一个单调区间内分别确定端点处函数值是否异号，从而确定是否存在零点；
3.图象法：①画出函数的图象，函数的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；②将函数拆成两个函数和的差，令，则函数的零点个数即为函数和
的图象的交点个数.
4.性质法：①若函数具有奇偶性：轴左右两侧零点个数相同；②若函数具有周期性：先确定一个周期内的零点的个数，再扩展到整个区间内.
【典例精讲】
例3. (2022·江西省九江市模拟) 已知函数是定义域为的偶函数，且其图象关于直线对称，若当
时，，则的零点的个数为( )
A. B. C. D.
例4. (2022·湖北省黄冈市月考) 已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】　
判断函数零点个数问题，在导数部分的解答题中经常出现，常用定理法解决：利用导数判断函数单调性，含参数时需讨论单调性；每个单调区间内要利用零点存在性定理判断是否存在零点，形成结论.
【靶向训练】
练2-1(2022·山东省日照市月考) 已知函数则方程的实数解的个数为( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·辽宁省大连市月考) 若函数，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
考点三　求与零点有关的参数的取值范围
【方法储备】
求与零点有关的参数的取值范围，大致分为三个方向：根据函数零点个数求参、根据函数有无零点求参、根据零点的范围求参.常用的求参数的方法有：
【典例精讲】
例5.(2021·山东省青岛市联考.多选) 若函数有正零点，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
例6.(2022·河北省石家庄市模拟) 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. ，
C. D.
【名师点睛】
已知函数零点的个数或有无求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的交点问题，要将复杂的方程通过化简变形为,使原本复杂的函数，转化为两个简单的函数，能够快速准确的在一个坐标系内画出两个函数的图像，利用图像写出满足条件的参数范围.
【靶向训练】
练3-1(2022·江苏省南京市月考) 方程的两个不等的实根都大于，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·广东省深圳市月考) 已知函数，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
核心素养系列 函数零点的应用
函数与方程思想是高中数学的基本数学思想之一,函数可以看成是二元方程.通过函数关系,建立方程或方程组,梳理变量间的等量关系,运用方程的性质去分析问题,运用运动和变化的观点研究问题,运用数形结合思想转化问题,进而解决问题,是高中数学基本的解题方法,也是解决函数零点问题的基本思路与方法.
【方法储备】
函数零点的应用：
①已知零点问题求参：上述考点三.
②考查各零点的和或与零点有关的代数式的取值范围：求零点的和，两个函数有相同的对称轴或对称中心，利用对称性求和；求零点有关的代数式的取值范围，确定零点的等量关系，将代数式表示成关于一个零点的函数，求值域；
③零点存在性问题：零点的存在性问题有别于零点个数问题,此类问题核心是有,多少并不重要.所以,可以从单调性、解方程、数形结合、极值点、零点化简代换等各层面来思考问题的解决.
④解决方程根问题：函数的零点就是该函数对应方程的根,解决方程相关问题时，转化为求解零点问题.
⑤嵌套函数的零点：通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图像、性质求解.
⑥零点与极值点：原函数的极值点转化为导函数的变号零点，再解决问题.（在专题4.3阐述）
⑦借助零点解（证明）某些特殊的不等式：一般做法研究单调性、数形结合确定曲线形态,用观察法、解方程等找零点等,特别是超越不等式用此解决的比较多.（如解不等式）
【典例精讲】
例7.(2022·江西省吉安市月考) 函数，若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
例8.(2021·陕西省西安市模拟) 若关于的方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
函数零点常与其他知识综合考查，渗透函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，在高考压轴题中经常出现,题目难度大，所以要搞清零点的概念,研究零点问题的题型,理清零点问题解题思路十分必要.
【靶向训练】
练4-1(2022·湖北省武汉市月考) 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
练4-2. (2022·福建省福州市月考.多选)已知函数，方程有四个实数根，，，，且满足，下列说法正确的是( )
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的最大值为
【易错点归纳】
易错点1．函数零点定理使用不当致错
函数零点分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力.
