（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题3.8函数的图象

3.8 函数的图象
课标要求 考情分析 核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数． 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 直观想象
2020(Ⅰ)卷 8 数形结合思想解不等式
2020(Ⅱ)卷 8 数形结合思想解不等式
1．利用描点法作函数的图象
步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；（4）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2．作出常见函数的图象
（1）作出基本初等函数的图象：常数函数、一次函数、反比例函数、二次函数、对勾函数、指数函数、对数函数、三角函数；
（2）用五点法作三角复合函数的图象；
（3）作出分段函数的图象：如果函数带有绝对值，脱去绝对值，转化为分段函数：
（4）结合抽象函数的单调性、奇偶性，特殊点，作出抽象函数的大致图象.
3．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换
（2）对称变换
的图象的图象；
的图象的图象；
的图象的图象；
(，且)的图象 (，且)的图象.
（3）伸缩变换
（4）翻折变换
的图象的图象；
的图象的图象.
4．借助导数作出函数大致图象
步骤：（1）求导，确定函数的单调区间；
（2）借助极值点、极值、最值、零点或其他特殊点作出函数大致图象.
5．函数图象取自圆锥曲线的一部分
函数的解析式通过变形，变成圆锥曲线的方程，结合函数解析式求出的取值范围，即可明确函数图象.
（1）函数与的图象关于直线对称；
（2）函数与的图象关于点中心对称；
（3）若函数对定义域内任意自变量x满足：，则函数的图象关于直线
对称；
（4）图象的左右平移仅仅是相对于而言，如果的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换；
（5）图象的上下平移仅仅是相对于而言的，利用“上减下加”进行.
1.【P139 练习4】如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为( )
A. B.
C. D.
2.【P120 T9】已知函数．
作出函数的图象；
根据图象写出的单调递增区间．
考点一　作出函数的图象
【方法储备】
函数图象的画法：
（1）直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数，或函数图象是解析几何中熟悉的曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分）时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出；
（2）转化法：含有绝对值符号函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象；
（3）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【典例精讲】
例1.(2021·安徽省安庆市月考) 已知函数．
画出的图象，并写出的增区间不需要证明
若的图象与在，上没有公共点，求的取值范围
【名师点睛】　
1.熟练掌握基本函数的图象：如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如的函数．
2.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
3.对于较复杂的函数，可借助导数作出大致图象.
【靶向训练】
练1-1(2022·陕西省西安市模拟) 已知函数．
判断函数的奇偶性，并证明；
若，解决下列问题：
判断在和的单调性不要求证明；
画出的图象，并利用图象解不等式．
练1-2(2022·江苏省徐州市期中) 已知函数，设，，是三个不相等的实数，且满足，则的取值范围为 ．
考点二　函数图象的辨识
【方法储备】
1．抓住函数的性质，定性分析：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数周期性，判断图象的循环往复．
2．抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
【典例精讲】
例2.(2022·浙江省温州市模拟.多选) 下列可能是函数其中，，的图象的是( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】　
由函数解析式选择函数的图象，多采用排除法选题，从定义域、奇偶性、单调性、特征点等角度出发，有时候可借助极限思想，即当时, 先确定函数表达式的正负, 然后再判断图像的趋向性.通过以上一种角度,有时需要结合以上几个角度排除不合要求的图象．
【靶向训练】
练2-1(2022·安徽省六安市模拟)已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
练2-2(2022·江苏省徐州市月考)函数的大致图象是图中虚线为的图象( )
A. B.
C. D.
考点三　函数图象的变换
【方法储备】
函数图像及其变换要求熟记几种常见函数如反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如的函数的性质,如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近性等，在此基础上熟练掌握函数图像的几种变换, 平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换（上述），快速准确作出函数图象.
【典例精讲】
例3.(2021·安徽省六安市联考) 已知函数，则图中的图象对应的函数在下列给出的四个解析式中，只可能是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
图象变换在三角函数与圆锥曲线部分都会涉及，掌握变换的规律，不仅仅要准确作出函数的图象，还要能够求出变换后的函数解析式与曲线方程.
【靶向训练】
练3-1(2022·四川省成都市联考)已知指数函数且，将函数的图象上各点的纵坐标扩大为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·安徽省蚌埠市调研)已知，函数，则函数的大致图象不可能是( )
A. B.
C. D.
考点四　函数图象的应用
【方法储备】
函数的图象在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：
（1）研究函数的性质：对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则．
（2）研究方程根的个数（零点个数）及参数的取值范围：构造函数，转化为两个函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两个函数的图象，数形结合求解；
（3）利用图象解不等式：不等式不能用代数法求解时，转化为两个函数的不等关系，在图象上表现为上、下位置关系，通过画出函数图象可以直观地求解不等式.