例9.(2022·广东省深圳市月考)求下列函数的零点，可以采用二分法的是( )
A. B.
C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．
用二分法只能求变号零点的近似值，、、中的零点都是变号零点，但中的零点是不变号零点，故它不能用二分法求解．故选：．
2.【解析】由所给的函数值的表格可以看出，在与这两个数字对应的函数值的符号不同，即，函数的零点在上．故选B．
【考点探究】
例1.【解析】因为，
所以，，，
由函数零点存在性定理可知，在区间，内分别存在零点，
又函数是二次函数，最多有两个零点，
因此函数的两个零点分别位于区间，内．故选BC．
例2.【解析】令，，分别得，
则，，分别为函数的图象与函数图象交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系下作出他们的图象，易得，，，
所以， ，
故选C．
练1-1【解析】因为，在上为增函数，易知函数在上为增函数，又，，所以存在，使，所以．故选：．
练1-2【解析】当时，，函数至多一个零点，不符合题意；
当时，考查函数与图象易知，与图象在区间上必有一个交点，
则在区间上有且仅有一个公共点，当时，，，则由题意可得，和在上必然相切，
则，且，得，，当时，，易知，，，，可知．故选：．
例3. 【解析】函数的零点的个数，
即方程在上的解的个数，
也就是函数与函数在上的交点个数，
又函数是定义域为的偶函数，且其图象关于直线对称，
当时，，作出函数与的图象如图：
由图可知，函数与的图象在上有个交点，
即的零点的个数为个．
故选：．
例4. 【解析】由，可得，
则，即，则，，
又，，
，则，
，
，
令，，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的最小值为，
则对于，
令，可得，令，可得，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，当时，，当时，，
函数的零点个数为．故选：．
练2-1【解析】当时，由得，解得
当时，由得，解得
所以方程的实数解的个数为．故选C．
练2-2【解析】函数
的零点即的根，
设，则，先解方程的根，再计算的解．
时，得；时得．
如图所示，函数的图像，
方程和方程各有两个解，
即方程共有个解，故的零点有个．故选：．
例5.【解析】函数有正零点，等价转化为方程有正实数解，
即有正实数解，设，
因为方程有正实数解，如图所示，
当时， ，即，所以 ，
当时，显然成立，
综合得 ，
所以实数的值可以为或；故选AB．
例6.【解析】关于的方程程有两个不相等的实数解，
即是，的图象有两个交点，
因为是以为圆心，为半径的上半圆，
而是过定点的直线，由图可知，
当直线在和之间时符合要求，
当直线为时 ，
当直线为时，有点到直线的距离等于半径可得正值舍去
故实数的取值范围是，
故选：．
练3-1【解析】令，其对称轴方程为，
由已知方程的两个不等的实根都大于，
故有即，解得，
的取值范围是．故应选A．
练3-2【解析】如图，作出函数的图象，函数有且只有三个零点，
则函数与函数的图象有且只有三个交点，
函数图象恒过点，则直线在图中阴影部分内时，
函数与有三个或两个交点，
当直线与的图象相切时，设切点为，切线斜率为，
，解得，，．故选：．
【素养提升】
例7.【解析】作出函数的图象如图，
不妨设，则，，
由，得，，
，故选：．
例8.【解析】由，得，
令，则，
令，，则，
在上为减函数，又，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
，
且当时，，当时，，
与的图象有两个交点，则．故选：．
练4-1【解析】，
若函数有两个极值点，则方程有两个不同的实根，
则直线和函数的图象有个交点，
，
时，，递增，
时，，递减，故，
的图象如图所示：
所以，故答案为：
练4-2. 【解析】由题意可知，，
作出的图象，如图所示，
对于，当时，，
当时，有三个实数根，满足条件
当时，只有两个实数根，不满足条件，此时与的交点坐标为，
所以，故A错误
对于，又因为，所以的取值范围为，B正确
对于，当时，有三个实数根，满足条件
当时，只有两个实数根不满足条件所以，故C正确
对于，因为，，所以，故D错误．
故答案为：．
【易错点归纳】
例9.【解析】不是单调函数，，不能用二分法求零点，
是单调函数，，能用二分法求零点．不是单调函数，，不能用二分法求零点．，不是单调函数，不能用二分法求零点．
故选B．
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