角度1　研究函数的性质
【典例精讲】
例4. (2021·山东省东营市二模) 对任意实数，定义运算“”：
，设，有下列四个结论：
①的最大值为；
②有个单调递减区间；
③在是减函数；
④的图象与直线有四个不同的交点，则其中正确结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【名师点睛】
在新授课中，不难发现求函数的定义域、值域，判断函数单调性、奇偶性等性质时，共同的方法是图象法，从函数的图象上，可以直观的得到函数的性质。所以，在面对较为复杂的函数时，依然可以作出函数图象，化“抽象”为“形象”，进一步研究函数性质.
【靶向训练】
练4-1(2021·海南省海口市期中.多选) 小明在如图所示的跑道上匀速跑步，他从点出发，沿箭头方向经过点跑到点，共用时，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为，他与教练间的距离为，表示与的函数关系的图象大致如图所示，则这个固定位置不可能是图中的( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
练4-2(2022·山东省东营市月考.多选) 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B. 在上为减函数
C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程 仅有个实数解
角度2　求不等式的解集
【典例精讲】
例5. (2021·浙江省温州市月考) 函数是定义在上的偶函数，其在上的图象如图所示，那么不等式的解集为 ．
【名师点睛】　
利用数形结合思想解不等式，能使问题变得简单明了，例5利用函数奇偶性补齐图象，直接求出解集.函数解析式复杂时，可转化为两个函数的不等式的形式，关键是在同一坐标系中准确作出两个函数的图象（练4-4）.
【靶向训练】
练4-3(2021·江苏省徐州市模拟) 已知函数的部分图象如图所示，若不等式的解集为，则实数的值为 ．
练4-4(2022·湖北省宜昌市一模.多选) 已知函数若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的值不可能为( )
A. B. C. D.
角度3　确定方程根的个数
【典例精讲】
例6. (2022·江苏省徐州市月考) 已知，则函数的零点个数是 ．
【名师点睛】
数形结合思想解决方程根个数问题思路：将方程转化为的形式，其中多为常数函数或一次函数，将方程的根个数转化为两个函数图象交点个数问题；进而借助函数的图象变换、导数等知识作出图象，求出交点个数.
【靶向训练】
练4-5(2021·安徽省六安市月考) 二次函数与指数函数的交点个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
练4-6 (2022·江苏省无锡市联考.多选) 已知函数，则方程的根的个数可能为
A. B. C. D.
核心素养系列 直观想象——函数图象在函数零点问题中的应用
函数零点问题是沟通函数、方程、图象等知识的重要桥梁,它充分体现了函数与方程的密切关系,展现了数与形的完美结合.直观想象作为六大核心素养之一,是一种围绕几何思维解决问题的能力素养,其具体体现是“数缺形时少直观”,在求解函数零点的综合问题时，以“形”代“数”可以化繁为简.
【方法储备】
专题3.7函数与方程中已经在判断零点与方程根所在区间、判断零点与方程根个数，求与零点与关的参数取值范围，3个考点中分别说明从函数图象的角度解题.共同点是要将函数零点问题转化为方程问题,再转化为两个函数图象交点问题,最后作出图象，判断零点个数或求参数的取值范围.
【典例精讲】
例7. (2022·浙江省宁波市期中) 设函数，若函数有三个零点，则实数可取的值可能是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
求解此类问题的关键是充分借助数形结合的思想,注意把“数”和“形”结合起来具体考查,从而获得巧思妙解,优化解题思维,进一步提升学生数学运算、逻辑推理、直观想象等素养.
【靶向训练】
练5-1. (2021·安徽省合肥市月考) 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 ．
练5-2(2022·福建省泉州市模拟.多选) 已知函数，若函数有个零点，则的可能的值为( )
A. B. C. D.
易错点05 用函数图象解题时作图不准
例8. (2021·江苏省无锡市一模)已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是
答案解析
【教材改编】
1.【解析】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除，；
又“心形”函数的最大值为，而选项中时，，排除．
故答案选：．
2. 【解析】对于函数，
当时，；
当时， 作出的图象，如图：
的单调递增区间为和．
【考点探究】
例1. 【解析】的图象如图．
增区间为，，
时，方程，
可化为：
即在上无解，
令，
由，可知：上，恒成立，
等价于解得．
故的取值范围是．
练1-1. 【解析】定义域且关于原点对称，
令，则，
，是上的偶函数
，，
在上递减，在上递减
画出的图象如下，
令得，
观察图象可得不等式的解集为：．
练1-2. 【解析】作出函数图象如图所示，
因为是三个不相等的实数，且满足，
结合图象不妨设，
则，即，
，．故答案为．
例2. 【解析】选项中的图象关于轴对称，选项中的图象关于原点对称，两个选项均可得函数的定义域为，可得，又函数的零点只能由产生，所以函数可能没有零点，也可能零点是，所以选项可能符合条件；
而选项中的图象知函数的零点在内，但此种情况不可能存在，所以选项不符合条件；
观察选项中的图象，由定义域猜想，由图象过原点得，猜想，可能符合条件；
故选：.
练2-1. 【解析】根据图象得函数定义域为，图象关于轴对称，即为偶函数．
对于选项，，故A错误；
对于选项，函数定义域为，故B错误；
对于选项，函数定义域为，，故函数为非奇非偶函数，故C错误．
故选：．
练2-2. 【解析】由于，
，，且，
故此函数是非奇非偶函数，排除、；
又当时，，
即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除．
故选B．
例3. 【解析】作出函数的图象如图，
则
对应的函数解析式为．
故选：．
练3-1. 【解析】将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，
则，再将的图象向右平移个单位长度，得到，
所得图象恰好与函数的图象重合，
则，即，负值舍去，
故选：．
练3-2. 【解析】先画出函数的草图，再作函数的图象关于轴对称，得到函数的图象，再通过平移得到函数的大致图象。若，图象可能为项，若，图象可能为项，若，图象可能为项，不可能为项．
故选B．
例4. 【解析】根据定义，作出的图象实线部分：
可知当或时，取得最大值，故①正确；
单调递减区间为，故②正确；
因为，所以由图象可知，在上不单调，故③错误；
要使图象与直线有四个交点，则，故④错误．
故选C．
练4-1. 【解析】项，假设这个位置在点，则从至这段时间，不随时间的变化改变，与函数图象不符；
项，假设这个位置在点，则从至这段时间，点与点对应的大小应该相同，与函数图象不符；
项，假设这个位置在点，则由函数图象可得，从到的过程中，小明与教练间的距离一直在减小，与函数图象不符；
项，经判断点符合函数图象．
故选ABC
练4-2. 【解析】由题意得
为奇函数，，即，
关于点对称
为偶函数，，即，
关于对称
由，得：，
，即是周期为的周期函数
又当时，，可得函数图像
下面对各选项进行分析：
对，由上易得，故A错误；
对，有函数周期性和对称性可得的图像如图所示，
由图像可知在上单调递增，所以B错误；
对，结合的图象可知为的一个对称中心，故C正确；
对，因为方程的实数解个数等价于函数和的图像交点个数，
易知方程仅有个实数解，
故D正确．
故选：．
例5. 【解析】当时，．
当时，．
结合，上的图象知，
当时，．又函数为偶函数，
所以在上，的解集为，
所以的解集为．
练4-3.【解析】由题意可知，在内单调递减，
因为，且当时，可得，
而的解集为，
所以，且，则．
故答案为．
练4-4.【解析】由，得，
设，，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，且，
的图象恒过定点，
画出，的图象，如下图所示，
若关于的不等式恰好有两个整数解，
则这两个整数解为，，
所以即解得．
故选BCD．
例6. 【解析】根据题意，令，
解得：或，
作出的图象：
由图象可得，函数的图象与的图象有个交点，
函数的图象与的图象有个交点，
所以函数的零点个数为．
故答案为．
练4-5.【解析】因为二次函数，
且时，，，
时，，，
则在坐标系中画出与的图象：
由图可得，两个函数图象的交点个数是个，
故选C．
练4-6 .【解析】作出函数的图象，如图：
由于，
设，则，若这个方程有根，则两根关于直线对称．
若，则此时，根据图象有两个交点；
若，且，，此时图象有个交点；
若，且，，此时图象有个交点．找不到个交点的情况．
故答案ACD．
【素养提升】
例7. 【解析】函数有三个零点，
则函数，即有三个根，
即函数与函数有三个交点．
当时，，
则，
由得，即时，为减函数，
由得，即时，为增函数，
即当时，取得极小值，
且时，，，
作出的图象如图：
要使有三个根，则，故选BC．
练5-1. 【解析】若函数有个零点，即方程有个解，
与有个交点，
作出函数与的大致图象如图所示：
由图分析可得，当时，函数与直线的图象最多有两个交点，不符合，
故，
当直线与函数图象相切时为临界点，
记，设切点，所以，
所以，所以
分析可知，要使函数与直线的图象又个交点，
则，
则实数的取值范围是；
故答案为
练5-2. 【解答】当时，，所以，
又，所以的函数图象关于直线对称，
作出的函数图象如图所示：
有个零点，与的图象有个交点，
当直线经过点时，，
设直线与相切，切点为，
则，解得，，．
则满足，故选：．
【易错点归纳】
例8. 【解析】作出函数的图象如下：
由图可知，则；
，则；
当时，总会存在使得成立，
故答案为．
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